Probabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesStatistiquesSuites et séries de fonctionsFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généralisées
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Toutes les variables aléatoires considérées dans ce problème sont supposées définies sur le même espace probabilisé .
Questions préliminaires
Si , on appelle partie entière de que l'on note , l'unique entier tel que .
Montrer que pour tout , on a .
Montrer que .
Première Partie - La loi arcsinus
On rappelle que la restriction de la fonction sin à l'intervalle est une bijection sur .
On note arcsin : sa bijection réciproque.
(a) Montrer que pour tout , on a .
(b) Montrer que la fonction arcsin est continue sur et dérivable sur , de dérivée .
(a) Soit la fonction définie .
Montrer que est continue sur et dérivable sur , de dérivée donnée par
(b) Etudier la fonction et tracer son graphe.
5. Soit la fonction définie par :
(a) Montrer que la fonction est une densité de probabilité.
(b) Soit une variable aléatoire de densité . On dit que suit la loi arcsinus.
Montrer que admet une espérance et calculer celle-ci.
(On pourra considérer le changement de variable .)
6. (a) Soit une variable aléatoire à densité suivant la loi uniforme sur .
Montrer que la variable aléatoire suit la loi arcsinus.
(b) À l'aide de la question précédente, compléter les deux lignes de la fonction Python suivante afin qu'elle renvoie une réalisation d'une variable aléatoire de loi arcsinus:
import numpy as \(n p\)
import numpy.random as rd
def arcsinus() :
\(\mathrm{U}=\ldots\).
\(\mathrm{V}=\ldots\).
return V
Soit tel que et . Montrer l'encadrement :
Montrer que les deux inégalités sont inversées si l'on suppose que .
8. Soient et une suite d'entiers telle que :
Pour tout suffisamment grand, on a ;
;
.
Donner un exemple d'une telle suite et montrer que:
On admet que pour tout et toute suite vérifiant les mêmes conditions qu'à la question précédente, on a:
Deuxième Partie - Marche aléatoire sur
Soit et une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes et de même loi donnée par :
On pose pour tout et .
La suite est appelée marche aléatoire sur .
9. Pour tout , déterminer la loi de .
En déduire la loi de pour .
10. Les variables aléatoires sont-elles mutuellement indépendantes?
11. On pose pour tout .
Soit . On note la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite et le réel positif tel que .
En majorant , montrer que l'intervalle est un intervalle de confiance asymptotique d'estimation du paramètre au niveau de confiance .
12. (a) Justifier que pour tout , on a .
(b) Montrer que pour tout , on a :
Soit fixé. On introduit la variable aléatoire , à valeurs dans , définie par :
La variable aléatoire décrit donc le dernier instant avant l'instant où la marche aléatoire prend la valeur 0 .
13. Déterminer .
14. Soit .
(a) Montrer l'égalité d'événements suivante :
(b) Justifier que :
On notera la valeur de cette probabilité. (*)
15. Montrer que pour tout et tout on a :
où par convention .
A partir de maintenant et dans toute la suite du problème, . Le calcul explicite des est l'objet des questions suivantes.
Pour tout , on considère les événements suivants :
On considère également, pour tout et tout , l'événement :
Pour tout entier , on pose lorsque ou et on note, pour tout et tout .
16. (a) Montrer que, pour tout , l'ensemble est un intervalle d'entiers.
(b) En déduire que :
Montrer que:
Soit tel que .
(a) Soit . Montrer que
(b) Montrer que pour tout , on a :
Montrer par récurrence sur que pour tout on a :
où l'on pose dès que .
20. On rappelle que la suite a été définie précédemment ( ).
Montrer que, pour tout , on a : .
Troisième Partie - Comportement asymptotique
Dans cette troisième partie, on cherche à étudier la limite en loi de la suite de variables aléatoires .
21. (a) Compléter par autant de lignes que nécessaire la fonction Python DernierPassage permettant de simuler la variable aléatoire :
import numpy.random as rd
def DernierPassage(n):
L=0
S=0
for i in range (1,2*n+1):
...
return L
(b) A l'aide de cette fonction, on simule réalisations de la variable aléatoire puis on représente les valeurs obtenues sous la forme d'un histogramme à 100 classes. On obtient la figure suivante :
Quelle conjecture peut-on formuler à propos de la suite de variables aléatoires ?
22. Pour tout entier , on pose et .
(a) Montrer que la série de terme général converge.
(b) En déduire que la suite est convergente.
On admet que est la limite de cette suite.
23. Soient et une suite d'entiers telle que :
Pour tout suffisamment grand, on a ;
;
.
(a) Montrer que :
(b) Montrer, pour suffisamment grand, l'encadrement :
où :
(c) Soient et deux suites d'entiers telles que
Montrer que les deux suites et sont convergentes, de même limite .
(d) En déduire que :
où la fonction a été définie dans la première partie.
24. Soient et une suite d'entiers telle que :
Pour tout suffisamment grand, on a ;
;
.
(a) Donner un exemple d'une telle suite .
(b) En déduire que :
Montrer que la suite de variables aléatoires converge en loi .
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