BCE Maths approfondies HEC/ESCP ECS 2008, épreuve 2Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2008

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Annale de maths approfondies BCE HEC/ESCP pour la filiere ECS, session 2008.

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CODE EPREUVE :
283
CCIP_M2_S

Concepteur : H.E.C. - E.S.C.P. - E.A.P.

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES II

Mercredi 7 mai 2008, de 14 h . à 18 h .

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Toutes les variables aléatoires qui interviennent dans ce problème sont supposées définies sur le même espace probabilisé (

Ω, A, P

). Sous réserve d'existence, on note

E(X)

V(X)

respectivement, l'espérance et la variance d'une variable aléatoire réelle

X

quelconque. Pour toute variable aléatoire réelle

X

admettant une densité sur

ℝ

, notée

f_X

, on note

D_X

l'ensemble des réels

s

pour lesquels la variable aléatoire

e^(sX)

admet une espérance, et on note

Φ_X

la fonction définie sur

D_X

par :

Φ_X(s) = E(e^(sX))

.
On admet les résultats suivants :

si deux variables aléatoires $X$ et $Y$ sont telles que $Φ_X$ et $Φ_Y$ coïncident sur un intervalle ouvert non vide, alors $X$ et $Y$ ont la même loi ;
si $n$ est un entier naturel non nul, et $X_1, X_2, \dots, X_n$ des variables aléatoires réelles quelconques, mutuellement indépendantes, alors, pour tout entier $p$ de $[ [1, n - 1] ]$ et pour toutes fonctions réelles continues $φ_1$ et $φ_2$ , les variables aléatoires $φ_1(X_1, \dots, X_p)$ et $φ_2(X_(p + 1), \dots, X_n)$ sont indépendantes;
si $X$ et $Y$ sont des variables aléatoires indépendantes admettant une espérance, alors $XY$ admet une espérance, et $E(XY) = E(X)E(Y)$ .
La fonction exponentielle est également notée exp. On rappelle que : $\int_(- \infty)^(+ \infty)exp((- x^2)/2)dx = \sqrt(2π)$ .
Dans tout le problème, $U$ désigne une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.

Préliminaire

On rappelle que, pour tout

s

D_X

, on a :

Φ_X(s) = \int_(- \infty)^(+ \infty)exp(sx)f_X(x)dx

Soit $a$ un réel non nul et $b$ un réel quelconque.
a) Montrer que l'intégrale $\int_(- \infty)^(+ \infty)exp(- ax^2)dx$ est convergente si et seulement si $a > 0$ , et vaut alors $\sqrt(π/a)$ .
b) En déduire que l'intégrale $\int_(- \infty)^(+ \infty)exp(- ax^2 + bx)dx$ est convergente si et seulement si $a > 0$ , puis montrer que dans ces conditions, on a : $\int_(- \infty)^(+ \infty)exp(- ax^2 + bx)dx = \sqrt(π/a)exp((b^2)/(4a))$ .
a) Déterminer $D_U$ ; pour tout $s$ de $D_U$ , calculer $Φ_U(s)$ .
b) On pose : $Z = U^2$ . Établir que : $D_Z = ] - \infty, 1/2$ [; montrer, à l'aide du théorème de transfert, que pour tout réel $s$ de $D_Z$ , on a : $Φ_Z(s) = (1 - 2s)^(- 1/2)$ .
Soit $X$ une variable aléatoire réelle à densité, et soit $μ$ et $β$ deux réels quelconques.
a) Montrer qu'un réel $s$ appartient à $D_(μX + β)$ si et seulement si $μs$ appartient à $D_X$ , et que dans ce cas, on a : $Φ_(μX + β)(s) = exp(βs)Φ_X(μs)$ .
b) On suppose que $X$ suit une loi $γ$ de paramètre $ν$ , où $ν$ est un réel strictement positif.

Montrer que :

D_X = ] - \infty, 1

[; pour tout

s

D_X

, établir la formule :

Φ_X(s) = (1 - s)^(- ν)

. De même, déterminer

D_(2X)

; pour tout

s

D_(2X)

, calculer

Φ_(2X)(s)

Partie I. Loi du $χ^2$ centré

Soit

r

un entier supérieur ou égal à 1 . On considère une variable aléatoire

X_r

suivant la loi

Γ

de paramètres

(2, r/2)

, c'est-à-dire que

X_r

possède une densité

f_(X_r)

donnée par :

f_(X_r)(x) = {1/(2^(r/2) × Γ(r/2)) × x^(r/2 − 1) × exp(− x/2), si x > 0; 0, si x ⩽ 0

On dit que

X_r

suit une loi du

χ^2

(«chi deux») centré à

r

degrés de liberté, et on note :

X_r↪χ^2(r)

Étudier les variations de $f_(X_4)$ et tracer sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
a) Montrer que la variable aléatoire $(X_r)/2$ suit une loi $γ$ de paramètre $r/2$ . En déduire $E(X_r)$ et $V(X_r)$ .
b) Déterminer $D_(X_r)$ ; pour tout $s$ de $D_(X_r)$ , calculer $Φ_(X_r)(s)$ .
Soit $n$ un entier de $ℕ^*$ . On considère $n$ variables aléatoires indépendantes $U_1, U_2, \dots, U_n$ de même loi que $U$ . Pour tout $i$ de $[ [1, n] ]$ , on pose : $Z_i = U_i^2$ .
a) Vérifier que $X_1$ et $U^2$ sont de même loi.
b) On pose : $W_n = \sum_(i = 1)^n Z_i$ . Quelle est la loi de probabilité de $W_n$ ?
c) Déterminer $D_(W_n)$ , et pour tout $s$ de $D_(W_n)$ , exprimer $Φ_(W_n)(s)$ en fonction de $s$ et de $n$ . Établir une relation entre $Φ_(W_n)(s)$ et $Φ_(Z_1)(s), Φ_(Z_2)(s), \dots, Φ_(Z_n)(s)$ .
Soit $T$ une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée, de variance $σ^2$ inconnue, $σ$ étant un réel strictement positif. Pour $n$ entier supérieur ou égal à 2 , on dispose d'un $n$ -échantillon indépendant, identiquement distribué (i.i.d.), $T_1, T_2, \dots, T_n$ de la loi de $T$ . On considère la variable aléatoire $S_n$ définie par : $S_n = 1/n\sum_(i = 1)^n T_i^2$ .
a) Montrer que $S_n$ est un estimateur sans biais et convergent du paramètre $σ^2$ .
b) Soit $α$ un réel vérifiant : $0 < α < 1$ , et soit $k_α$ le réel strictement positif tel que : $P([W_n ⩾ k_α]) = 1 - α$ . Montrer que l'intervalle $]0, (nS_n)/(k_α)]$ est un intervalle de confiance de $σ^2$ au risque $α$ .

Partie II. Loi du $χ^2$ décentré

On considère une suite

(M_j)_(j ⩾ 1)

de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé

(Ω, A, P)

, mutuellement indépendantes, telles que pour tout

j

ℕ^*, M_j

suive la loi normale d'espérance

m_j(m_j \in ℝ)

et de variance égale à 1 .
Pour

n

entier de

ℕ^*

, on pose :

Y_n = \sum_(j = 1)^n M_j^2

λ_n = \sum_(j = 1)^n m_j^2

.
On dit que

Y_n

suit une loi du

χ^2

décentré à

n

degrés de liberté, de paramètre de décentrage

λ_n

, et on note:

Y_n↪χ^2(n, λ_n)

Dans cette question uniquement, on suppose que l'entier $n$ est égal à 1 .
a) Montrer les deux égalités suivantes : $E(U^3) = 0$ et $E(U^4) = 3$ .
b) En déduire, en fonction de $λ_1$ , les valeurs respectives de $E(Y_1)$ et de $V(Y_1)$ .
c) Montrer que : $D_(Y_1) = ] - \infty, 1/2$ [ et établir, pour tout réel $s$ de $D_(Y_1)$ , la formule suivante :

Φ_(Y_1)(s) = (1 - 2s)^(- 1/2) \times exp((sλ_1)/(1 - 2s))

Soit $n$ un entier de $ℕ^*$ .
a) Calculer $E(Y_n)$ et $V(Y_n)$ en fonction de $n$ et $λ_n$ .
b) On admet que l'on a : $D_(Y_n) = ] - \infty, 1/2$ [. Pour tout $s$ de $D_(Y_n)$ , exprimer $Φ_(Y_n)(s)$ en fonction de $s, n$ et $λ_n$ .

Partie III. Nombre aléatoire de degrés de liberté

Sur un espace probabilisé (

Ω, A, P

), on considère une variable aléatoire

X

à valeurs dans

ℝ

admettant une espérance

E(X)

, et une variable aléatoire

K

à valeurs dans

ℕ

. On note

N_K

l'ensemble des entiers naturels

k

vérifiant

P([K = k]) > 0

, et on suppose que pour tout entier

k

N_K

, la variable aléatoire

X

admet une espérance pour la probabilité conditionnelle

P_([K = k])

, notée

E(X/K = k)

.
On admet alors l'égalité suivante :

(⋆)E(X) = \sum_(k \in N_K)E(X/K = k)P([K = k])

Soit

g

l'application définie sur

ℕ

par :

g(k) = {E(X/K = k), si k ∈ N_K; 0, sinon

Vérification de la formule ( $⋆$ ) sur un exemple.

Soit

(J_i)_(i ⩾ 1)

une suite de variables aléatoires définies sur (

Ω, A, P

), indépendantes et de même loi uniforme sur l'intervalle

[0, 1]

. Pour tout

k

ℕ^*

, on pose :

X_k = sup_(1 ⩽ i ⩽ k)(J_i)

; autrement dit, pour tout

ω

Ω

X_k(ω) = max_(1 ⩽ i ⩽ k)J_i(ω)

. Soit

K

une variable aléatoire définie sur (

Ω, A, P

) qui suit la loi uniforme discrète sur

[ [1, n] ](n \in ℕ^*)

. On suppose que

K

est indépendante des variables aléatoires de la suite

(J_i)_(i ⩾ 1)

.
Pour tout

ω

Ω

, on pose :

X(ω) = max_(1 ⩽ i ⩽ K(ω))J_i(ω)

, et on admet que

X

est une variable aléatoire définie

sur(Ω, A, P)

.
a) Établir, pour tout entier

k

[ [1, n] ]

et pour tout réel

x

, la relation :

P_([K = k])([X ⩽ x]) = P([X_k ⩽ x])

.
b) Déterminer la fonction de répartition

F_X

de la variable aléatoire

X

.
c) En déduire que

X

est une variable aléatoire à densité, qui admet une espérance

E(X)

que l'on exprimera en fonction de

\sum_(k = 1)^n k/(k + 1)

.
d) Vérifier l'égalité (

⋆) : E(X) = E(g(K))

.
2. Soit

(U_i)_(i ⩾ 1)

une suite de variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi normale centrée réduite. Soit

K

une variable aléatoire indépendante des variables aléatoires de la suite

(U_i)_(i ⩾ 1)

, qui suit la loi de Poisson de paramètre

λ/2

strictement positif.

Pour

n

entier de

ℕ^*

, on pose :

H_n = U_1^2 + U_2^2 + \dots + U_(n + 2K)^2

. On admet que

H_n

est une variable aléatoire à densité à valeurs positives, et que

D_(H_n) = ] - \infty, 1/2[

.
Soit

s

un réel de

] - \infty, 1/2[

.
a) Montrer que pour tout

k

ℕ

, la loi conditionnelle de

H_n

sachant

[K = k]

est la loi de la variable aléatoire

W_(n + 2k)

définie dans la question I.3.b.
b) En posant :

X = e^(sH_n)

, déterminer, pour tout entier

k

ℕ

, l'expression de

g(k)

en fonction de

k

.
c) Établir la formule suivante :

E(g(K)) = (1 - 2s)^(- n/2) \times exp((λs)/(1 - 2s))

d) En utilisant l'égalité (

⋆

), admise au début de cette partie, avec

X = e^(sH_n)

, déterminer la loi de

H_n

.
e) À l'aide de la question III.2.a, montrer que pour tout entier

n

supérieur ou égal à 3 , on a :

E(1/(H_n)) = E(1/(n - 2 + 2K))

Partie IV. Estimateur de James-Stein

Soit

p

un entier supérieur ou égal à 3 . On suppose qu'un modèle aléatoire défini sur (

Ω, A, P

) comporte

p

paramètres réels inconnus

θ_1, \dots, θ_p

non tous nuls. Un échantillon d'observations statistiques permet d'exhiber des estimateurs

θ_1 ˆ, \dots, θ_p ˆ

sans biais des paramètres

θ_1, \dots, θ_p

respectivement. On suppose que les variables aléatoires

θ_1 ˆ, \dots, θ_p ˆ

sont indépendantes et suivent une loi normale de variance égale à 1 .
On pose :

θ = (θ_1, \dots, θ_p), θˆ = (θ_1 ˆ, \dots, θ_p ˆ), B_p = \sum_(j = 1)^p θ_j ˆ^2

b_p = \sum_(j = 1)^p θ_j^2

.
On dit que le vecteur aléatoire

θˆ

est un estimateur sans biais du paramètre vectoriel

θ

, et

E(θˆ)

est alors le vecteur

θ

.
On définit le risque quadratique scalaire d'un estimateur

θ^*

θ

, noté

R(θ^*, θ)

, par :

R(θ^*, θ) = E(\sum_(j = 1)^p(θ_j^* - θ_j)^2)

Dans cette partie, on cherche un estimateur

θ^*

θ

, représenté par un vecteur aléatoire

(θ_1^*, \dots, θ_p^*)

, dont le risque

R(θ^*, θ)

est strictement inférieur à

R(θˆ, θ)

Justifier que la variable aléatoire $B_p$ suit la loi $χ^2(p, b_p)$ , et qu'elle constitue un estimateur biaisé de $b_p$ .
On pose : $θ^* = (1 - c/(B_p)) \times θˆ$ , où $c$ est un paramètre réel strictement positif. Soit $K$ une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre $(b_p)/2$ .
a) En admettant que l'on a : $E(1/(B_p)\sum_(j = 1)^p θ_j θ^_j) = E((2K)/(p - 2 + 2K))$ , établir l'égalité suivante :

R(θ^*, θ) - R(θ^, θ) = (c^2 - 2c(p - 2)) \times E(1/(p - 2 + 2K))

b) Montrer que l'inégalité :

R(θ^*, θ) < R(θˆ, θ)

, est vérifiée si et seulement si :

0 < c < 2(p - 2)

. Déterminer en fonction de

p

, la valeur de

c

pour laquelle

R(θ^*, θ) - R(θˆ, θ)

est minimale.
Comment s'écrit alors l'estimateur

θ^*

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