BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2007Sujet et corrigé

BANQUE COMMUNE D'EPREUVES

Concepteur : ESSEC

Lundi 14 mai 2007 de 8 h à 12 h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

NOTATIONS, RAPPELS :
Dans tout le problème, la lettre n désigne un entier supérieur ou égal à 2 et on note [ [1, n] ] l'ensemble des entiers k vérifiant: 1 ≤ k ≤ n.
Par ailleurs, on note :

Objectif du problème : on dispose d'un ordre naturel sur l'ensemble des réels, on s'interroge dans ce problème sur l'extension de cet ordre à S_n(ℝ) et on s'intéresse en particulier à la monotonie de quelques applications.

Les deux premières parties du problème sont indépendantes. La troisième partie utilise simultanément les deux parties précédentes. La quatrième partie reprend essentiellement les notions vues dans la troisième partie.

Préambule : on désigne par φ une application définie et continue sur ℝ_+^∗ et à valeurs positives telle que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)(φ(t))/(1 + t^2)dt soit convergente et on lui associe la fonction f d'une variable réelle définie par : f(x) = ∫_0^(+ ∞)(t/(1 + t^2) − 1/(x + t))φ(t)dt.
Question préliminaire : Montrer que f est définie sur ℝ_+^∗.
1^∘ ) Pour quelles valeurs du réel α, l'intégrale ∫_0^(+ ∞)(t^α)/(1 + t^2)dt est-elle convergente ?
Dans toute la suite du problème, pour de telles valeurs de α, on désignera par f_α l'application définie sur ℝ_+^∗ par :

2^∘ ) exprimer f_0 à l'aide des fonctions usuelles.
3^∘ ) On suppose que α ∈ ] − 1, 0[.
Pour x > 0, prouver la convergence de l'intégrale ∫_0^(+ ∞)(t^α)/(x + t)dt et, à l'aide d'un changement de variable, l'exprimer en fonction de x^α et d'un réel ne dépendant que de α.
En déduire l'existence de c et d , réels ne dépendant que de α, tels que : ∀x > 0, f_α(x) = c ⋅ x^α + d. Préciser le signe de c .
4^∘ ) On suppose que α ∈ ]0, 1[.
a) Lorsque x et h sont des réels tels que x > 0, x + h > 0 et h ≠ 0, vérifier la relation :

Montrer alors que f_α est dérivable sur ℝ_+^∗ et que : ∀x > 0, f_α^′(x) = ∫_0^(+ ∞)(t^α)/((x + t)^2)dt
b) Justifier la relation : ∀x > 0, f_α^′(x) = f_α^′(1) ⋅ x^(α − 1). En déduire l'existence de c et d , réels ne dépendant que de α, tels que : ∀x > 0, f_α(x) = c ⋅ x^α + d. Préciser le signe de c.

On note S_n(ℝ) le sous-espace vectoriel de M_n(ℝ) constitué des matrices symétriques, c'est-à-dire S_n(ℝ) = {M ∈ M_n(ℝ)/^t M = M}.
On dit qu'une matrice M de S_n(ℝ) est définie positive si pour toute matrice colonne X de M_(n, 1)(ℝ), (X ≠ 0 ⇒ ^t XMX > 0).
L'ensemble des matrices symétriques définies positives de S_n(ℝ) sera noté S_n^(+ +)(ℝ).
Enfin, lorsque A et B sont deux matrices symétriques vérifiant B − A ∈ S_n^(+ +)(ℝ), on dira que A est strictement plus petite que B et on le notera A < B.
1^∘ ) Caractérisations des matrices définies positives.
a) Pour A ∈ S_n(ℝ), établir l'équivalence suivante : ( A ∈ S_n^(+ +)(ℝ) ⇔ toute valeur propre de A est strictement positive).
b) Lorsque A = (a, b; b, c) et X = (x/y), vérifier l'égalité : a^t XAX = (ax + by)^2 + (ac − b^2)y^2.

En déduire que : ((a, b; b, c) ∈ S_2^(+ +)(ℝ) ⇔ (a > 0 et ac − b^2 > 0)).
2^∘ ) Exemples.
a) Soient A = (2, 1; 1, 1) et B = (4, 0; 0, 5/3) :
vérifier que A et B appartiennent à S_2^(+ +)(ℝ) et montrer que A < B. A-t-on A^2 < B^2 ?
b) Soit A ∈ S_n^(+ +)(ℝ).
i) Montrer que A est inversible et que A^(− 1) ∈ S_n^(+ +)(ℝ).
ii) Pour tout X ∈ M_(n, 1)(ℝ), on définit l'application : φ_X^A : M_(n, 1)(ℝ) → ℝ; Y ↦ 2^t XY − ^t YAY

Exprimer, pour tout H ∈ M_(n, 1)(ℝ), φ_X^A(A^(− 1)X + H) − φ_X^A(A^(− 1)X) en fonction de H et A.
En déduire que φ_X^A admet en A^(− 1)X un maximum qui vaut ^t XA^(− 1)X.
iii) On considère maintenant B ∈ S_n^(+ +)(ℝ) vérifiant A < B.

Montrer que pour tout X et tout Y matrices colonnes de M_(n, 1)(ℝ), (Y ≠ 0 ⇒ φ_X^A(Y) > φ_X^B(Y)).
En déduire que B^(− 1) < A^(− 1).

Lorsque F est une application définie sur S_n^(+ +)(ℝ) et à valeur dans S_n(ℝ), on dit que F est strictement croissante sur S_n^(+ +)(ℝ) si : pour tout A et tout B appartenant à S_n^(+ +)(ℝ), (A < B ⇒ F(A) < F(B)).
On dira de même que F est strictement décroissante sur S_n^(+ +)(ℝ) lorsque - F est strictement croissante sur S_n^(+ +)(ℝ).
Par exemple, la propriété vue au II-2-b-iii se traduit par la stricte décroissance de l'application F : S_n^(+ +)(ℝ) → S_n(ℝ); M ↦ M^(− 1).
1^∘ ) Résultats préliminaires.
On désigne par A une matrice symétrique réelle dont l'ensemble des valeurs propres distinctes {λ_1, λ_2, …, λ_p} est classé dans l'ordre croissant.
On rappelle que : M_(n, 1)(ℝ) = ⊕ ^p_(i = 1)E_(λ_i)(A) où E_(λ_i)(A) = Ker(A − λ_i I_n).
a) Justifier la relation A = ∑_(i = 1)^p λ_i M_i où M_i est la matrice de la projection orthogonale sur E_(λ_i)(A) dans la base canonique de M_(n, 1)(ℝ). Dans toute la suite du problème, une telle écriture s'appelle la décomposition de A .
b) Montrer que I_n = ∑_(i = 1)^p M_i.
c) Donner la décomposition de la matrice A + tI_n lorsque t est réel.

Si A appartient à S_n^(+ +)(ℝ) et admet la décomposition A = ∑_(i = 1)^p λ_i M_i, on définit, lorsque f est une application de ℝ_+^∗ dans ℝ, la matrice f~(A) = ∑_(i = 1)^p f(λ_i)M_i.
On peut ainsi considérer l'application f~ définie sur S_n^(+ +)(ℝ) et à valeurs dans M_n(ℝ) par f~ : A ↦ f~(A).
2^∘ ) a) Montrer que, pour tout A appartenant à S_n^(+ +)(ℝ), f~(A) appartient à S_n(ℝ) et donner la décomposition de f~(A) lorsque f est strictement monotone.
b) Préciser f~ lorsque que f : ℝ_+^∗ → ℝ; x ↦ 1/x.
c) Soient f : ℝ_+^∗ → ℝ et g : ℝ_+^∗ → ℝ_+^∗ deux applications strictement monotones. Montrer que : f ∘ g˜ = f~ ∘ g~.
d) Lorsque ( a, b, c, d ) appartient à ℝ^4 avec c > 0, d > 0 et bc − ad ≠ 0, on considère l'application h : ℝ_+^∗ → ℝ; x ↦ (ax + b)/(cx + d). Après avoir vérifié que : ∀x > 0, h(x) = (bc − ad)/(c(cx + d)) + a/c, montrer la stricte monotonie de h~ sur S_n^(+ +)(ℝ).

Soit M : ℝ_+^∗ → M_n(ℝ); t ↦ (m_(i, j)(t))_((i, j) ∈ [ [[i, n] × [1, n]) où ∀(i, j) ∈ [ [1, n] ] × [ [1, n] ], m_(i, j) : t ↦ m_(i, j)(t) est continue sur ℝ_+^∗.
Lorsque pour tout couple (i, j) ∈ [ [1, n] ] × [ [1, n] ], l'intégrale ∫_0^(+ ∞)m_(i, j)(t)dt converge, on dit que la matrice (∫_0^(+ ∞)m_(i, j)(t)dt)_((i, j) ∈ [ [[1, n] × [1, n]) existe et on la note ∫_0^(+ ∞)M(t)dt.
a) Résultats préliminaires.
(i) Soient M et N telles que ∫_0^(+ ∞)M(t)dt et ∫_0^(+ ∞)N(t)dt existent.

Montrer que ∫_0^(+ ∞)(M(t) + N(t))dt existe et que : ∫_0^(+ ∞)(M(t) + N(t))dt = ∫_0^(+ ∞)M(t)dt + ∫_0^(+ ∞)N(t)dt.

Dans le même ordre d'idée, on admettra les deux propriétés suivantes (ii) et (iii).
(ii) Soient A ∈ M_n(ℝ) et h continue de ℝ_+^∗ dans ℝ telle que ∫_0^(+ ∞)h(t)dt converge, et M : ℝ_+^∗ → M_n(ℝ); t ↦ M(t) = h(t)A, alors ∫_0^(+ ∞)M(t)dt existe et ∫_0^(+ ∞)M(t)dt = (∫_0^(+ ∞)h(t)dt)A.
(iii) Soient M telle que ∫_0^(+ ∞)M(t)dt existe et X une matrice colonne de M_(n, 1)(ℝ), alors ∫_0^(+ ∞)TXM(t)Xdt converge et ^t X(∫_0^(+ ∞)M(t)dt)X = ∫_0^(+ ∞)tXM(t)Xdt.
b) On revient à l'application f définie sur ℝ_+^∗ par ∀x > 0, f(x) = ∫_0^(+ ∞)(t/(1 + t^2) − 1/(x + t))φ(t)dt où φ est une application définie et continue sur ℝ_+^∗ et à valeurs positives, telle que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)(φ(t))/(1 + t^2)dt converge. (cf Partie I).
On suppose que A ∈ S_n^(+ +)(ℝ) et admet la décomposition A = ∑_(i = 1)^p λ_i M_i.
i) Montrer que : f~(A) = ∫_0^(+ ∞)φ(t)(t/(1 + t^2)I_n − (A + tI_n)^(− 1))dt.
ii) Si B ∈ S_n^(+ +)(ℝ) telle que A < B, montrer que, pour toute matrice colonne X de M_(n, 1)(ℝ), non-nulle, et tout t > 0, on a :

iii) En déduire que f~ est strictement croissante sur S_n^(+ +)(ℝ).
c) A l'aide des résultats de la Partie I , vérifier que ln ˜ est strictement croissante sur S_n^(+ +)(ℝ). Préciser le sens de variation de p~_α associée à p_α : ℝ_+^∗ → ℝ; x ↦ x^α selon que α ∈ ] − 1, 0[ ou ]0, 1[.

On revient aux notations introduites dans les parties précédentes.
1^∘ ) On désigne par f une application de ℝ_+^∗ à valeurs dans ℝ. Montrer que, lorsque f~ est strictement croissante sur S_n^(+ +)(ℝ), f l'est aussi sur ℝ_+^∗.
2^∘ ) Pour t > 0, on définit les matrices : A(t) = ((e^t + e^(− t))/2, (e^t − e^(− t))/2; (e^t − e^(− t))/2, (e^t + e^(− t))/2) et B(t) = (t^3, 0; 0, 2/(e^t + e^(− t)) − t^3).
a) Montrer que A(t) ∈ S_2^(+ +)(ℝ) et donner la décomposition de A(t).
b) Montrer qu'il existe η_0 > 0 tel que ∀t ∈ ]0, η_0[, B(t) ∈ S_2^(+ +)(ℝ). (on ne cherchera pas à déterminer une valeur, même approchée, de η_0.)
c) Etablir de même qu'il existe η_1 ∈ ]0, η_0[ tel que ∀t ∈ ]0, η_1[, B(t) < A(t).
d) Déterminer p~_α(A(t)) et p~_α(B(t)) pour tout réel t de ]0, η_1[ lorsque p_α est l'application de ℝ_+^∗ dans ℝ : x ↦ x^α.
e) Lorsque α > 1, déterminer un équivalent en 0^+de la quantité ((e^(αt) + e^(− αt))/2 − t^(3α))((e^(αt) + e^(− αt))/2 − (2/(e^t + e^(− t)) − t^3)^α) − ((e^(αt) − e^(− αt))/2)^2.
f) En déduire que, pour α > 1, p~_α n'est pas strictement croissante sur S_2^(+ +)(ℝ).
3^∘ ) Démontrer que la propriété énoncée en IV-1 n'admet pas de réciproque dès que n ≥ 2.