BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2014Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2014

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Annale de maths approfondies BCE ESSEC pour la filiere ECS, session 2014.

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Concours d'admission de 2014

Conception : ESSEC

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHÉMATIQUES I

Vendredi 9 mai 2014, de 14 h. à 18 h.

La présentation, la lisibilité, l'arthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Le problème comporte 6 parties.
Le but du problème est d'étudier les matrices

A \in M_n(ℝ)

telles que

^t AA = A^t A

.
Une matrice

A \in M_n(ℝ)

vérifiant cette propriété sera dite normale.
Dans tout le problème :

$n$ désigne un entier supérieur ou égal à 1 .
$B_0 = (e_1, \dots, e_n)$ est la base canonique de $ℝ^n$ .
Si $x = \sum_(i = 1)^n x_i e_i$ , on identifiera $x$ et la matrice $X = (x_1; ⋮; x_n)$ de ses coordonnées dans la base $B_0$ .
$⟨|⟩$ est le produit scalaire usuel de $ℝ^n : ⟨x|y⟩ = ^t XY = \sum_(i = 1)^n x_i y_i$ si $x = \sum_(i = 1)^n x_i e_i$ et $y = \sum_(i = 1)^n y_i e_i$ . La norme euclidienne associée à $⟨|⟩$ est notée $‖‖$ .
Pour $A \in M_n(ℝ)$ et $f$ l'endomorphisme de $ℝ^n$ représenté par $A$ dans la base $B_0$ , on note $f^*$ l'endomorphisme représenté par $^t A$ dans la base $B_0$ .
Un endomorphisme de $ℝ^n$ représenté par une matrice normale dans la base $B_0$ est dit normal, il vérifie donc $f^*$ of $= f \circ f^*$ .
Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $ℝ^n$ et $f \in L(ℝ^n)$ , on dit que $F$ est stable par $f$ si : $\forallx \in F$ , $f(x) \in F$ . Dans ce cas, on note $f_F$ l'endomorphisme de $F$ défini par : $\forallx \in F, f_F(x) = f(x)$ .
Si $θ \in ℝ$ , on note $R_θ = (cosθ, sinθ; - sinθ, cosθ)$ .

Partie I - Matrices normales d'ordre 2.

Soit

A = (a, b; c, d) \in M_2(ℝ)

Vérifier que $A$ est une matrice normale si et seulement si ou bien $A$ est symétrique ou bien il existe $ρ \in ℝ_+^*$ et $θ \in ℝ$ tels que $A = ρR_θ$ .
On suppose que $A$ est une matrice normale, montrer qu'il existe $P \in ℝ[X]$ tel que $^t A = P(A)$ (on pourra utiliser $^t A + A)$ .
Déterminer les matrices normales $A$ de $M_2(ℝ)$ telles que $A^2 - A + I_2 = 0$ .

Partie II- L'endomorphisme $f^*$ .

Dans cette partie,

A = (a_(i, j))_((i, j) \in [ [1, n] ]^2) \in M_n(ℝ)

f

est l'endomorphisme de

ℝ^n

représenté par

A

dans la base

B_0

.
4) Propriétés élémentaires de

f^*

:
a- Préciser l'endomorphisme

(f^*)^*

.
b- Si

f

est inversible, préciser l'endomorphisme

(f^(- 1))^*

.
5) Caractérisation de l'endomorphisme

f^*

:
a- Pour tout couple

(i, j)

dans

[ [1, n] ]^2

, exprimer

⟨f(e_i)|e_j⟩

à l'aide des coefficients de

A

.
b- Montrer que :

\forall(x, y) \in (ℝ^n)^2, ⟨f(x)|y⟩ = ⟨x|f^*(y)⟩

.
c- Montrer que

f^*

est l'unique endomorphisme de

ℝ^n

vérifiant :

\forall(x, y) \in (ℝ^n)^2, ⟨f(x)|y⟩ = ⟨x|f^*(y)⟩.

Montrer que si $f$ est un endomorphisme normal: $\forallx \in ℝ^n, ‖f(x)‖ = ‖f^*(x)‖$ .
Réciproquement, soit $g \in L(ℝ^n)$ tel que, pour tout $x \in ℝ^n, ‖g(x)‖ = ‖g^*(x)‖$ . En exploitant l'égalité $‖g(x + y)‖ = ‖g^*(x + y)‖$ , montrer que $g$ est normal.
Vérifier que, si $A$ est une matrice normale de $M_n(ℝ)$ , la matrice de $f$ dans toute base orthonormale de $ℝ^n$ est normale.

Dans la suite du problème, on admettra les résultats suivants :
Si

f

est un endomorphisme d'un espace euclidien

E

muni du produit scalaire

⟨|⟩

, on notera encore

f^*

l'unique endomorphisme de

E

vérifiant:

\forall(x, y) \in (E)^2, ⟨f(x)|y⟩ = ⟨x|f^*(y)⟩

.
Dans toute base orthonormée de

E

, la matrice de

f^*

est la transposée de la matrice de

f

.
On dira encore que

f

est normal si

f^*

= f \circ f^*

Partie III -Matrices normales et polynômes annulateurs.

Soit $A \in M_n(ℝ)$ une matrice normale telle qu'il existe $p \in ℕ^*$ vérifiant $A^p = 0$ . Soit $S = ^t AA$ , vérifier que $S^p = 0$ et montrer que $S = 0$ . Montrer alors que $A = 0$ .
Soit $A \in M_n(ℝ)$ une matrice normale, on suppose qu'il existe $P \in ℝ[X]$ et $q \in ℕ^*$ tel que $P^q(A) = 0$ , montrer que $P(A) = 0$ .
Exemple : Soit $M \in M_n(ℝ)$ telle que $M^2 + M - ^t M = I_n$ . Déterminer un polynôme annulateur de $M$ de degré 4, le factoriser. En déduire que $(M - I_n)^3 \cdot (M + I_n)^3 = 0$ . Montrer alors que $M$ est symétrique et que $M^2 = I_n$ .

Dans la suite de cette partie, on suppose que

A

est une matrice normale non nulle de

M_n(ℝ)

.
12) Montrer que

A

admet un polynôme annulateur

P \in ℝ[X]

, de degré au moins égal à 1 , dont les racines complexes sont toutes de multiplicité 1.

On note

I_A

l'ensemble des polynômes de

ℝ[X]

annulateurs de

A

dont les racines complexes sont toutes de multiplicité 1 , et on pose

D_A = {degQ; Q ∈ I_A}

.
13) Justifier que

D_A

admet un minimum

d

, soit

π

un élément de

I_A

de degré

d

. On note

λ_1, \dots, λ_d

les racines complexes deux à deux distinctes de

π

.
a- Montrer que

λ_1, \dots, λ_d

sont les valeurs propres complexes de

A

.
b- En déduire que l'unique élément de

I_A

de degré

d

, de coefficient dominant égal à 1 est

\prod_(k = 1)^d(X - λ_k)

Dans la suite du problème, on note

π_A

ce polynôme.
14) Déterminer

π_M

pour

M \in M_n(ℝ)

telle que

M^2 + M - ^t M = I_n

M \neq \pm I_n

Partie IV - Propriétés spectrales des matrices normales.

Dans cette partie,

A \in M_n(ℝ)

est une matrice normale,

f

l'endomorphisme de

ℝ^n

représenté par

A

dans la base

B_0

.
On note toujours

π_A

le polynôme associé à

A

défini dans la partie III.
15) Montrer que Ker

f = Kerf^*

. Plus généralement, si

λ \in ℝ

, vérifier que

Ker(f - λid_(ℝ^n)) = Ker(f^* - λid_(ℝ^n))

, en déduire que les espaces propres, s'ils existent, de

f

et de

f^*

sont identiques.
16) Soit

Q \in ℝ[X]

F = Ker(Q(f))

, montrer que

F

est un sous-espace vectoriel de

ℝ^n

stable par

f

f^*

. Montrer que

F^⊥

est aussi stable par

f

f^*

. Vérifier alors que

f_F

f_(F^⊥)

sont deux endomorphismes normaux respectivement de

F

et de

F^⊥

et que

(f_F)^* = (f^*)_F

.
17) Recherche d'un sous-espace stable.

On désire montrer qu'il existe un sous-espace

F

, stable par

f

f^*

, de dimension 1 ou 2 :
a- Premier cas : on suppose que

π_A

admet une racine réelle

λ : π_A(λ) = 0

λ \in ℝ

.
Montrer qu'il existe

e \neq 0_(ℝ^n)

appartenant à

Ker(f - λid_(ℝ^n))

. Montrer que

F = Vect(e)

convient.
Deuxième cas : on suppose maintenant que

π_A

n'admet pas de racine réelle.
b- Justifier l'existence d'un couple de réels

(a, b)

tels que

a^2 - 4b < 0

f^2 + af + bid_(ℝ^n)

ne soit pas inversible. On note

G = Ker(f^2 + af + bid_(ℝ^n))

g = f_G

.
c- Vérifier que

h = g + g^*

est diagonalisable. On note

e

un vecteur propre de

h

.
d- Montrer alors que

F = Vect(e, f(e))

convient.
18) Montrer qu'il existe une base orthonormée

C

ℝ^n

dans la quelle la matrice de

f

est de la forme :

M_C(f) = (λ_1, 0, \dots, \dots, \dots, 0; 0, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, λ_p, (0), ⋮; ⋮, (0), ρ_1 R_(θ_1), ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0; 0, \dots, \dots, \dots, 0, ρ_s R_(θ_s))

où

λ_1, \dots, λ_p

sont des réels,

ρ_1, \dots, ρ_s

sont des réels
positifs et

θ_1, \dots, θ_s

des réels appartenant à

[0, 2π[

.
19) Quelles sont les matrices normales

A

pour lesquelles

π_A

a toutes ses racines réelles ?

Partie V - Etude d'un exemple.

Dans cette partie,

A

est une matrice normale et inversible de

M_n(ℝ)

telles que

(A + I_n)^7 = A^7 + I_n

.
On note

P = (X + 1)^7 - X^7 - 1

.
20) Déterminer les complexes

z \in ℂ

tels que

{P(z) = 0; P^′(z) = 0

puis factoriser

P

dans

ℂ[X]

et dans

ℝ[X]

.
21) Montrer que

A

est une matrice orthogonale de

ℝ^n

.
22) Montrer que

^t A

est un polynôme en

A

.
23) On suppose de plus que

n

est impair et que

A \neq - I_n

, déterminer le polynôme

π_A

associé à

A

Partie VI - Généralisation.

Dans cette partie

A

est une matrice normale non nulle de

M_n(ℝ), f

l'endomorphisme canoniquement associé à

A

. On note

π_A

le polynôme associé à

A

, tel que défini à la question 13 .

On désire démontrer que

^t A

est un polynôme en

A

.
Plus précisément, on cherche un polynôme

P \in ℝ[X]

, de degré inférieur ou égal à

n - 1

, tel que

^t A = P(A)

.
24) Quel polynôme

P

convient lorsque

π_A

a toutes ses racines réelles?

Dans la suite de cette partie, on suppose que

A

admet

2t

valeurs propres complexes non réelles distinctes.
On les note

μ_1, μ¯_1, μ_2, μ¯_2, \dots, μ_t, μ¯_t

. Pour tout

q

[ [1, t] ]

, on note

μ_q = ρ_q e^(iθ_q)

, où

ρ_q

est un réel strictement positif et

θ_q

un réel appartenant à

[0, 2π[

. Enfin, on note

λ_1, \dots, λ_r

les valeurs propres réelles distinctes de

A

On a :

π_A = \prod_(k = 1)^r(X - λ_k)\prod_(q = 1)^t(X^2 - 2ρ_q cosθ_q X + ρ_q^2)

.
D'après la question 18, il existe une base orthonormée

C

ℝ^n

dans laquelle la matrice de

f

est de la forme :

M_C(f) = (λ_1, 0, \dots, \dots, \dots, 0; 0, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, λ_r, (0), ⋮; ⋮, (0), ρ_1 R_(θ_1), ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0; 0, \dots, \dots, \dots, 0, ρ_t R_(θ_t))

(les réels

λ_k

pouvant être répétés plusieurs fois ainsi que les matrices

ρ_q R_(θ_q)

).
25) Préciser

M_C(f^*)

.
26) Montrer que

(f^* = P(f)) \Leftrightarrow (\forallk \in [ [1, r] ], λ_k = P(λ_k)

(\forallk \in [ [1, t] ], μ_k^- = P(μ_k)))

On note

S = \prod_(k = 1)^r(X - λ_k)

Q = \prod_(q = 1)^t(X^2 - 2ρ_q cosθ_q X + ρ_q^2) = \prod_(q = 1)^t(X - μ_q)(X - μ_q^-)

et on introduit les familles de polynômes

(L_j)_(j \in [1, r]), (Q_j)_(j \in [1, t])

(T_j)_(j \in [1, t])

telles que :
pour tout

j \in [ [1, r] ], L_j = (\prod_(k = 1; k \neq j)^r(X - λ_k)/(λ_j - λ_k)) \cdot Q/(Q(λ_j))

,
pour tout

j \in [ [1, t] ], Q_j = S/(S(μ_j)) \cdot (\prod_(k = 1; k \neq j)^t((X - μ_k)(X - μ_k^-))/((μ_j - μ_k)(μ_j - μ_k^-))) \cdot ((X - μ_j^-)/(μ_j - μ_j^-))

et
pour tout

j \in [ [1, t] ], T_j = S/(S(μ_j^-)) \cdot (\prod_(k = 1; k \neq j)^t((X - μ_k)(X - μ_k^-))/((μ_j^- - μ_k)(μ_j^- - μ_k^-))) \cdot ((X - μ_j)/(μ_j^- - μ_j))

.
Enfin, on pose

P = \sum_(k = 1)^r λ_k L_k + \sum_(k = 1)^t(μ_k^-Q_k + μ_k T_k)

.
27) Montrer que

P \in ℝ[X]

et que

^t A = P(A)

.
28) Préciser

P

lorsque

π_A = X(X + 1)(X^2 + X + 1)

FIN.

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Partie II- L'endomorphisme f^∗.

Partie III -Matrices normales et polynômes annulateurs.

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Partie V - Etude d'un exemple.

Partie VI - Généralisation.

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Partie II- L'endomorphisme $f^*$ .