Mercredi 2 mai 2018, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Lorsque est un nombre réel strictement positif, on note :

Et à toute suite de , on associe, sous réserve d'existence, la fonction .

Dans la première partie, on étudie quelques propriétés des ensembles et .
Dans la seconde, on étudie les propriétés de régularité des fonctions .
Dans la troisième partie, on obtient, dans le cas où , sous certaines hypothèses, une formule de réciprocité donnant la suite en fonction de la suite .

Enfin, dans la dernière partie, on utilise les résultats obtenus pour l'étude de variables aléatoires discrètes.

1- Soit un nombre réel strictement positif et une suite de , montrer que, pour tout nombre réel de et pour tout entier naturel , la série converge. En déduire que, pour tout réel tel que , on a : .
2- Vérifier également que : et
3- Montrer que, pour tout nombre réel strictement positif est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des suites réelles.
4- Exemples :
a- On souhaite montrer que, pour tout réel strictement positif, la suite appartient à . Pour cela, on pose pour tout entier naturel . En considérant le quotient , montrer que la suite converge vers 0 . Conclure alors : .
b- Pour réel strictement positif, on note la suite . Déterminer les réels strictement positifs pour lesquels la suite appartient à . Déterminer ensuite les réels strictement positifs pour lesquels la suite appartient à .
5- Soit un réel strictement positif et une suite de . Montrer que, pour tout réel de , la suite est dans .
(On pourra penser à écrire : .)

Dans cette partie désigne un réel strictement positif et une suite de .
6- Vérifier que est définie sur ] [ (on pourra utiliser la question 5).
7- Continuité de :
a- Soit un réel de dans et un réel tel que : , montrer que, pour tout entier naturel .
b- Justifier alors soigneusement que .
c- Montrer alors que est continue sur puis sur .

8- Caractère de :
On considère ici un réel de et dans . Pour tout de , on pose et, sous réserve d'existence : .
a- Soit dans . Justifier que la suite appartient à , en déduire que est définie et continue sur .
b- Vérifier que, pour tout de .
c- Montrer que, pour tout de .
d- En déduire que : .
e- Montrer alors que est de classe sur et que : .

9- Caractère de :
a- Soit de . Montrer que la suite appartient à si et seulement si, pour tout de , la série converge.
b- Montrer que est de classe sur et que , pour tout de et tout de .
c- Pour tout de , exprimer en fonction de .

10-Exemples :
a- On pose et . Donner une expression de pour tout . Pour tout de , calculer .
b- Soit un réel strictement positif, la suite et . Donner une expression de pour tout de . En déduire que, pour tout de et tout de , la série converge et :

Dans cette partie, désigne un réel strictement supérieur à et est une suite de telle que: .

Pour tout de , on note et on fait l'hypothèse ( ) qu'il existe un réel strictement supérieur à 1 tel que la suite converge vers 0 .

11- Expression de :
a- Montrer que: .
b- Démontrer que : .
c- En déduire que la série converge et que : .
12-Généralisation: On considère ici un entier naturel fixé.
a- Montrer que : .
b- Vérifier que : .
c- Déterminer .
d- Montrer alors que la série converge et : .

13-Cas particulier: on suppose dans cette question que est une suite de réels positifs pour laquelle il existe un entier naturel tel que : .
a- Que peut-on dire de la fonction ?
b- Montrer que la condition est réalisée.
c- En déduire que, pour tout de .

Dans cette partie, les variables aléatoires seront discrètes, définies sur un espace probabilisé , à valeurs dans . Pour une telle variable aléatoire , on pourra utiliser, sans les rappeler, les notations suivantes:

14-Premiers résultats :
a- Justifier que la suite appartient à .
b- En déduire qu'il existe un réel au moins égal à l tel que soit définie et de classe sur .

15-Premier exemple :
a- On suppose tout d'abord que suit une loi de Poisson de paramètre 1, déterminer la fonction , vérifier qu'elle est de classe sur et, pour tout de , calculer .
b- On suppose maintenant que est une variable aléatoire discrète définie sur un espace probabilisé telle que : et vérifiant : est définie sur , de classe sur et pour tout de . Justifier que l'hypothèse du III est réalisée et déterminer pour tout de . Quelle est la loi de ?

16-Deuxième exemple : On considère ici un réel dans et on note .
a- On suppose que suit une loi géométrique de paramètre . Déterminer la suite puis la fonction ; vérifier que est de classe sur . Enfin, pour tout de , calculer .
b- On suppose maintenant que : . Vérifier que : .
On considère une variable aléatoire discrète définie sur un espace probabilisé telle que : . On suppose de plus que : est définie et de classe sur , et pour tout de . Justifier que l'hypothèse ( ) du III est réalisée et déterminer pour tout . Quelle est la loi de ?

17- Cas où est une variable aléatoire ne prenant qu'un nombre fini de valeurs :
On suppose dans cette question que est inclus dans où est un entier de .
On note Pol le sous-espace des fonctions de dans constitué des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à . Pour de , on note la fonction et on rappelle que est une base de Pol .

On définit les fonctions de :
et pour tout de .
a- Montrer que la famille est une base de .
On note défini sur Pol par : .
b- Vérifier que est un endomorphisme de .
c- Montrer que : et encore : et .
d- Montrer que : .
e- En déduire que, pour tout de et pour tout de :

f- Montrer alors que, pour tout de , l'espérance de est :

g- Exemple : on suppose ici que : et . Déterminer et , puis et . Reconnaître la loi de .