BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2015Sujet et corrigé

Jeudi 7 mai 2015 , de 14 h. à 18 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Dans tout le problème, on adopte les notations suivantes :
C^0([0, 1], ℝ) désigne l'ensemble des fonctions continues sur le segment [0, 1] et à valeurs dans ℝ.

Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 1, C^k([0, 1], ℝ) désigne l'ensemble des fonctions k fois dérivables sur le segment [0, 1], à valeurs dans ℝ et dont les dérivées successives jusqu'à la k-ème sont continues.

Si f est une fonction continue sur le segment [0, 1] et à valeurs dans ℝ, on note ‖f‖_∞ le nombre réel max_(t ∈ [0, 1])|f(t)|.

Si q est une fonction continue sur le segment [0, 1] et à valeurs dans ℝ, on note F(q) l'ensemble défini par : F(q) = {f ∈ C^2([0, 1], ℝ)/∀t ∈ [0, 1], f^(′′)(t) = q(t)f(t)}.

Vérifier que l'application Φ, qui à f associe Φ(f), est un endomorphisme de C^0([0, 1], ℝ).
c) Montrer que Φ(f) appartient à C^2([0, 1], ℝ) et calculer [Φ(f)] 'et [Φ(f)] ".
d) En déduire pour toute fonction f de C^0([0, 1], ℝ) :
( f appartient à F(q) et vérifie: f(0) = f^′(0) = 0 ) si et seulement si ( Φ(f) = f ).
2. Soit f dans C^0([0, 1], ℝ). On définit la suite de fonctions (f_n)_(n ∈ ℕ) par f_0 = f et, pour tout n entier naturel, f_(n + 1) = Φ(f_n).
a) Montrer que: ∀t ∈ [0, 1], |f_n(t)| ≤ ‖q‖_∞^n‖f_0‖_∞(t^n)/(n!).
b) En déduire que, pour tout t de [0, 1], la suite (f_n(t))_(n ∈ ℕ) converge vers 0 .
c) Montrer alors que si f appartient à F(q) et vérifie: f(0) = f^′(0) = 0, alors f est nulle.
d) Montrer que l'application Δ : {F(q), → ℝ^2; f, ↦ (f(0), f^′(0)) est linéaire et injective. Que peuton en déduire pour la dimension de F(q) ?

Partie I: Pespace E_a(ω).
Soient ω une fonction continue sur le segment [0, 1] et à valeurs réelles strictement positives et a un nombre réel. On note :
E_a(ω) = {f ∈ C^2([0, 1], ℝ)/∀t ∈ [0, 1], f^(′′)(t) = − aω(t)f(t) et f(0) = f(1) = 0}.
3. a) Montrer que E_a(ω) est un sous-espace vectoriel de C^0([0, 1], ℝ).
b) Un exemple élémentaire : le cas a = 0. Décrire E_0(ω).
4. Un exemple constructif: le cas ω est la fonction constante 1.
a) Pour a strictement négatif, remarquer que t ↦ exp((√(− a))t) et t ↦ exp(− (√(− a))t) sont dans F(− a). En déduire E_a(1) pour a strictement négatif.
b) Pour a strictement positif, remarquer que t ↦ cos((√a)t) et t ↦ sin((√a)t) sont dans F(− a). Décrire E_a(1) pour a strictement positif en discutant suivant la nature du nombre réel √a/π.
5. On revient au cas général, montrer que : dim(E_a(ω)) ≤ 1. On pourra faire intervenir encore l'application △ .
6. Montrer que : si E_a(ω) n'est pas réduit à {0}, alors a est strictement positif (on pourra introduire ∫_0^1(f^′(t))^2 dt)
7. Lorsque f et g sont deux fonctions continues sur le segment [0, 1] et à valeurs dans ℝ, on pose: ⟨f|g⟩ = ∫_0^1 f(t)g(t)ω(t)dt. Vérifier que cela définit bien un produit scalaire sur C^0([0, 1], ℝ).
Dans toute la suite du problème, l'espace C^0([0, 1], ℝ) est muni de ce produit scalaire.
Pour f dans C^0([0, 1], ℝ), on note : ‖f‖_2 = √(⟨f|f⟩) = √(∫_0^1(f(t))^2 ω(t)dt).
8. Si a et b sont deux nombres réels distincts, montrer que E_a(ω) et E_b(ω) sont orthogonaux.

Partie II: l'exemple ω = 1.
Dans cette partie, ω est la fonction constante 1 et p est un entier supérieur ou égal à 2 .
Pour tout k entier naturel non-nul, on note ψ_k la fonction définie par:
ψ_k : t ∈ [0, 1] ↦ √2sin(kπt).
9. a) Vérifier qu'il existe un nombre réel a strictement positif tel que ψ_k appartienne à E_a(1).
b) Pour tout couple (k, l) dans (ℕ^∗)^2, calculer : ⟨ψ_k|ψ_l⟩ = ∫_0^1 ψ_k(t)ψ_l(t)dt.
c) On note G le sous-espace vectoriel de C^0([0, 1], ℝ) engendré par (ψ_1, …, ψ_p). Vérifier que C = (ψ_1, …, ψ_p) est une base orthonormée de G.
10. Pour g élément de G, on définit la fonction u(g) par : pour tout t ∈ [0, 1], (u(g))(t) = 2cos(πt)g(t) − (∫_0^1 g(x)ψ_p(x)dx)ψ_(p + 1)(t).
a) Montrer que u : g ↦ u(g) est un endomorphisme de G.
b) Ecrire la matrice de u dans la base C. Justifier que u est diagonalisable.
11. a) Vérifier que, pour g élément de G : ⟨g|u(g)⟩ = 2∫_0^1 cos(πt)g^2(t)dt.
b) Soit λ une valeur propre de u, montrer d'abord que λ appartient au segment [ − 2, 2]. Vérifier ensuite que λ ne vaut ni 2ni − 2 (on pourra raisonner par l'absurde).
12. Soient λ une valeur propre de u et θ un nombre réel de ]0, π[ tel que : λ = 2cos(θ), on note ψ un vecteur propre associé. Il existe un p-uplet de nombres réels (x_1, …, x_p) tel que : ψ = ∑_(k = 1)^p x_k ψ_k. On pose x_0 = x_(p + 1) = 0.
a) Vérifier que, pour tout k dans [ [1, p] ], x_(k + 1) − 2cos(θ)x_k + x_(k − 1) = 0.
b) En déduire l'existence d'un couple ( A, B ) de nombres réels tel que, pour tout k dans [ [0, p + 1] ], x_k = Acos(kθ) + Bsin(kθ).
c) Justifier que A est nul et qu'il existe s dans [ [1, p] ] tel que : θ = (sπ)/(p + 1).
d) En déduire les valeurs propres de u et une base de vecteurs propres de u.

On revient au cas général : ω est une fonction continue sur le segment [0, 1] et à valeurs réelles strictement positives. On note (H_ω) l'hypothèse : Il existe une suite bornée (a_n)_(n ∈ ℕ) de réels strictement positifs, deux à deux distincts, telle que, pour tout entier n, E_(a_n)(ω) n'est pas réduit à {0}.
13. L'hypothèse (H_ω) est-elle vérifiée si ω est la fonction constante 1 ? Justifier la réponse.

On se propose de démontrer, par l'absurde, que cette hypothèse n'est jamais réalisée. Ainsi, on suppose qu'il existe ω une fonction continue sur le segment [0, 1] et à valeurs réelles strictement positives telle que l'hypothèse ( H_ω ) est réalisée ; on note a un nombre réel positif et (a_n)_(n ∈ ℕ) une suite de nombres réels deux à deux distincts, tels que, pour tout entier n : E_(a_n)(ω) ≠ {0} et 0 < a_n ≤ a.
14. Justifier l'existence d'une suite de fonctions (f_n)_(n ∈ ℕ) de C^0([0, 1], ℝ) vérifiant : ∀n ∈ ℕ, f_n ∈ E_(a_n)(ω) et ∫_0^1(f_n(t))^2 ω(t)dt = 1. Une telle suite est ainsi fixée jusqu'à la fin du problème.
15. Soit φ dans C^0([0, 1], ℝ). Pour tout n entier naturel, on note :

a) Que représente S_n(φ) ?
b) Vérifier que, pour tout n entier naturel : ‖S_n(φ)‖_2^2 = ∑_(k = 0)^n(c_k(φ))^2 et ∑_(k = 0)^n(c_k(φ))^2 ≤ ‖φ‖_2^2.
c) Que peut-on dire de la série ∑_(n ≥ 0)(c_n(φ))^2 ?
d) En déduire : lim_(n → + ∞)∫_0^1 f_n(t)φ(t)ω(t)dt = 0 et lim_(n → + ∞)∫_0^1 f_n^(′′)(t)φ(t)dt = 0.
16. a) Soit x un nombre réel fixé dans le segment [0, 1]. On définit la fonction φ_x par : φ_x : t ∈ [0, 1] ↦ {t(x − 1), si t ∈ [0, x]; x(t − 1), si t ∈ ]x, 1]. Vérifier que φ_x est un élément de C^0([0, 1], ℝ).
b) Rappeler la formule de Taylor avec reste intégral appliquée à f_n à l'ordre 1 entre 0 et x. Vérifier que : f_n(x) = xf_n^′(0) + ∫_0^x(x − t)f_n^(′′)(t)dt, puis : f_n^′(0) = − ∫_0^1(1 − t)f_n^(′′)(t)dt.
c) En déduire : f_n(x) = ∫_0^1 φ_x(t)f_n^(′′)(t)dt et conclure : lim_(n → + ∞)f_n(x) = 0.
d) Remarquer : f_n(x) = − a_n⟨φ_x|f_n⟩, en déduire : |f_n(x)| ≤ a‖φ_x‖_2.
e) Calculer ∫_0^1(φ_x(t))^2 dt, en déduire : |f_n(x)| ≤ ax(1 − x)√((‖ω‖_∞)/3).
f) Justifier : |f_n^′(0)| ≤ a(√(‖ω‖_∞))/(√3).
g) Rappeler pourquoi on a: f_n^′(x) = f_n^′(0) − a_n∫_0^x ω(t)f_n(t)dt et en déduire alors: |f_n^′(x)| ≤ a√((‖ω‖_∞)/3)(1 + a/4‖ω‖_∞).
17. On note C = a√(‖ω‖_∞)(1 + a/4‖ω‖_∞) (on remarque que C est un nombre réel strictement positif).
Déduire des questions précédentes : ∀(x, y) ∈ [0, 1]^2, ∀n ∈ ℕ, |f_n(x) − f_n(y)| ≤ C|x − y|.
18. Soit ε un nombre réel strictement positif, on choisit N un entier naturel non-nul tel que : 1/N ≤ ε/(2C) et on pose, pour k dans [ [0, N] ] : α_k = k/N.
a) Justifier qu'il existe un entier naturel p tel que : ∀n ≥ p, ∀k ∈ [ [0, N] ], |f_n(α_k)| < ε/2.
b) Soit alors x un nombre réel fixé dans le segment [0, 1]. En introduisant un entier k de [ [[0, N − 1] tel que : x ∈ [α_k, α_(k + 1)], montrer que : ∀n ≥ p, |f_n(x)| < ε.
c) En déduire : lim_(n → + ∞)‖f_n‖_∞ = 0.
d) Montrer alors : lim_(n → + ∞)∫_0^1(f_n(t))^2 ω(t)dt = 0 et conclure.