BANQUE COMMUNE D'EPREUVES

Concepteur : ESSEC

Lundi 14 mai 2007 de 8 h à 12 h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

NOTATIONS, RAPPELS :
Dans tout le problème, la lettre n désigne un entier supérieur ou égal à 2 et on note l'ensemble des entiers k vérifiant: .
Par ailleurs, on note :

Objectif du problème : on dispose d'un ordre naturel sur l'ensemble des réels, on s'interroge dans ce problème sur l'extension de cet ordre à et on s'intéresse en particulier à la monotonie de quelques applications.

Les deux premières parties du problème sont indépendantes. La troisième partie utilise simultanément les deux parties précédentes. La quatrième partie reprend essentiellement les notions vues dans la troisième partie.

Préambule : on désigne par une application définie et continue sur et à valeurs positives telle que l'intégrale soit convergente et on lui associe la fonction d'une variable réelle définie par : .
Question préliminaire : Montrer que f est définie sur .
) Pour quelles valeurs du réel , l'intégrale est-elle convergente ?
Dans toute la suite du problème, pour de telles valeurs de , on désignera par l'application définie sur par :

) exprimer à l'aide des fonctions usuelles.
) On suppose que .
Pour , prouver la convergence de l'intégrale et, à l'aide d'un changement de variable, l'exprimer en fonction de et d'un réel ne dépendant que de .
En déduire l'existence de c et d , réels ne dépendant que de , tels que : . Préciser le signe de c .
) On suppose que .
a) Lorsque et sont des réels tels que et , vérifier la relation :

Montrer alors que est dérivable sur et que :
b) Justifier la relation : . En déduire l'existence de c et d , réels ne dépendant que de , tels que : . Préciser le signe de .

On note le sous-espace vectoriel de constitué des matrices symétriques, c'est-à-dire .
On dit qu'une matrice M de est définie positive si pour toute matrice colonne X de .
L'ensemble des matrices symétriques définies positives de sera noté .
Enfin, lorsque A et B sont deux matrices symétriques vérifiant , on dira que A est strictement plus petite que B et on le notera .
) Caractérisations des matrices définies positives.
a) Pour , établir l'équivalence suivante : ( toute valeur propre de A est strictement positive).
b) Lorsque et , vérifier l'égalité : .

En déduire que : et .
) Exemples.
a) Soient et :
vérifier que A et B appartiennent à et montrer que . A-t-on ?
b) Soit .
i) Montrer que A est inversible et que .
ii) Pour tout , on définit l'application :

Exprimer, pour tout en fonction de et .
En déduire que admet en un maximum qui vaut .
iii) On considère maintenant vérifiant .

Montrer que pour tout X et tout Y matrices colonnes de .
En déduire que .

Lorsque F est une application définie sur et à valeur dans , on dit que F est strictement croissante sur si : pour tout A et tout B appartenant à .
On dira de même que F est strictement décroissante sur lorsque - F est strictement croissante sur .
Par exemple, la propriété vue au II-2-b-iii se traduit par la stricte décroissance de l'application .
) Résultats préliminaires.
On désigne par A une matrice symétrique réelle dont l'ensemble des valeurs propres distinctes est classé dans l'ordre croissant.
On rappelle que : où .
a) Justifier la relation où est la matrice de la projection orthogonale sur dans la base canonique de . Dans toute la suite du problème, une telle écriture s'appelle la décomposition de A .
b) Montrer que .
c) Donner la décomposition de la matrice lorsque t est réel.

Si A appartient à et admet la décomposition , on définit, lorsque f est une application de dans , la matrice .
On peut ainsi considérer l'application définie sur et à valeurs dans par .
) a) Montrer que, pour tout A appartenant à appartient à et donner la décomposition de lorsque f est strictement monotone.
b) Préciser lorsque que .
c) Soient et deux applications strictement monotones. Montrer que : .
d) Lorsque ( ) appartient à avec et bc , on considère l'application . Après avoir vérifié que : , montrer la stricte monotonie de sur .

Soit où est continue sur .
Lorsque pour tout couple , l'intégrale converge, on dit que la matrice existe et on la note .
a) Résultats préliminaires.
(i) Soient M et N telles que et existent.

Montrer que existe et que : .

Dans le même ordre d'idée, on admettra les deux propriétés suivantes (ii) et (iii).
(ii) Soient et h continue de dans telle que converge, et , alors existe et .
(iii) Soient M telle que existe et X une matrice colonne de , alors converge et .
b) On revient à l'application f définie sur par où est une application définie et continue sur et à valeurs positives, telle que l'intégrale converge. (cf Partie I).
On suppose que et admet la décomposition .
i) Montrer que : .
ii) Si telle que , montrer que, pour toute matrice colonne X de , non-nulle, et tout , on a :

iii) En déduire que est strictement croissante sur .
c) A l'aide des résultats de la Partie I , vérifier que est strictement croissante sur . Préciser le sens de variation de associée à selon que ou .

On revient aux notations introduites dans les parties précédentes.
) On désigne par f une application de à valeurs dans . Montrer que, lorsque est strictement croissante sur , f l'est aussi sur .
) Pour , on définit les matrices : et .
a) Montrer que et donner la décomposition de .
b) Montrer qu'il existe tel que . (on ne cherchera pas à déterminer une valeur, même approchée, de .)
c) Etablir de même qu'il existe tel que .
d) Déterminer et pour tout réel t de lorsque est l'application de dans .
e) Lorsque , déterminer un équivalent en de la quantité .
f) En déduire que, pour n'est pas strictement croissante sur .
) Démontrer que la propriété énoncée en IV-1 n'admet pas de réciproque dès que .