BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2009

CONCOURS D'ADMISSION DE 2009

Concepteur : ESSEC
ESSECMATS

OPTION SCIENTIFIQUE
MATHEMATIQUES
Mercredi 6 mai de 14 h à 18 h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Dans tout le problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 1 . On confondra les endomorphismes de (respectivement ) avec leurs matrices associées dans la base canonique de (respectivement ). De même, on confondra les vecteurs (respectivement ) avec les matrices colonnes qui les représentent dans la base canonique de (respectivement ).

) Matrice à diagonale strictement dominante.
Soit une matrice de . On suppose que A vérifie la condition :
. On dit alors que est une matrice à diagonale strictement dominante.
a) On suppose qu'il existe tel que et . Aboutir à une contradiction en utilisant la première ligne du système .
b) On suppose qu'il existe tel que et . Aboutir à une contradiction.
c) En déduire que A est inversible.
) Application : le théorème de Gershgörin.
Pour une matrice de , on définit :
tq est le disque de Gershgörin de A. On pose .
a) Montrer que le spectre de A est inclus dans D . (théorème de Gershgörin)
b) Algorithme pour : Ecrire une procédure PASCAL qui permet à l'utilisateur de rentrer dans un tableau les 9 coefficients d'une matrice de , puis écrire une fonction PASCAL qui a pour argument un tel tableau et qui renvoie les centres et les rayons des 3 disques de Gershgörin associés à la matrice contenue dans le tableau.
c) Exemple : on se donne la matrice .
(i) Justifier sans calculs que A est diagonalisable dans .
(ii) A l'aide du théorème de Gershgörin, situer les valeurs propres de A .
(iii) Diagonaliser explicitement A.
) La propriété (P).
Soit une matrice de . On suppose que A vérifie la propriété suivante :

a) Montrer que A est à diagonale strictement dominante et en déduire qu'elle est inversible.
b) Soit tel que le vecteur AX ait toutes ses coordonnées positives ou nulles.

Montrer que : . (On pourra considérer . )
c) On note le coefficient en position ( ) dans la matrice inverse de : .

Pour , que vaut ?
d) En déduire que les coefficients de sont tous positifs ou nuls.
e) Exemple : on reprend ici et on considère pour où désigne la matrice identité de . Etablir que vérifie la propriété et calculer .

Soit une suite de vecteurs de . On note : .
On dit que converge vers un vecteur de si pour tout de , la suite réelle converge vers le réel .
De même, pour une suite de matrices de , si on note , on dit que converge vers une matrice de si pour tout de , la suite réelle converge vers le réel .
) Généralités.
a) Pour un vecteur de , on définit : .

Montrer qu'une suite de vecteurs converge vers un vecteur X si et seulement si .
b) Pour une matrice de , on définit : .

Montrer qu'une suite de matrices converge vers une matrice M si et seulement si .
c) Montrer que: .
d) En déduire que si une suite de matrices converge vers une matrice M dans alors pour tout vecteur de , la suite converge vers .
e) Réciproquement, si on dispose d'une suite de matrices et d'une matrice M dans telles que pour tout vecteur X de , la suite converge vers MX , montrer que la suite converge vers M .
f) Montrer encore que : .
g) Etablir maintenant que : , puis en déduire que: .
) Convergence de la suite des inverses.
On considère ici une suite de matrices , toutes inversibles, qui converge vers une matrice M inversible.
a) Soit X un vecteur de , montrer que :

puis établir que :

b) En déduire l'existence d'un entier tel que pour tout entier k supérieur à :

c) Montrer alors que la suite converge vers .
d) Conclure alors que la suite de matrices converge vers la matrice .
) Soient une matrice inversible de et une suite de matrices qui converge vers M . On suppose de plus que les matrices vérifient toutes la propriété (P). Montrer que les coefficients de la matrice sont tous positifs ou nuls.
) A partir de maintenant et dans toute la suite du problème, désigne la matrice de définie par: et les autres coefficients de A sont nuls.

a) Pour tout vecteur de , calculer où est le produit scalaire canonique de . Exprimer (AX/X) sous la forme d'une somme de carrés. En déduire que A est inversible.
b) Etablir que, pour tout réel strictement positif, la matrice , où désigne la matrice identité de , vérifie la propriété .
c) Construire une suite de matrices, vérifiant toutes la propriété ( P ), qui converge vers A .
d) En déduire que les coefficients de sont tous positifs ou nuls.

Soit une fonction f à valeurs réelles de classe sur le segment . On dit qu'une fonction u vérifie le système (S) si : (S) .
) Existence et unicité de la solution de (S).
a) Montrer que ( S ) admet une unique solution u de classe sur le segment .
b) Montrer que si est positive, alors l'unique solution u du système ( S ) associé à f est également positive.
c) Expliciter la solution ũ de ( S ) lorsque f est la fonction constante égale à 1. Calculer sup ũ.
) On rappelle que est un entier supérieur ou égal à 1 . On pose et on considère la subdivision du segment formée des points .
a) On considère et tel que . Justifier à l'aide de l'inégalité de Taylor-Lagrange que :

b) En déduire : .
) On reprend la matrice A du II-4 et on note et .
a) Réécrire les inégalités du -b) dans le cas où u est la fonction ũ.
b) Montrer que .
c) En déduire que les coefficients de la matrice vérifient :

) Pour , on pose: et . On note u l'unique solution du système associé à f .
On définit par . On note : et et enfin le vecteur défini par .
Montrer pour que .
Donner alors pour une majoration de en fonction de h et .
) Exemple : on prend .
a) Montrer que . En déduire une première valeur de n qui garantit pour tout .
b) Etudier la fonction pour . En déduire une valeur de meilleure que la précédente qui garantit encore pour tout .