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BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2014

Epreuve de maths approfondies - ECS 2014

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéductionAlgèbre linéairePolynômes et fractionsNombres complexes et trigonométrie, calculs, outilsTopologie/EVN
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Banque
BCE
Année
2014
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2014ECS MathématiquesMathématiques 2014

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Description

Annale de maths approfondies BCE ESSEC pour la filiere ECS, session 2014.

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Concours d'admission de 2014

Conception : ESSEC

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHÉMATIQUES I

Vendredi 9 mai 2014, de 14 h. à 18 h.
La présentation, la lisibilité, l'arthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Le problème comporte 6 parties.
Le but du problème est d'étudier les matrices telles que .
Une matrice vérifiant cette propriété sera dite normale.
Dans tout le problème :
  • désigne un entier supérieur ou égal à 1 .
  • est la base canonique de .
  • Si , on identifiera et la matrice de ses coordonnées dans la base .
  • est le produit scalaire usuel de si et . La norme euclidienne associée à est notée .
  • Pour et l'endomorphisme de représenté par dans la base , on note l'endomorphisme représenté par dans la base .
  • Un endomorphisme de représenté par une matrice normale dans la base est dit normal, il vérifie donc of .
  • Si est un sous-espace vectoriel de et , on dit que est stable par si : , . Dans ce cas, on note l'endomorphisme de défini par : .
  • Si , on note .

Partie I - Matrices normales d'ordre 2.

Soit .
  1. Vérifier que est une matrice normale si et seulement si ou bien est symétrique ou bien il existe et tels que .
  2. On suppose que est une matrice normale, montrer qu'il existe tel que (on pourra utiliser .
  3. Déterminer les matrices normales de telles que .

Partie II- L'endomorphisme .

Dans cette partie, et est l'endomorphisme de représenté par dans la base .
4) Propriétés élémentaires de :
a- Préciser l'endomorphisme .
b- Si est inversible, préciser l'endomorphisme .
5) Caractérisation de l'endomorphisme :
a- Pour tout couple dans , exprimer à l'aide des coefficients de .
b- Montrer que : .
c- Montrer que est l'unique endomorphisme de vérifiant :
  1. Montrer que si est un endomorphisme normal: .
  2. Réciproquement, soit tel que, pour tout . En exploitant l'égalité , montrer que est normal.
  3. Vérifier que, si est une matrice normale de , la matrice de dans toute base orthonormale de est normale.
Dans la suite du problème, on admettra les résultats suivants :
Si est un endomorphisme d'un espace euclidien muni du produit scalaire , on notera encore l'unique endomorphisme de vérifiant: .
Dans toute base orthonormée de , la matrice de est la transposée de la matrice de .
On dira encore que est normal si of .

Partie III -Matrices normales et polynômes annulateurs.

  1. Soit une matrice normale telle qu'il existe vérifiant . Soit , vérifier que et montrer que . Montrer alors que .
  2. Soit une matrice normale, on suppose qu'il existe et tel que , montrer que .
  3. Exemple : Soit telle que . Déterminer un polynôme annulateur de de degré 4, le factoriser. En déduire que . Montrer alors que est symétrique et que .
Dans la suite de cette partie, on suppose que est une matrice normale non nulle de .
12) Montrer que admet un polynôme annulateur , de degré au moins égal à 1 , dont les racines complexes sont toutes de multiplicité 1.
On note l'ensemble des polynômes de annulateurs de dont les racines complexes sont toutes de multiplicité 1 , et on pose .
13) Justifier que admet un minimum , soit un élément de de degré . On note les racines complexes deux à deux distinctes de .
a- Montrer que sont les valeurs propres complexes de .
b- En déduire que l'unique élément de de degré , de coefficient dominant égal à 1 est
Dans la suite du problème, on note ce polynôme.
14) Déterminer pour telle que et .

Partie IV - Propriétés spectrales des matrices normales.

Dans cette partie, est une matrice normale, l'endomorphisme de représenté par dans la base .
On note toujours le polynôme associé à défini dans la partie III.
15) Montrer que Ker . Plus généralement, si , vérifier que , en déduire que les espaces propres, s'ils existent, de et de sont identiques.
16) Soit et , montrer que est un sous-espace vectoriel de stable par et . Montrer que est aussi stable par et . Vérifier alors que et sont deux endomorphismes normaux respectivement de et de et que .
17) Recherche d'un sous-espace stable.
On désire montrer qu'il existe un sous-espace , stable par et , de dimension 1 ou 2 :
a- Premier cas : on suppose que admet une racine réelle et .
Montrer qu'il existe appartenant à . Montrer que convient.
Deuxième cas : on suppose maintenant que n'admet pas de racine réelle.
b- Justifier l'existence d'un couple de réels tels que et ne soit pas inversible. On note et .
c- Vérifier que est diagonalisable. On note un vecteur propre de .
d- Montrer alors que convient.
18) Montrer qu'il existe une base orthonormée de dans la quelle la matrice de est de la forme :
où sont des réels, sont des réels
positifs et des réels appartenant à .
19) Quelles sont les matrices normales pour lesquelles a toutes ses racines réelles ?

Partie V - Etude d'un exemple.

Dans cette partie, est une matrice normale et inversible de telles que .
On note .
20) Déterminer les complexes tels que puis factoriser dans et dans .
21) Montrer que est une matrice orthogonale de .
22) Montrer que est un polynôme en .
23) On suppose de plus que est impair et que , déterminer le polynôme associé à .

Partie VI - Généralisation.

Dans cette partie est une matrice normale non nulle de l'endomorphisme canoniquement associé à . On note le polynôme associé à , tel que défini à la question 13 .
On désire démontrer que est un polynôme en .
Plus précisément, on cherche un polynôme , de degré inférieur ou égal à , tel que .
24) Quel polynôme convient lorsque a toutes ses racines réelles?
Dans la suite de cette partie, on suppose que admet valeurs propres complexes non réelles distinctes.
On les note . Pour tout de , on note , où est un réel strictement positif et un réel appartenant à . Enfin, on note les valeurs propres réelles distinctes de .
On a : .
D'après la question 18, il existe une base orthonormée de dans laquelle la matrice de est de la forme : (les réels pouvant être répétés plusieurs fois ainsi que les matrices ).
25) Préciser .
26) Montrer que et .
On note et et on introduit les familles de polynômes et telles que :
pour tout ,
pour tout et
pour tout .
Enfin, on pose .
27) Montrer que et que .
28) Préciser lorsque .
FIN.

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