BCE Maths approfondies HEC/ESCP ECS 2009, épreuve 2Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2009

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Annale de maths approfondies BCE HEC/ESCP pour la filiere ECS, session 2009.

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BOL
BANQUE COMMUNE D'EPREUVES
CONCOURS D'ADMISSION DE 2009

Conceptions : H.E.C. - E.S.C.P. - E.A.P
283

OPTION SCIENTIFIQUE

CCIP_M2_S

MATHEMATIQUES II

Mardi 5 mai 2009, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre

Dans tout le problème,

N

désigne un entier supérieur ou égal à 1 .
On note

E(X)

V(X)

respectivement, l'espérance et la variance lorsqu'elles existent, de toute variable aléatoire réelle

X

définie sur un espace probabilisé.
Soit

(U_n)_(n ⩾ 1)

une suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé (

Ω, A, P

), mutuellement indépendantes et de même loi uniforme discrète sur

[ [1, N] ]

.
On pose, pour tout

n

ℕ^* : T_n = sup(U_1, U_2, \dots, U_n)

Z_n = inf(U_1, U_2, \dots, U_n)

. On admet que

T_n

Z_n

sont des variables aléatoires définies sur

(Ω, A, P)

. Ainsi, pour tout

ω

Ω

, on a :

T_n(ω) = max(U_1(ω), U_2(ω), \dots, U_n(ω)) et Z_n(ω) = min(U_1(ω), U_2(ω), \dots, U_n(ω))

On rappelle que si

C

désigne un élément de

A

, on note

1_C

la variable aléatoire indicatrice de l'événement

C

, définie sur (

Ω, A, P

) par :

1_C(ω) = {1, si ω ∈ C; 0, si ω ∉ C

On pose, pour tout

n

ℕ^∗ : d_n(N) = {∑_(k = 1)^(N − 1)(k/N)^n, si N ⩾ 2; 0, si N = 1

Préliminaire

Soit $Y$ une variable aléatoire définie sur $(Ω, A, P)$ , à valeurs dans $[ [1, N] ]$ . Établir les deux relations suivantes :

E(Y) = \sum_(k = 0)^(N - 1)P([Y > k]) et E(Y^2) = \sum_(k = 0)^(N - 1)(2k + 1)P([Y > k])

Partie I. Inf et Sup

Rappeler, sans démonstration, les valeurs respectives de $E(U_1)$ et de $V(U_1)$ .
a) Calculer, pour tout $k$ de $[ [1, N] ], P([T_n ⩽ k])$ .
b) En déduire la loi de probabilité de $T_n$ .
a) Montrer que la suite $(d_n(N))_(n ⩾ 1)$ est convergente et calculer sa limite.
b) Exprimer $E(T_n)$ en fonction de $N$ et $d_n(N)$ . En déduire la valeur de $lim_(n \to + \infty)E(T_n)$ .
c) Établir la formule suivante : $V(T_n) = (2N - 1)d_n(N) - 2Nd_(n + 1)(N) - d_n^2(N)$ .

En déduire la valeur de

lim_(n \to + \infty)V(T_n)

.
d) Montrer que si

N ⩾ 2

, on a :

lim_(n \to + \infty)(d_(n + 1)(N))/(d_n(N)) = 1 - 1/N

; en déduire que, lorsque

n

tend vers

+ \infty

, on a :

V(T_n) \sim d_n(N)

.
5. Déterminer la loi de

Z_n

. Calculer

E(Z_n)

V(Z_n)

.
6. On rappelle que la fonction Pascal random(N) permet de simuler une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur

[ [0, N - 1

]. Écrire une fonction Pascal d'en-tête simulmax (n : integer) : integer qui simule la variable aléatoire

T_n

Partie II. Couple (Inf, Sup)

On pose, pour tout $n$ de $ℕ^*$ et pour tout couple $(k, ℓ)$ de $ℕ^2 : φ_n(k, ℓ) = P([T_n ⩽ k] \cap [Z_n ⩽ ℓ])$ .
a) Montrer, pour tout $(k, ℓ)$ de $[ [1, N] ]^2$ , la relation suivante :

φ_n(k, ℓ) = {(k/N)^n, si k ⩽ ℓ; (k/N)^n − ((k − ℓ)/N)^n, si k > ℓ

b) Établir, pour tout

(k, ℓ)

[ [1, N] ]^2

, la formule suivante :

P([T_n = k] \cap [Z_n = ℓ]) = φ_n(k, ℓ) + φ_n(k - 1, ℓ - 1) - φ_n(k - 1, ℓ) - φ_n(k, ℓ - 1)

c) En déduire, en distinguant les trois cas

k < ℓ, k = ℓ

k > ℓ

, l'expression de

P([T_n = k] \cap [Z_n = ℓ])

en fonction de

k

ℓ

.
8. On donne, pour tout couple

(m, n)

(ℕ^*)^2

, les deux relations suivantes :
i)

\sum_(j = 1)^m[(j + 1)^n - 2j^n + (j - 1)^n] = (m + 1)^n - m^n - 1

;
ii)

\sum_(j = 1)^m j[(j + 1)^n - 2j^n + (j - 1)^n] = m(m + 1)^n - (m + 1)m^n

.
a) En déduire, pour tout

n

ℕ^*

, la formule suivante :

E(T_n Z_n) = N(1 + d_(n + 1)(N))

.
b) On note, pour tout

n

ℕ^*, ρ_n

le coefficient de corrélation linéaire entre

T_n

Z_n

Calculer

lim_(n \to + \infty)ρ_n

lorsque

N ⩾ 2

.
9. a) Pour tout

n

ℕ^*

et pour tout couple (

k, ℓ

) de

[ [1, N] ]^2

, calculer la probabilité conditionnelle

P_([T_n = k])([Z_n = ℓ])

.
b) En déduire, pour tout

n

ℕ^*

et pour tout

k

[ [1, N] ]

, l'expression de l'espérance conditionnelle

E(Z_n/[T_n = k])

Z_n

sachant

[T_n = k]

Partie III. Prévision

Pour

n

entier de

ℕ^*

, on dispose d'un (

n + 1

)-échantillon indépendant identiquement distribué (i.i.d.)

(U_1, U_2, \dots, U_(n + 1))

de la loi uniforme sur

[ [1, N] ]

.
On pose :

T_n = sup(U_1, U_2, \dots, U_n)

T_(n + 1) = sup(U_1, U_2, \dots, U_(n + 1)) = sup(T_n, U_(n + 1))

.
Pour tout

t = (t_1, t_2, \dots, t_N)

ℝ^N

, on pose :

W_t(T_n) = \sum_(k = 1)^N t_k \times 1_([T_n = k])

.
Dans cette partie, on se propose de déterminer la valeur de

t

pour laquelle les deux conditions suivantes sont vérifiées :
i)

E(W_t(T_n)) = E(T_(n + 1))

;
ii)

E[(T_(n + 1) - W_t(T_n))^2]

est minimale.
10. Montrer, pour tout

k

[ [1, N] ]

, la relation :

P([W_t(T_n) = t_k]) = P([T_n = k])

.
11. Établir, pour tout

k

[ [1, N] ]

, la formule suivante :

E(T_(n + 1) \times 1_([T_n = k])) = E(T_(n + 1)/[T_n = k]) \times P([T_n = k])

a) Calculer, pour tout couple $(k, j)$ de $[ [1, N] ]^2, P([T_n = k] \cap [T_(n + 1) = j])$ .
b) En déduire, pour tout couple $(k, j)$ de $[ [1, N] ]^2$ , la probabilité conditionnelle $P_([T_n = k])([T_(n + 1) = j])$ .
c) Déterminer, pour tout $k$ de $[ [1, N] ]$ , l'expression de l'espérance conditionnelle $E(T_(n + 1)/[T_n = k])$ de $T_(n + 1)$ sachant $[T_n = k]$ .
d) En appliquant la formule de l'espérance totale, déduire de la question précédente la relation suivante :

E(T_(n + 1)) = (N + 1)/2 + 1/(2N)(E(T_n^2) - E(T_n))

Établir l'égalité suivante : $(W_t(T_n))^2 = \sum_(k = 1)^N t_k^2 \times 1_([T_n = k])$ .
Soit $g$ la fonction définie sur $ℝ^N$ à valeurs réelles par:

g(t_1, t_2, \dots, t_N) = E[(T_(n + 1) - W_t(T_n))^2]

a) À l'aide des résultats des questions 11 , 12 et 13 , expliciter

g

en fonction des variables

t_1, t_2, \dots, t_N

.
b) Montrer que

g

admet un minimum global sur

ℝ^N

atteint en un point

θ = (θ_1, θ_2, \dots, θ_N)

que l'on déterminera en fonction de

E(T_(n + 1)/[T_n = 1]), E(T_(n + 1)/[T_n = 2]), \dots, E(T_(n + 1)/[T_n = N])

.
15. Établir les deux relations suivantes :

E(W_θ(T_n)) = E(T_(n + 1)) et V(W_θ(T_n)) ⩽ V(T_(n + 1))

a) Établir, pour tout $i$ de $ℕ^*$ , l'égalité suivante : $\sum_(k = 1)^N k^i \times 1_([T_n = k]) = (T_n)^i$ .
b) En déduire la relation suivante : $W_θ(T_n) = (N + 1)/2 + 1/(2N)(T_n^2 - T_n)$ .

Partie IV. Estimation

Soit

U

une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (

Ω, A, P

), de loi uniforme discrète sur

[ [1, N] ]

. On suppose que le paramètre

N

est inconnu.
Cette partie a pour objet la détermination d'un estimateur ponctuel de

N

, sans biais et de variance minimale.
Pour

n

entier supérieur ou égal à 1 , soit

(U_1, U_2, \dots, U_n)

n

-échantillon i.i.d. de la loi de

U

.
17. Soit

ε

un réel strictement positif. On pose :

A_n(ε) = [|T_n - N| ⩾ ε] et B_n(ε) = [|T_n - E(T_n)| + |d_n(N)| ⩾ ε]

a) Peut-on dire que

T_n + d_n(N)

est un estimateur sans biais de

N

?
b) Montrer que la suite

(T_n)_(n ⩾ 1)

est une suite d'estimateurs asymptotiquement sans biais du paramètre

N

.
c) Montrer que

A_n(ε) \subset B_n(ε)

et qu'il existe un entier naturel

n_0

tel que, pour tout

n > n_0

, on a :

B_n(ε) \subset [|T_n - E(T_n)| ⩾ ε/2]

.
d) En déduire que la suite d'estimateurs

(T_n)_(n ⩾ 1)

est convergente.
18. a) Calculer, pour tout

n

-uplet

(u_1, u_2, \dots, u_n)

[ [1, N] ]^n, P(⋂_(i = 1)^n[U_i = u_i])

.
b) En déduire que, pour tout

k

[ [1, N] ]

, la loi conditionnelle du vecteur aléatoire (

U_1, U_2, \dots, U_n

) sachant

[T_n = k]

est donnée par :

P_([T_n = k])(⋂_(i = 1)^n[U_i = u_i]) = {1/(k^n − (k − 1)^n), si pour tout i de [ [1, n] ], 1 ⩽ u_i ⩽ N et max_(1 ⩽ i ⩽ n)(u_i) = k; 0, sinon

On remarquera que cette loi conditionnelle ne dépend pas du paramètre

N

.
19. On pose, pour

n

entier de

ℕ^* : S_n = T_n + Z_n - 1

et, pour tout

k

[ [1, N] ] : ψ_n(k) = (k^(n + 1) - (k - 1)^(n + 1))/(k^n - (k - 1)^n)

.
a) Montrer que

S_n

est un estimateur sans biais de

N

.
b) Établir, pour tout

k

[ [1, N] ]

, l'égalité :

ψ_n(k) = E(S_n/[T_n = k])

.
c) En déduire que

ψ_n(T_n)

est un estimateur sans biais de

N

.
d) On pose, pour tout

k

[ [1, N] ] : φ_n(k) = E(S_n^2/[T_n = k])

Établir, pour tout

k

[ [1, N] ]

, l'inégalité :

ψ_n^2(k) ⩽ φ_n(k)

(on pourra utiliser la fonction définie sur

ℝ

par :

λ \mapsto E((S_n - λ)^2/[T_n = k]))

. En déduire que

V(ψ_n(T_n)) ⩽ V(S_n)

.
e) Calculer

V(S_n)

. En déduire que

ψ_n(T_n)

est un estimateur convergent de

N

.
20. Soit, pour

n

entier de

ℕ^*

, un estimateur sans biais

R_n

du paramètre

N

On pose, pour tout

k

[ [1, N] ] : f_n(k) = E(R_n/[T_n = k])

.
a) En utilisant une méthode analogue à celle de la question 19.d, montrer que :

V(f_n(T_n)) ⩽ V(R_n)

.
b) Soit

F

une fonction réelle. Montrer que, pour

n

fixé dans

ℕ^*

, la condition «pour tout

N

ℕ^*

E(F(T_n)) = N

» est vérifiée, si et seulement si, pour tout

k

[ [1, N] ]

, on a :

F(k) = ψ_n(k)

.
c) En déduire que dans l'ensemble des estimateurs sans biais de

N

, l'estimateur

ψ_n(T_n)

est optimal, dans le sens où

V(ψ_n(T_n))

est minimale.

La partie IV constitue une démonstration du théorème de Lehmann-Scheffé dans le cas particulier d'une loi uniforme sur

[ [1, N] ]

, avec

N

inconnu.

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