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BCE Maths approfondies HEC/ESCP ECS 2010

Epreuve de maths approfondies - ECS 2010

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Probabilités continuesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsSéries entières (et Fourier)StatistiquesInformatique
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Banque
BCE
Année
2010
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2010ECS MathématiquesMathématiques 2010

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Description

Annale de maths approfondies BCE HEC/ESCP pour la filiere ECS, session 2010.

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BCH
BANQUE COMMUNE D'EPREUVES
CONCOURS D'ADMISSION DE 2010
Conceptions : H.E.C. - E.S.C.P. / EUROPE

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES II

Lundi 10 mai 2010, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre

Dans tout le problème :

  • toutes les variables aléatoires sont supposées définies sur un espace probabilisé ( );
  • pour tout réel désigne une variable aléatoire à valeurs strictement positives qui suit la loi gamma de paramètre , notée ;
  • désigne une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur ];
  • l'espérance et la variance d'une variable aléatoire sont notées respectivement et ;
  • la notation exp désigne la fonction exponentielle de base e .

On rappelle ou on admet sans démonstration les résultats suivants :

  • la fonction définie pour tout réel par , est de classe sur ; on note et les dérivées première et seconde de la fonction . Pour tout réel , les intégrales et sont convergentes et valent respectivement et ;
  • on a pour tout réel ;
  • pour tout réel , une densité de est donnée par : ;
  • .
L'objet du problème est de démontrer quelques propriétés de la fonction en utilisant des méthodes essentiellement probabilistes.

Partie I. Quelques résultats préliminaires

  1. On pose pour tout de . On considère les deux suites et définies par : pour tout de et .
    a) Montrer que la série de terme général est convergente.
    b) En déduire la convergence de la suite ; on note sa limite.
    c) On pose pour tout réel . Déterminer .
  2. a) Rappeler sans démonstration les valeurs respectives de et .
    b) On note pour tout réel , et la dérivée de . Montrer que et .
  3. a) Montrer que pour tout réel existe et calculer sa valeur.
    b) Établir pour tout réel , l'encadrement : .
En déduire que l'on a : .
c) À l'aide des questions précédentes, établir les inégalités suivantes : pour tout réel ; pour tout réel ; pour tout réel .
d) Soit un réel fixé strictement positif. Montrer que la suite de variables aléatoires converge en probabilité vers 0
4. Soit et trois suites de variables aléatoires à densité qui convergent en probabilité vers 0 . On pose pour tout de . Soit une suite réelle qui converge vers . On considère deux variables aléatoires réelles à densité et telles que pour tout de est de même loi que .
a) Montrer pour tout réel , l'inclusion : .
En déduire que la suite converge en probabilité vers 0 .
b) On pose pour tout de . Montrer que la suite de variables aléatoires converge en probabilité vers 0 . En déduire la limite en probabilité de la suite .
c) On admet sans démonstration que la convergence en probabilité entraîne la convergence en loi.
Montrer que les variables aléatoires et sont de même loi.
5. Soit ( ) un couple de réels strictement positifs, et et deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives et . On pose : et .
a) Préciser . Déterminer une densité de et de respectivement.
b) En déduire qu'une densité de est donnée par : pour tout réel ,
c) À l'aide du changement de variable , dont on justifiera la validité, établir la formule suivante : pour tout réel, .
d) En déduire une densité de .
e) On pose : . Montrer qu'une densité de est donnée par :

Partie II. Étude de la variable aléatoire

Soit une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielle de paramètre 1. On suppose que pour tout réel est indépendante de chacune des variables aléatoires de la suite .
On pose : et pour tout de .
6. Rappeler sans démonstration la loi de ainsi que les valeurs respectives de et .
7. a) Justifier pour tout de , l'égalité suivante : .
b) Montrer que pour tout entier de , la loi de est celle de .
On admet jusqu'à la fin du problème les résultats suivants :
  • soit un entier de et des variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes. Alors, pour tout de , pour toutes fonctions réelles et continues, les variables aléatoires et sont indépendantes;
  • si et sont deux variables aléatoires indépendantes admettant une espérance, alors admet une espérance et ;
  • pour tout couple de réels strictement positifs, si les variables aléatoires et sont indépendantes, de lois respectives et , alors les variables aléatoires et sont indépendantes.
  1. On pose pour tout de .
    a) Montrer que et sont indépendantes. On admet dans la suite que les variables aléatoires sont indépendantes.
    b) En déduire à l'aide des questions précédentes que pour tout de , les variables aléatoires et sont de même loi.
  2. a) Déterminer la loi de la variable aléatoire .
    b) À l'aide de la question 5.e, calculer une densité de la variable aléatoire .
    c) Soit une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi que . Montrer que pour tout de , les variables aléatoires et sont de même loi.
    d) Déduire des questions précédentes que pour tout de , la variable aléatoire est de même loi que la variable aléatoire .
  3. En utilisant les résultats des questions 1.c,2.b,3.c et 9.d, montrer que pour tout réel , on a:
  1. En utilisant la question 3.c, calculer .
  2. On pose : , où désigne un paramètre réel strictement positif inconnu. Afin d'estimer , on considère pour supérieur ou égal à 3 , un -échantillon i.i.d. de la loi de .
    On pose : . Justifier que la variable aléatoire est un estimateur du paramètre . Est-il sans biais? Est-il convergent?
  3. On rappelle que l'appel à la fonction Pascal random a pour résultat un nombre de type real pris au hasard dans l'intervalle .
    a) Soit la fonction Pascal suivante :
function X(lambda : real) : real;
begin
    X := -ln(1-random)/lambda
end ;
Cette fonction simule une variable aléatoire réelle. Donner sa loi. Justifier votre réponse.
b) Écrire une fonction Pascal d'en-tête g(n : integer) : real simulant une variable aléatoire de loi .
c) Soit m la fonction Pascal suivante :
function m(p : integer) : real;
begin
    m := p/g(p)
end ;
On appelle la fonction m pour différentes valeurs de de plus en plus grandes. Que devrait-on constater?

Partie III. Quelques propriétés de la fonction

Les notations sont celles des parties I et II.
14. Première application : les formules de Wilks et Legendre.
a) Soit une suite réelle. Pour tout de et tout réel , établir l'égalité :
b) Exprimer en fonction de deux termes de la suite . En déduire que .
c) Pour , soit et deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives et . En utilisant les questions 4 et 9.d, montrer que la variable aléatoire est de même loi que la variable aléatoire .
d) On pose : . Déduire de la question précédente que pour tout réel et sont de même loi.
e) En choisissant une valeur particulière de , établir pour tout , la formule :
  1. Deuxième application : la formule de Stirling.
    a) Déterminer quatre réels tels que pour tout réel , on a : .
En déduire pour tout , la relation : .
On admet sans démonstration que pour tout , on a :
b) Déduire des deux résultats précédents, pour tout , les deux encadrements :
En déduire un équivalent de et de respectivement, lorsque tend vers .
c) Calculer pour tout vérifiant , l'intégrale : .
Montrer pour fixé, l'existence de ; on note cette limite.
d) En utilisant la question 14.e et l'identité : , valable pour , calculer .
En déduire que est équivalent à , lorsque tend vers .

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