Jeudi 7 mai 2015 , de 14 h. à 18 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Dans tout le problème, on adopte les notations suivantes :
désigne l'ensemble des fonctions continues sur le segment et à valeurs dans .

Pour tout entier naturel supérieur ou égal à désigne l'ensemble des fonctions fois dérivables sur le segment , à valeurs dans et dont les dérivées successives jusqu'à la -ème sont continues.

Si est une fonction continue sur le segment et à valeurs dans , on note le nombre réel .

Si est une fonction continue sur le segment et à valeurs dans , on note l'ensemble défini par : .

Vérifier que l'application , qui à associe , est un endomorphisme de .
c) Montrer que appartient à et calculer 'et ".
d) En déduire pour toute fonction de :
( appartient à et vérifie: ) si et seulement si ( ).
2. Soit dans . On définit la suite de fonctions par et, pour tout entier naturel, .
a) Montrer que: .
b) En déduire que, pour tout de , la suite converge vers 0 .
c) Montrer alors que si appartient à et vérifie: , alors est nulle.
d) Montrer que l'application est linéaire et injective. Que peuton en déduire pour la dimension de ?

Partie I: Pespace .
Soient une fonction continue sur le segment et à valeurs réelles strictement positives et un nombre réel. On note :
et .
3. a) Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
b) Un exemple élémentaire : le cas . Décrire .
4. Un exemple constructif: le cas est la fonction constante 1.
a) Pour strictement négatif, remarquer que et sont dans . En déduire pour a strictement négatif.
b) Pour strictement positif, remarquer que et sont dans . Décrire pour strictement positif en discutant suivant la nature du nombre réel .
5. On revient au cas général, montrer que : . On pourra faire intervenir encore l'application △ .
6. Montrer que : si n'est pas réduit à , alors a est strictement positif (on pourra introduire
7. Lorsque et sont deux fonctions continues sur le segment et à valeurs dans , on pose: . Vérifier que cela définit bien un produit scalaire sur .
Dans toute la suite du problème, l'espace est muni de ce produit scalaire.
Pour dans , on note .
8. Si et sont deux nombres réels distincts, montrer que et sont orthogonaux.

Partie II: l'exemple .
Dans cette partie, est la fonction constante 1 et est un entier supérieur ou égal à 2 .
Pour tout entier naturel non-nul, on note la fonction définie par:
.
9. a) Vérifier qu'il existe un nombre réel strictement positif tel que appartienne à .
b) Pour tout couple dans , calculer : .
c) On note le sous-espace vectoriel de engendré par . Vérifier que est une base orthonormée de .
10. Pour élément de , on définit la fonction par : pour tout , .
a) Montrer que est un endomorphisme de .
b) Ecrire la matrice de dans la base . Justifier que est diagonalisable.
11. a) Vérifier que, pour élément de .
b) Soit une valeur propre de , montrer d'abord que appartient au segment . Vérifier ensuite que ne vaut ni (on pourra raisonner par l'absurde).
12. Soient une valeur propre de et un nombre réel de tel que : , on note un vecteur propre associé. Il existe un -uplet de nombres réels tel que : . On pose .
a) Vérifier que, pour tout dans .
b) En déduire l'existence d'un couple ( ) de nombres réels tel que, pour tout dans .
c) Justifier que est nul et qu'il existe dans tel que : .
d) En déduire les valeurs propres de et une base de vecteurs propres de .

On revient au cas général : est une fonction continue sur le segment et à valeurs réelles strictement positives. On note l'hypothèse : Il existe une suite bornée de réels strictement positifs, deux à deux distincts, telle que, pour tout entier n'est pas réduit à .
13. L'hypothèse est-elle vérifiée si est la fonction constante 1 ? Justifier la réponse.

On se propose de démontrer, par l'absurde, que cette hypothèse n'est jamais réalisée. Ainsi, on suppose qu'il existe une fonction continue sur le segment et à valeurs réelles strictement positives telle que l'hypothèse ( ) est réalisée ; on note a un nombre réel positif et une suite de nombres réels deux à deux distincts, tels que, pour tout entier : et .
14. Justifier l'existence d'une suite de fonctions de vérifiant : , et . Une telle suite est ainsi fixée jusqu'à la fin du problème.
15. Soit dans . Pour tout entier naturel, on note :

a) Que représente ?
b) Vérifier que, pour tout entier naturel : et .
c) Que peut-on dire de la série ?
d) En déduire : et .
16. a) Soit un nombre réel fixé dans le segment . On définit la fonction par : . Vérifier que est un élément de .
b) Rappeler la formule de Taylor avec reste intégral appliquée à à l'ordre 1 entre 0 et . Vérifier que : , puis : .
c) En déduire : et conclure : .
d) Remarquer : , en déduire : .
e) Calculer , en déduire .
f) Justifier : .
g) Rappeler pourquoi on a: et en déduire alors: .
17. On note (on remarque que est un nombre réel strictement positif).
Déduire des questions précédentes : .
18. Soit un nombre réel strictement positif, on choisit un entier naturel non-nul tel que : et on pose, pour dans .
a) Justifier qu'il existe un entier naturel tel que : .
b) Soit alors un nombre réel fixé dans le segment . En introduisant un entier de tel que : , montrer que : .
c) En déduire : .
d) Montrer alors : et conclure.