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BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2010

Epreuve de maths approfondies - ECS 2010

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Equations différentiellesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Topologie/EVNIntégrales généraliséesProbabilités finies, discrètes et dénombrementAlgèbre linéaire
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Banque
BCE
Année
2010
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2010ECS MathématiquesMathématiques 2010

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Description

Annale de maths approfondies BCE ESSEC pour la filiere ECS, session 2010.

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BANQUE COMMUNE D'EPREUVES

CONCOURS D'ADMISSION DE 2010
Concepteur : ESSEC
ESSECMATS

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES

Mardi 11 mai de 14 h à 18 h
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
IIs ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Notations et objectif du problème

On désigne par l'intervalle ; on note l'espace vectoriel des fonctions continues et bornées sur à valeurs réelles et l'espace vectoriel des fonctions de classe sur à valeurs réelles.
On fixe enfin un réel strictement positif.
Pour un élément de , on dit qu'une fonction y de est une solution du problème si :
,
L'objectif de ce problème est de montrer qu'à tout élément de , on peut associer une unique solution de ( ) qui soit bornée sur , puis d'étudier l'opérateur .
Les trois parties du problèmes traitent, souvent à partir d'exemples, de propriétés de l'opérateur .

I. Existence et propriétés élémentaires de l'opérateur

  1. Etude de l'équation ( )
    a) On considère et . Ecrire la dérivée de . Montrer alors que est solution du problème si et seulement si il existe tel que: ,
b) Montrer que, s'il existe une solution de ( ) qui soit bornée sur , celle-ci est unique.
c) Vérifier que l'intégrale est convergente.
d) Démontrer que est l'unique solution de qui soit bornée sur .
Dans toute la suite du problème, si , on note la fonction obtenue à la question d).
2. Linéarité de U
a) Expliciter dans le cas où .
b) Montrer que est un endomorphisme de .
c) est-il injectif ?
d) On définit les puissances successives de par et pour tout entier naturel non nul, . Montrer que, pour tout entier naturel est la fonction : .
3. Cas des fonctions exponentielles
a) Pour un nombre réel positif et la fonction , .
b) En déduire que, pour tout réel .
c) Pour tout entier naturel , expliciter . Pour élément de , préciser .
4. Cas des fonctions sinus et cosinus
Dans cet exemple seulement (ensemble de la question I-4), on prendra .
a) Expliciter et .
b) Montrer que le sous-espace de engendré par les fonctions sin et cos est stable par et que (sin, cos) en est une base. Dans cette base, écrire la matrice de l'endomorphisme .
c) Calculer . Expliciter pour tout entier naturel , puis préciser la limite des coefficients de lorsque tend vers l'infini.
5. Une autre famille de fonctions
Pour tout entier naturel , on considère la fonction de et on note la fonction .
a) Pour entier naturel non nul, établir une relation entre et .
b) Pour entier naturel, montrer que le sous espace de engendré par est stable par et admet pour base .
c) On prend ici , écrire dans la base de la matrice de l'endomorphisme . Calculer pour tout entier naturel , puis préciser la limite des coefficients de lorsque tend vers l'infini.
6. Une autre expression de
Pour , montrer que : .
7. Positivité de U
a) , montrer que : .
On considère maintenant un élément de à valeurs positives et .
b) Montrer que est à valeurs positives.
c) On suppose que est décroissante. Montrer que puis que est décroissante.
8. Commutation de avec la dérivation
On note bornée sur et l'opérateur de dérivation qui, à tout élément de , associe sa dérivée.
a) Pour un élément de , montrer, en utilisant la question 6, que : .
b) En déduire que, pour tout élément de .
c) Pour une fonction de à valeurs positives et décroissante, retrouver le résultat de la question 7.c) : est décroissante.

II. Comportement asymptotique de au voisinage de

On traite ici quelques cas fondamentaux, en partant d'exemples de fonctions pour lesquelles on peut connaître le comportement de au voisinage de .
  1. Résultats préliminaires
On considère ici et deux fonctions à valeurs réelles, continues sur . On suppose que, , , et que converge.
a) On suppose ici que et on se propose de montrer que .
Soit , montrer que : . Conclure.
b) On suppose maintenant que , montrer que .
2. Cas des fonctions admettant une limite en
Si est un élément de admettant une limite finie en ( est un nombre réel), montrer que admet une limite en que l'on précisera (on pourra commencer par traiter le cas où en écrivant, dans ce cas, et en utilisant la question 1.).
3. Cas des fonctions puissances
Dans cette question et la suivante, est un réel strictement positif, on note la fonction et .
a) Montrer que . En déduire que .
b) Montrer que pour tout de (On pourra utiliser une inégalité de Taylor-Lagrange pour la fonction ), et en déduire :
  1. Cas des fonctions comparables aux fonctions puissances
On note toujours un élément de et .
a) Prouver que si est négligeable devant au voisinage de , alors est négligeable devant au voisinage de .
b) Prouver que si est équivalent à au voisinage de , alors est équivalent à au voisinage de .
III Convergence absolue de
On s'intéresse dans cette partie à la convergence de dans le cas où est elle-même convergente. On note toujours .
  1. Etudes d'exemples
    a) Pour un réel strictement positif et , on note . Vérifier que est convergente.
    b) Pour un réel strictement positif, on note encore et . Pour quelles valeurs de est-elle convergente ?
  2. Cas des fonctions positives
Dans cette question, est un élément de , à valeurs positives tel que est convergente.
On note et .
a) Vérifier que .
b) Justifier que est dans et montrer qu'il existe une constante réelle telle que, pour tout .
c) Vérifier que la fonction est bornée sur .
d) En déduire que et que .
e) Montrer alors que est convergente.
3. Cas général
Dans cette question, est un élément de tel que est absolument convergente.
Montrer que est absolument convergente.

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