BCE Maths approfondies HEC/ESCP ECG 2023, épreuve 2Sujet

Q: Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques approfondies HEC-ESCP 2 ECG 2023 ?

Le sujet porte sur les probabilités : la loi arcsinus, la marche aléatoire simple sur Z et la convergence en loi, avec des questions de simulation en Python et d'étude asymptotique de coefficients binomiaux.

Q: Quelles parties du sujet sont indépendantes ?

La première partie sur la loi arcsinus peut être traitée avant la deuxième sur la marche aléatoire, mais la troisième partie sur le comportement asymptotique de L_n/n réutilise les résultats des deux premières.

Q: Le sujet demande-t-il d'écrire du code Python ?

Oui, il demande de compléter une fonction simulant une variable aléatoire suivant la loi arcsinus, puis une fonction simulant la variable aléatoire L_n donnant le dernier passage en 0 de la marche aléatoire.

Epreuve de maths approfondies - ECG 2023

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La loi arcsinus et la marche aléatoire simple sur Z : temps du dernier passage en 0

Le problème étudie la loi arcsinus, construite à partir de la fonction G(x) = 2 arcsin(√x), puis simulée à partir d'une loi uniforme. Il étudie ensuite la marche aléatoire simple sur Z et la variable aléatoire L_n donnant le dernier instant avant 2n où la marche s'annule, en calculant sa loi à l'aide du nombre de chemins ne s'annulant pas. La troisième partie établit la convergence en loi de L_n/n vers la loi arcsinus, via un équivalent des coefficients binomiaux centraux.

1Questions préliminairesDeux résultats de convergence sur la partie entière utilisés dans la suite du problème.
2Première partie : la loi arcsinusConstruction de la fonction G(x) = 2 arcsin(√x), de sa densité associée, définition de la loi arcsinus, calcul de son espérance et simulation en Python à partir d'une loi uniforme.
3Deuxième partie : marche aléatoire sur ZÉtude de la marche aléatoire simple S_n, intervalle de confiance pour le paramètre θ, puis calcul de la loi de L_n, le dernier instant avant 2n où S_2n s'annule, à l'aide de la probabilité p_n que la marche ne s'annule pas jusqu'à l'instant 2n.
4Troisième partie : comportement asymptotiqueSimulation Python de L_n, étude asymptotique de la suite C_n = √n/4^n · C(2n,n) par comparaison de séries, puis démonstration de la convergence en loi de L_n/n vers la loi arcsinus.

Description

Annale de maths approfondies BCE HEC/ESCP pour la filiere ECG, session 2023.

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MATHEMATIQUES 2 APPROFONDIES

FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE VOIE GENERALE

Mardi 2 mai 2023, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Toutes les variables aléatoires considérées dans ce problème sont supposées définies sur le même espace probabilisé

(Ω, A, ℙ)

Questions préliminaires

t \in ℝ

, on appelle partie entière de

t

que l'on note

⌊t⌋

, l'unique entier tel que

⌊t⌋ ⩽ t < ⌊t⌋ + 1

Montrer que pour tout $x \in ℝ$ , on a $lim_(n \to + \infty)(⌊nx⌋)/n = x$ .
Montrer que $lim_(n \to + \infty)(n - ⌊n/2⌋) = + \infty$ .

Première Partie - La loi arcsinus

On rappelle que la restriction de la fonction sin à l'intervalle $[ - π/2, π/2]$ est une bijection sur $[ - 1, 1]$ .
On note arcsin : $[ - 1, 1] \to [ - π/2, π/2]$ sa bijection réciproque.
(a) Montrer que pour tout $x \in [ - 1, 1]$ , on a $cos(arcsin(x)) = \sqrt(1 - x^2)$ .
(b) Montrer que la fonction arcsin est continue sur $[ - 1, 1]$ et dérivable sur $] - 1, 1[$ , de dérivée $x \mapsto 1/(\sqrt(1 - x^2))$ .
(a) Soit $G : [0, 1] \to ℝ$ la fonction définie $parG(x) = 2arcsin(\sqrtx)$ .

Montrer que

G

est continue sur

[0, 1]

et dérivable sur

]0, 1[

, de dérivée

g

donnée par

\forallx \in ]0, 1[ g(x) = 1/(\sqrt(x(1 - x)))

(b) Etudier la fonction

g

et tracer son graphe.
5. Soit

f : ℝ \to ℝ

la fonction définie par :

f(t) = {1/πg(t), si t \in ]0, 1[; 0, sinon

(a) Montrer que la fonction

f

est une densité de probabilité.
(b) Soit

X

une variable aléatoire de densité

f

. On dit que

X

suit la loi arcsinus.

Montrer que

X

admet une espérance et calculer celle-ci.
(On pourra considérer le changement de variable

u = 1 - x

.)
6. (a) Soit

U

une variable aléatoire à densité suivant la loi uniforme sur

[0, 1]

Montrer que la variable aléatoire

V = sin^2(π/2U)

suit la loi arcsinus.
(b) À l'aide de la question précédente, compléter les deux lignes de la fonction Python suivante afin qu'elle renvoie une réalisation d'une variable aléatoire de loi arcsinus:

import numpy as \(n p\)
import numpy.random as rd
def arcsinus() :
    \(\mathrm{U}=\ldots\).
    \(\mathrm{V}=\ldots\).
    return V

Soit $n \in ℕ$ tel que $n ⩾ 4$ et $1 ⩽ k ⩽ n/2 - 1$ . Montrer l'encadrement :

G((k + 1)/n) - G(k/n) ⩽ 1/(\sqrt(k(n - k))) ⩽ G(k/n) - G((k - 1)/n)

Montrer que les deux inégalités sont inversées si l'on suppose que

n/2 + 1 ⩽ k ⩽ n - 1

.
8. Soient

x \in ]0, 1/2[

(a_n)_(n \in ℕ^*)

une suite d'entiers telle que :

Pour tout $n$ suffisamment grand, on a $1 ⩽ a_n < ⌊nx⌋$ ;
$lim_(n \to + \infty)(a_n)/n = 0$ ;
$lim_(n \to + \infty)a_n = + \infty$ .

Donner un exemple d'une telle suite

(a_n)_(n \in ℕ^*)

et montrer que:

lim_(n \to + \infty)\sum_(k = a_n)^(⌊nx⌋)1/(\sqrt(k(n - k))) = G(x)

On admet que pour tout

x \in ]0, 1[

et toute suite

(a_n)_(n \in ℕ^*)

vérifiant les mêmes conditions qu'à la question précédente, on a:

lim_(n \to + \infty)\sum_(k = a_n)^(⌊nx⌋)1/(\sqrt(k(n - k))) = G(x)

Deuxième Partie - Marche aléatoire sur $ℤ$

Soit

θ \in ]0, 1[

(X_i)_(i \in ℕ^*)

une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes et de même loi donnée par :

\foralli \in ℕ^*, ℙ(X_i = 1) = θ et ℙ(X_i = - 1) = 1 - θ

On pose pour tout

n \in ℕ^*, S_n = X_1 + \dots + X_n

S_0 = 0

.
La suite

(S_n)_(n \in ℕ)

est appelée marche aléatoire sur

ℤ

.
9. Pour tout

i \in ℕ^*

, déterminer la loi de

Y_i = 1/2(X_i + 1)

En déduire la loi de

1/2(S_n + n)

pour

n \in ℕ^*

.
10. Les variables aléatoires

(S_n)_(n \in ℕ^*)

sont-elles mutuellement indépendantes?
11. On pose pour tout

n \in ℕ^*, S_n^- = 1/nS_n

Soit

α \in ]0, 1[

. On note

Φ

la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite

N(0, 1)

t_α

le réel positif tel que

t_α = Φ^(- 1)(1 - α/2)

.
En majorant

\sqrt(θ(1 - θ))

, montrer que l'intervalle

[1/2(1 - (t_α)/(\sqrtn) + S_n^-), 1/2(1 + (t_α)/(\sqrtn) + S_n^-)]

est un intervalle de confiance asymptotique d'estimation du paramètre

θ

au niveau de confiance

1 - α

.
12. (a) Justifier que pour tout

k \in ℕ

, on a

ℙ(S_(2k + 1) = 0) = 0

.
(b) Montrer que pour tout

k \in ℕ

, on a :

ℙ(S_(2k) = 0) = ((2k)/k)θ^k(1 - θ)^k

Soit

n \in ℕ^*

fixé. On introduit la variable aléatoire

L_n

, à valeurs dans

[ [0, n] ]

, définie par :

L_n :, Ω → ℝ; ω, ↦ max{k ∈ [ [0, n] ], S_(2k)(ω) = 0}

La variable aléatoire

2L_n

décrit donc le dernier instant avant l'instant

2n

où la marche aléatoire prend la valeur 0 .
13. Déterminer

ℙ(L_n = n)

.
14. Soit

k \in [ [0, n - 1] ]

.
(a) Montrer l'égalité d'événements suivante :

[L_n = k] = [S_(2k) = 0] \cap [S_(2k + 1) \neq 0] \cap \dots \cap [S_(2n) \neq 0].

(b) Justifier que :

ℙ_([S_(2k) = 0])([S_(2k + 1) \neq 0] \cap \dots \cap [S_(2n) \neq 0]) = ℙ([S_1 \neq 0] \cap \dots \cap [S_(2(n - k)) \neq 0])

On notera

p_(n - k)

la valeur de cette probabilité. (*)
15. Montrer que pour tout

n \in ℕ^*

et tout

k \in [ [0, n] ]

on a :

ℙ(L_n = k) = ((2k)/k)θ^k(1 - θ)^k p_(n - k)

où par convention

p_0 = 1

.
A partir de maintenant et dans toute la suite du problème,

θ = 1/2

. Le calcul explicite des

(p_k)_(k \in ℕ^*)

est l'objet des questions suivantes.

Pour tout

n \in ℕ^*

, on considère les événements suivants :

D_n = ⋂_(k = 1)^(2n)[S_k \neq 0], D_n^+ = ⋂_(k = 1)^(2n)[S_k > 0], D_n^- = ⋂_(k = 1)^(2n)[S_k < 0]

On considère également, pour tout

n \in ℕ^*

et tout

r \in [ [1, n] ]

, l'événement :

A_(n, r) = (⋂_(k = 1)^(2n - 1)[S_k > 0]) \cap [S_(2n) = 2r]

Pour tout entier

r

, on pose

A_(n, r) = \emptyset

lorsque

r > n

r ⩽ 0

et on note, pour tout

n \in ℕ^*

et tout

r \in ℤ, a_(n, r) = ℙ(A_(n, r))

.
16. (a) Montrer que, pour tout

ω \in Ω

, l'ensemble

{S_1(ω), …, S_r(ω)}

est un intervalle d'entiers.
(b) En déduire que :

ℙ(D_n) = ℙ(D_n^+) + ℙ(D_n^-)

Montrer que:

ℙ(D_n^+) = \sum_(r = 1)^n a_(n, r)

Soit $n \in ℕ$ tel que $n ⩾ 2$ .
(a) Soit $(r, q) \in (ℕ^*)^2$ . Montrer que

ℙ(A_(n − 1, q) ∩ A_(n, r)) = {1/4a_(n − 1, q), si q = r − 1 ou q = r + 1; 1/2a_(n − 1, q), si q = r; 0, sinon.

(b) Montrer que pour tout

r \in ℕ^*

, on a :

a_(n, r) = 1/4a_(n - 1, r - 1) + 1/2a_(n - 1, r) + 1/4a_(n - 1, r + 1)

Montrer par récurrence sur $n$ que pour tout $(n, r) \in (ℕ^*)^2$ on a :

a_(n, r) = 1/(4^n)(((2n - 1)/(n + r - 1)) - ((2n - 1)/(n + r))),

où l'on pose

(m/k) = 0

dès que

k \notin [ [0, m] ]

.
20. On rappelle que la suite

(p_n)_(n \in ℕ)

a été définie précédemment (

⋆

Montrer que, pour tout

n \in ℕ

, on a :

p_n = 1/(4^n)((2n)/n)

Troisième Partie - Comportement asymptotique

Dans cette troisième partie, on cherche à étudier la limite en loi de la suite de variables aléatoires

((L_n)/n)_(n \in ℕ^*)

.
21. (a) Compléter par autant de lignes que nécessaire la fonction Python DernierPassage permettant de simuler la variable aléatoire

L_n

import numpy.random as rd
def DernierPassage(n):
    L=0
    S=0
    for i in range (1,2*n+1):
        ...
    return L

(b) A l'aide de cette fonction, on simule

N = 10000

réalisations de la variable aléatoire

(L_(100))/(100)

puis on représente les valeurs obtenues sous la forme d'un histogramme à 100 classes. On obtient la figure suivante :

Quelle conjecture peut-on formuler à propos de la suite de variables aléatoires

((L_n)/n)_(n \in ℕ^*)

?
22. Pour tout entier

n \in ℕ^*

, on pose

C_n = (\sqrtn)/(4^n)((2n)/n)

u_n = ln(C_n)

.
(a) Montrer que la série de terme général

u_(n + 1) - u_n

converge.
(b) En déduire que la suite

(C_n)_(n \in ℕ^*)

est convergente.

On admet que

1/(\sqrtπ)

est la limite de cette suite.
23. Soient

x \in ]0, 1[

(a_n)_(n \in ℕ^*)

une suite d'entiers telle que :

Pour tout $n$ suffisamment grand, on a $1 ⩽ a_n < ⌊nx⌋$ ;
$lim_(n \to + \infty)(a_n)/n = 0$ ;
$lim_(n \to + \infty)a_n = + \infty$ .
(a) Montrer que :

ℙ((L_n)/n ⩽ x) = 1/(4^n)\sum_(k = 0)^(⌊nx⌋)((2k)/k)((2(n - k))/(n - k)).

(b) Montrer, pour

n

suffisamment grand, l'encadrement :

m_n\sum_(k = a_n)^(⌊nx⌋)1/(\sqrt(k(n - k))) ⩽ 1/(4^n)\sum_(k = a_n)^(⌊nx⌋)((2k)/k)((2(n - k))/(n - k)) ⩽ M_n\sum_(k = a_n)^(⌊nx⌋)1/(\sqrt(k(n - k))),

où :

m_n = min{C_k C_(n − k), k ∈ [ [a_n, ⌊nx⌋] ]}, M_n = max{C_k C_(n − k), k ∈ [ [a_n, ⌊nx⌋] ]}.

(α_n)_(n \in ℕ^*)

(β_n)_(n \in ℕ^*)

deux suites d'entiers telles que

1 ⩽ α_n ⩽ β_n et lim_(n \to + \infty)α_n = + \infty

Montrer que les deux suites

(min_(k \in [ [α_n, β_n] ])C_k)_(n \in ℕ^*)

(max_(k \in [α_n, β_n] ])C_k)_(n \in ℕ^*)

sont convergentes, de même limite

1/(\sqrtπ)

.
(d) En déduire que :

lim_(n \to + \infty)1/(4^n)\sum_(k = a_n)^(⌊nx⌋)((2k)/k)((2(n - k))/(n - k)) = (G(x))/π

où la fonction

G

a été définie dans la première partie.
24. Soient

x \in ]0, 1[

(a_n)_(n \in ℕ^*)

une suite d'entiers telle que :

Pour tout $n$ suffisamment grand, on a $1 ⩽ a_n < ⌊nx⌋$ ;
$lim_(n \to + \infty)(a_n)/(\sqrtn) = 0$ ;
$lim_(n \to + \infty)a_n = + \infty$ .
(a) Donner un exemple d'une telle suite $(a_n)_(n \in ℕ^*)$ .
(b) En déduire que :

lim_(n \to + \infty)1/(4^n)\sum_(k = 0)^(a_n - 1)((2k)/k)((2(n - k))/(n - k)) = 0

Montrer que la suite de variables aléatoires $((L_n)/n)_(n \in ℕ^*)$ converge en loi .

Questions fréquentes

3 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques approfondies HEC-ESCP 2 ECG 2023 ?

Le sujet porte sur les probabilités : la loi arcsinus, la marche aléatoire simple sur Z et la convergence en loi, avec des questions de simulation en Python et d'étude asymptotique de coefficients binomiaux.

Quelles parties du sujet sont indépendantes ?

La première partie sur la loi arcsinus peut être traitée avant la deuxième sur la marche aléatoire, mais la troisième partie sur le comportement asymptotique de L_n/n réutilise les résultats des deux premières.

Le sujet demande-t-il d'écrire du code Python ?

Oui, il demande de compléter une fonction simulant une variable aléatoire suivant la loi arcsinus, puis une fonction simulant la variable aléatoire L_n donnant le dernier passage en 0 de la marche aléatoire.

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Première Partie - La loi arcsinus

Deuxième Partie - Marche aléatoire sur ℤ

Troisième Partie - Comportement asymptotique

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Quelles parties du sujet sont indépendantes ?

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