Jeudi 4 mai 2017, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Soit un espace vectoriel réel et une partie non vide de .
Soit un élément de , on dit que est un point extrémal de si:

Les parties 0 et I permettent de se familiariser avec la notion de point extrémal.
La partie II prouve que les points d'une partie donnant le diamètre de cette partie sont extrémaux.

Enfin la partie III étudie des propriétés des matrices de permutation, en particulier de l'isobarycentre de ces matrices. On obtient finalement une preuve du fait que les points extrémaux de l'ensemble des matrices bistochastiques sont les matrices de permutation.

Partie 0 : Etude d'un premier exemple dans .

1- On prend ici et , montrer qu'aucun point de n'est extrémal.
2- On considère maintenant et , montrer que les points extrémaux de sont 0 et 1 .

Partie I: Étude d'un second exemple dans .

Dans cette partie, on note l'ensemble et la matrice . Par ailleurs, désigne la matrice identité dans .

3- Description et propriétés des éléments de .
a- Vérifier que : .
b- Soient de et dans , montrer que : .
c- Déterminer les éléments de qui sont inversibles dans . Pour ceux-ci, donner l'expression de et préciser pour quelles valeurs de de appartient à .

4- Points extrémaux de .
a- Montrer que et sont des points extrémaux de .
b- Soit dans , vérifier que : ; en déduire que n'est pas extrémal.
c- Par une méthode similaire, montrer que si est dans n'est pas extrémal.
5- Réduction simultanée des matrices de .
a- Déterminer les valeurs propres et espaces propres de la matrice .
b- Montrer qu'il existe une matrice inversible dans telle que, pour tout de est une matrice diagonale , on précisera et .
c- On note l'endomorphisme de représenté par la matrice dans la base canonique de . Déterminer les réels de tels que soit un projecteur de . On précisera l'image et le noyau du ou des projecteurs ainsi trouvés.

Partie II: Points extrémaux et diamètre d'une partie bornée d'un espace euclidien.

Dans cette partie, on suppose que est un espace euclidien de dimension finie non nulle, muni d'un produit scalaire noté . On note la norme euclidienne associée.

On considère une partie non vide de telle qu'il existe un réel positif tel que, pour tout vecteur de , on ait : .

6- Montrer que l'ensemble est une partie non vide et majorée de .

Cet ensemble admet donc une borne supérieure.
On note alors est appelé diamètre de .

Dans la suite de cette partie, on suppose que la partie vérifie la propriété suivante :
: Il existe dans tel que .

On se propose de démontrer que est un point extrémal de .
7- On considère donc dans tel que .
a- Vérifier que : .
En déduire que : .
b- Vérifier que : .
En déduire que : .
c- Montrer de même que : .
d- Montrer alors que et sont orthogonaux.
e- En déduire que et sont égaux et conclure.

Dans tout la suite du problème, est un entier supérieur ou égal à 2 et on note ,
et est l'ensemble des matrices bistochastiques de .
est l'ensemble et .
On munit de sa structure euclidienne usuelle.
Enfin, désigne la base canonique de .

8- Premières propriétés de .
a- Soit dans , montrer que : , et que : ( désigne la matrice transposée de ).
On note (toutes les composantes de sont égales à 1).
b- Soit de , montrer que : .
c- Réciproquement, soit de telle que pour tout de et , montrer que : .
d- de , montrer que : .

9- Endomorphismes et matrices de permutation.
On note l'ensemble des permutations de , c'est-à-dire l'ensemble des bijections de sur lui-même. Le cardinal de est .
Soit de , on note l'endomorphisme de tel que : pour tout .
On note la matrice de dans la base , on dit que est la matrice de permutation associée à .
a- Si est l'identité de ( pour tout ), que sont et ?
b- Si est une permutation de , montrer que : . Déterminer de telle que .
c- Soit de , montrer que ; en déduire que est inversible et déterminer .
d- Justifier que les matrices sont des matrices orthogonales.
e- Justifier que les matrices sont exactement les matrices présentant sur chaque ligne et chaque colonne une fois la valeur 1 et fois la valeur 0 .

10- Soit de , montrer que est un point extrémal de .
11- Étude d'un projecteur : on note et .
a- Soit fixé dans , montrer que l'application est une bijection de dans lui-même. Montrer alors que : .
b- En déduire que est un projecteur de .
c- Montrer que : .
d- Montrer alors que : où .
e- Calculer ; en déduire que est un projecteur orthogonal et déterminer .
f- Vérifier que .

12-Diamètre de .
a- Si et sont deux matrices de , calculer
b- Montrer que l'application est un produit scalaire sur .
Si sont dans , on note et .
c- Soit de , calculer .
d- Dans cette question seulement, on suppose que . Soit ( ) dans et de , calculer . Montrer alors que .
e- On revient au cas général : . Soit de , montrer que .
f- Montrer alors que, pour tout de .
g- Soit dans , construire dans tel que .
h- En déduire le diamètre de et retrouver que les matrices de permutation sont des points extrémaux de .

13- Structure et dimension de .
a- Vérifier que est un sous-espace vectoriel de .
b- Soit qui, à toute matrice de , associe la matrice . Montrer que est un isomorphisme de dans . En déduire la dimension de .

14-On désire montrer que les matrices de permutation sont les seuls points extrémaux de . On raisonne par récurrence sur , on note la proposition :
Si est un point extrémal de est une matrice de permutation.
a- Vérifier, à l'aide de la partie I, que la proposition est réalisée.
On considère un entier naturel supérieur ou égal à 3 tel que ( ) soit réalisée et on se donne un point extrémal de .
On suppose d'abord que la matrice a au moins coefficients non nuls: il existe couples deux à deux distincts tels que est non nul.

On pose alors où les matrices sont les matrices élémentaires de , c'est-à-dire: est la matrice de ayant coefficients nuls et un seul valant 1 , placé en position .
b- Montrer que .
c- On prend dans avec et, pour réel, on note . Montrer qu'il existe tel que, pour tout de est dans .
d- En considérant de et les matrices et , montrer que l'on aboutit à une contradiction.
On a done prouvé que la matrice a au plus coefficients non nuls.
e- Montrer alors qu'il existe une colonne de n'ayant qu'un terme non nul et que ce terme vaut 1 .
On note l'indice d'une telle colonne et l'indice de la ligne telle que .
f- Justifier que la ligne d'indice de a tous ses coefficients nuls sauf .
g- On considère alors la matrice obtenue à partir de en lui enlevant la colonne d'indice et la ligne d'indice , montrer que 'est dans et que est un point extrémal de .
h- En déduire que est une matrice de permutation de et que est une matrice de permutation de .