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BCE Maths approfondies HEC/ESCP ECS 2009

Epreuve de maths approfondies - ECS 2009

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementStatistiquesSuites et séries de fonctions
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Banque
BCE
Année
2009
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2009ECS MathématiquesMathématiques 2009

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Description

Annale de maths approfondies BCE HEC/ESCP pour la filiere ECS, session 2009.

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BOL
BANQUE COMMUNE D'EPREUVES
CONCOURS D'ADMISSION DE 2009

Conceptions : H.E.C. - E.S.C.P. - E.A.P
283

OPTION SCIENTIFIQUE

CCIP_M2_S

MATHEMATIQUES II

Mardi 5 mai 2009, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre
Dans tout le problème, désigne un entier supérieur ou égal à 1 .
On note et respectivement, l'espérance et la variance lorsqu'elles existent, de toute variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé.
Soit une suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé ( ), mutuellement indépendantes et de même loi uniforme discrète sur .
On pose, pour tout de et . On admet que et sont des variables aléatoires définies sur . Ainsi, pour tout de , on a :
On rappelle que si désigne un élément de , on note la variable aléatoire indicatrice de l'événement , définie sur ( ) par :
On pose, pour tout de

Préliminaire

  1. Soit une variable aléatoire définie sur , à valeurs dans . Établir les deux relations suivantes :

Partie I. Inf et Sup

  1. Rappeler, sans démonstration, les valeurs respectives de et de .
  2. a) Calculer, pour tout de .
    b) En déduire la loi de probabilité de .
  3. a) Montrer que la suite est convergente et calculer sa limite.
    b) Exprimer en fonction de et . En déduire la valeur de .
    c) Établir la formule suivante : .
En déduire la valeur de .
d) Montrer que si , on a : ; en déduire que, lorsque tend vers , on a : .
5. Déterminer la loi de . Calculer et .
6. On rappelle que la fonction Pascal random(N) permet de simuler une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur ]. Écrire une fonction Pascal d'en-tête simulmax (n : integer) : integer qui simule la variable aléatoire .

Partie II. Couple (Inf, Sup)

  1. On pose, pour tout de et pour tout couple de .
    a) Montrer, pour tout de , la relation suivante :
b) Établir, pour tout de , la formule suivante :
c) En déduire, en distinguant les trois cas et , l'expression de en fonction de et .
8. On donne, pour tout couple de , les deux relations suivantes :
i) ;
ii) .
a) En déduire, pour tout de , la formule suivante : .
b) On note, pour tout de le coefficient de corrélation linéaire entre et .
Calculer lorsque .
9. a) Pour tout de et pour tout couple ( ) de , calculer la probabilité conditionnelle .
b) En déduire, pour tout de et pour tout de , l'expression de l'espérance conditionnelle de sachant .

Partie III. Prévision

Pour entier de , on dispose d'un ( )-échantillon indépendant identiquement distribué (i.i.d.) de la loi uniforme sur .
On pose : et .
Pour tout de , on pose : .
Dans cette partie, on se propose de déterminer la valeur de pour laquelle les deux conditions suivantes sont vérifiées :
i) ;
ii) est minimale.
10. Montrer, pour tout de , la relation : .
11. Établir, pour tout de , la formule suivante :
  1. a) Calculer, pour tout couple de .
    b) En déduire, pour tout couple de , la probabilité conditionnelle .
    c) Déterminer, pour tout de , l'expression de l'espérance conditionnelle de sachant .
    d) En appliquant la formule de l'espérance totale, déduire de la question précédente la relation suivante :
  1. Établir l'égalité suivante : .
  2. Soit la fonction définie sur à valeurs réelles par:
a) À l'aide des résultats des questions 11 , 12 et 13 , expliciter en fonction des variables .
b) Montrer que admet un minimum global sur atteint en un point que l'on déterminera en fonction de .
15. Établir les deux relations suivantes :
  1. a) Établir, pour tout de , l'égalité suivante : .
    b) En déduire la relation suivante : .

Partie IV. Estimation

Soit une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé ( ), de loi uniforme discrète sur . On suppose que le paramètre est inconnu.
Cette partie a pour objet la détermination d'un estimateur ponctuel de , sans biais et de variance minimale.
Pour entier supérieur ou égal à 1 , soit un -échantillon i.i.d. de la loi de .
17. Soit un réel strictement positif. On pose :
a) Peut-on dire que est un estimateur sans biais de ?
b) Montrer que la suite est une suite d'estimateurs asymptotiquement sans biais du paramètre .
c) Montrer que et qu'il existe un entier naturel tel que, pour tout , on a : .
d) En déduire que la suite d'estimateurs est convergente.
18. a) Calculer, pour tout -uplet de .
b) En déduire que, pour tout de , la loi conditionnelle du vecteur aléatoire ( ) sachant est donnée par :
On remarquera que cette loi conditionnelle ne dépend pas du paramètre .
19. On pose, pour entier de et, pour tout de .
a) Montrer que est un estimateur sans biais de .
b) Établir, pour tout de , l'égalité : .
c) En déduire que est un estimateur sans biais de .
d) On pose, pour tout de .
Établir, pour tout de , l'inégalité : (on pourra utiliser la fonction définie sur par : . En déduire que .
e) Calculer . En déduire que est un estimateur convergent de .
20. Soit, pour entier de , un estimateur sans biais du paramètre .
On pose, pour tout de .
a) En utilisant une méthode analogue à celle de la question 19.d, montrer que : .
b) Soit une fonction réelle. Montrer que, pour fixé dans , la condition «pour tout de , » est vérifiée, si et seulement si, pour tout de , on a : .
c) En déduire que dans l'ensemble des estimateurs sans biais de , l'estimateur est optimal, dans le sens où est minimale.
La partie IV constitue une démonstration du théorème de Lehmann-Scheffé dans le cas particulier d'une loi uniforme sur , avec inconnu.

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