BCE Maths approfondies HEC/ESCP ECS 2010, épreuve 2Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2010

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Annale de maths approfondies BCE HEC/ESCP pour la filiere ECS, session 2010.

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BCH
BANQUE COMMUNE D'EPREUVES
CONCOURS D'ADMISSION DE 2010
Conceptions : H.E.C. - E.S.C.P. / EUROPE

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES II

Lundi 10 mai 2010, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre

Dans tout le problème :

toutes les variables aléatoires sont supposées définies sur un espace probabilisé ( $Ω, A, P$ );
pour tout réel $t > 0, X_t$ désigne une variable aléatoire à valeurs strictement positives qui suit la loi gamma de paramètre $t$ , notée $γ(t)$ ;
$U$ désigne une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur $]0, 1$ ];
l'espérance et la variance d'une variable aléatoire $A$ sont notées respectivement $E(A)$ et $V(A)$ ;
la notation exp désigne la fonction exponentielle de base e .

On rappelle ou on admet sans démonstration les résultats suivants :

la fonction $Γ$ définie pour tout réel $t > 0$ par $Γ(t) = \int_0^(+ \infty)e^(- u)u^(t - 1)du$ , est de classe $C^\infty$ sur $ℝ^(+ *)$ ; on note $Γ^'$ et $Γ^('')$ les dérivées première et seconde de la fonction $Γ$ . Pour tout réel $t > 0$ , les intégrales $\int_0^(+ \infty)(lnu)e^(- u)u^(t - 1)du$ et $\int_0^(+ \infty)(lnu)^2 e^(- u)u^(t - 1)du$ sont convergentes et valent respectivement $Γ^'(t)$ et $Γ^('')(t)$ ;
on a pour tout réel $t > 0 : Γ(t + 1) = tΓ(t)$ ;
pour tout réel $t > 0$ , une densité $f_(X_t)$ de $X_t$ est donnée par : $f_(X_t)(x) = {1/(Γ(t))e^(− x)x^(t − 1), si x > 0; 0, si x ⩽ 0$ ;
$Γ(1/2) = \sqrtπ$ .

L'objet du problème est de démontrer quelques propriétés de la fonction

Γ

en utilisant des méthodes essentiellement probabilistes.

Partie I. Quelques résultats préliminaires

On pose pour tout $n$ de $ℕ^* : h_n = \sum_(k = 1)^n 1/k$ . On considère les deux suites $(γ_n)_(n ⩾ 1)$ et $(v_n)_(n ⩾ 1)$ définies par : pour tout $n$ de $ℕ^*, γ_n = h_n - lnn$ et $v_n = γ_(n + 1) - γ_n$ .
a) Montrer que la série de terme général $v_n$ est convergente.
b) En déduire la convergence de la suite $(γ_n)_(n ⩾ 1)$ ; on note $γ$ sa limite.
c) On pose pour tout réel $t > 0 : d_(n, t) = γ + ln(t + n) - h_n$ . Déterminer $lim_(n \to + \infty)d_(n, t)$ .
a) Rappeler sans démonstration les valeurs respectives de $E(X_t)$ et $V(X_t)$ .
b) On note pour tout réel $t > 0, ψ(t) = Γ^'(t)/Γ(t)$ , et $ψ^'$ la dérivée de $ψ$ . Montrer que $E(ln(X_t)) = ψ(t)$ et $V(ln(X_t)) = ψ^'(t)$ .
a) Montrer que pour tout réel $t > 1, E(1/X_t)$ existe et calculer sa valeur.
b) Établir pour tout réel $x > 0$ , l'encadrement : $1 - 1/x ⩽ lnx ⩽ x - 1$ .

En déduire que l'on a :

(lnx)^2 ⩽ (1 - 1/x)^2 + (x - 1)^2

.
c) À l'aide des questions précédentes, établir les inégalités suivantes : pour tout réel

t > 0, E(ln((X_t)/t)) ⩽ 0

; pour tout réel

t > 1, E(ln((X_t)/t)) ⩾ - 1/(t - 1)

; pour tout réel

t > 2, E(ln^2((X_t)/t)) ⩽ (2t)/((t - 2)^2)

.
d) Soit

t

un réel fixé strictement positif. Montrer que la suite de variables aléatoires

(ln((X_(t + n))/(t + n)))_(n ⩾ 1)

converge en probabilité vers 0
4. Soit

(A_n)_(n ⩾ 1), (B_n)_(n ⩾ 1)

(C_n)_(n ⩾ 1)

trois suites de variables aléatoires à densité qui convergent en probabilité vers 0 . On pose pour tout

n

ℕ^* : D_n = A_n + B_n + C_n

. Soit

(u_n)_(n ⩾ 1)

une suite réelle qui converge vers

u

. On considère deux variables aléatoires réelles à densité

M

N

telles que pour tout

n

ℕ^*, M

est de même loi que

N + D_n + u_n

.
a) Montrer pour tout réel

ε > 0

, l'inclusion :

[|D_n| > ε] \subset [|A_n| > ε/3] \cup [|B_n| > ε/3] \cup [|C_n| > ε/3]

En déduire que la suite

(D_n)_(n ⩾ 1)

converge en probabilité vers 0 .
b) On pose pour tout

n

ℕ^* : V_n = D_n + u_n - u

. Montrer que la suite de variables aléatoires

(V_n)_(n ⩾ 1)

converge en probabilité vers 0 . En déduire la limite en probabilité de la suite

((N + u) + V_n)_(n ⩾ 1)

.
c) On admet sans démonstration que la convergence en probabilité entraîne la convergence en loi.

Montrer que les variables aléatoires

M

N + u

sont de même loi.
5. Soit (

α, β

) un couple de réels strictement positifs, et

X_α

X_β

deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives

γ(α)

γ(β)

. On pose :

T_(α, β) = (X_α)/(X_β), Q_(α, β) = ln(T_(α, β))

B(α, β) = (Γ(α)Γ(β))/(Γ(α + β))

.
a) Préciser

Q_(α, β)(Ω)

. Déterminer une densité de

ln(X_α)

et de

- ln(X_β)

respectivement.
b) En déduire qu'une densité

f_(Q_(α, β))

Q_(α, β)

est donnée par : pour tout réel

x

f_(Q_(α, β))(x) = (e^(- βx))/(Γ(α)Γ(β))\int_(- \infty)^(+ \infty)e^((α + β)y)exp(- e^y(1 + e^(- x)))dy

c) À l'aide du changement de variable

u = e^y(1 + e^(- x))

, dont on justifiera la validité, établir la formule suivante : pour tout

x

réel,

f_(Q_(α, β))(x) = 1/(B(α, β)) \times (e^(αx))/((1 + e^x)^(α + β))

.
d) En déduire une densité

f_(T_(α, β))

T_(α, β)

.
e) On pose :

J_(α, β) = (X_α)/(X_α + X_β)

. Montrer qu'une densité

f_(J_(α, β))

J_(α, β)

est donnée par :

f_(J_(α, β))(z) = {0, si z ∉ ]0, 1[; 1/(B(α, β))z^(α − 1)(1 − z)^(β − 1), si z ∈ ]0, 1[

Partie II. Étude de la variable aléatoire $ln(X_t)$

Soit

(Y_k)_(k ⩾ 1)

une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielle de paramètre 1. On suppose que pour tout réel

α > 0, X_α

est indépendante de chacune des variables aléatoires de la suite

(Y_k)_(k ⩾ 1)

On pose :

S_0 = 0

et pour tout

k

ℕ^*, S_k = \sum_(i = 1)^k Y_i

.
6. Rappeler sans démonstration la loi de

S_k

ainsi que les valeurs respectives de

E(S_k)

V(S_k)

.
7. a) Justifier pour tout

n

ℕ^*

, l'égalité suivante :

ln(X_t) = ln(\prod_(k = 1)^n(X_t + S_(k - 1))/(X_t + S_k)) + ln(X_t + S_n)

.
b) Montrer que pour tout entier

m

ℕ^*

, la loi de

X_t + S_m

est celle de

X_(t + m)

On admet jusqu'à la fin du problème les résultats suivants :

soit $n$ un entier de $ℕ^*$ et $A_1, \dots, A_n$ des variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes. Alors, pour tout $p$ de $[ [1, n - 1] ]$ , pour toutes fonctions réelles $φ_1$ et $φ_2$ continues, les variables aléatoires $φ_1(A_1, \dots, A_p)$ et $φ_2(A_(p + 1), \dots, A_n)$ sont indépendantes;
si $A$ et $B$ sont deux variables aléatoires indépendantes admettant une espérance, alors $AB$ admet une espérance et $E(AB) = E(A)E(B)$ ;
pour tout couple $(α, β)$ de réels strictement positifs, si les variables aléatoires $X_α$ et $X_β$ sont indépendantes, de lois respectives $γ(α)$ et $γ(β)$ , alors les variables aléatoires $(X_α)/(X_α + X_β)$ et $X_α + X_β$ sont indépendantes.

On pose pour tout $k$ de $ℕ^* : R_(t, k) = (X_t + S_(k - 1))/(X_t + S_k)$ .
a) Montrer que $R_(t, 1)$ et $R_(t, 2)$ sont indépendantes. On admet dans la suite que les variables aléatoires $R_(t, k)(k ⩾ 1)$ sont indépendantes.
b) En déduire à l'aide des questions précédentes que pour tout $n$ de $ℕ^*$ , les variables aléatoires $ln(X_t)$ et $\sum_(k = 1)^n ln(R_(t, k)) + ln(X_(t + n))$ sont de même loi.
a) Déterminer la loi de la variable aléatoire $- lnU$ .
b) À l'aide de la question 5.e, calculer une densité $f_(R_(t, k))$ de la variable aléatoire $R_(t, k)$ .
c) Soit $(U_k)_(k ⩾ 1)$ une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi que $U$ . Montrer que pour tout $k$ de $ℕ^*$ , les variables aléatoires $R_(t, k)$ et $U_k^(1/(t + k - 1))$ sont de même loi.
d) Déduire des questions précédentes que pour tout $n$ de $ℕ^*$ , la variable aléatoire $ln(X_t)$ est de même loi que la variable aléatoire $\sum_(k = 0)^(n - 1)(1/(k + 1) - (Y_(k + 1))/(t + k)) + ln((X_(t + n))/(t + n)) + d_(n, t) - γ$ .
En utilisant les résultats des questions 1.c,2.b,3.c et 9.d, montrer que pour tout réel $t > 0$ , on a:

E(ln(X_t)) = ψ(t) = - γ + \sum_(k = 0)^\infty(1/(k + 1) - 1/(t + k)) et V(ln(X_t)) = ψ^'(t) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)1/((t + k)^2)

En utilisant la question 3.c, calculer $lim_(t \to + \infty)(ψ(t) - lnt)$ .
On pose : $W = U^(1/μ)$ , où $μ$ désigne un paramètre réel strictement positif inconnu. Afin d'estimer $μ$ , on considère pour $p$ supérieur ou égal à 3 , un $p$ -échantillon $(W_1, W_2, \dots, W_p)$ i.i.d. de la loi de $W$ .
On pose : $G_p = - p(\sum_(i = 1)^p lnW_i)^(- 1)$ . Justifier que la variable aléatoire $G_p$ est un estimateur du paramètre $μ$ . Est-il sans biais? Est-il convergent?
On rappelle que l'appel à la fonction Pascal random a pour résultat un nombre de type real pris au hasard dans l'intervalle $[0, 1[$ .
a) Soit $X$ la fonction Pascal suivante :

function X(lambda : real) : real;
begin
    X := -ln(1-random)/lambda
end ;

Cette fonction simule une variable aléatoire réelle. Donner sa loi. Justifier votre réponse.
b) Écrire une fonction Pascal d'en-tête g(n : integer) : real simulant une variable aléatoire de loi

γ(n)

.
c) Soit m la fonction Pascal suivante :

function m(p : integer) : real;
begin
    m := p/g(p)
end ;

On appelle la fonction m pour différentes valeurs de

p

de plus en plus grandes. Que devrait-on constater?

Partie III. Quelques propriétés de la fonction $Γ$

Les notations sont celles des parties I et II.
14. Première application : les formules de Wilks et Legendre.
a) Soit

(a_k)_(k \in ℕ)

une suite réelle. Pour tout

n

ℕ^*

et tout réel

t > 0

, établir l'égalité :

2\sum_(k = 0)^(2n - 1)(1/(k + 1) - (a_(k + 1))/(t + k)) = \sum_(k = 0)^(n - 1)(1/(k + 1) - (a_(2k + 1))/(t/2 + k)) + \sum_(k = 0)^(n - 1)(1/(k + 1) - (a_(2k + 2))/((t + 1)/2 + k)) + 2\sum_(k = 0)^(n - 1)(1/(2k + 1) - 1/(2k + 2))

b) Exprimer

w_n = \sum_(k = 0)^(n - 1)(1/(2k + 1) - 1/(2k + 2))

en fonction de deux termes de la suite

(h_n)_(n ⩾ 1)

. En déduire que

lim_(n \to + \infty)w_n = ln2

.
c) Pour

t > 0

, soit

X_t

X_(t + 1/2)

deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives

γ(t)

γ(t + 1/2)

. En utilisant les questions 4 et 9.d, montrer que la variable aléatoire

2ln(X_t)

est de même loi que la variable aléatoire

ln(X_(t/2)) + ln(X_((t + 1)/2)) + 2ln2

.
d) On pose :

t = 2s

. Déduire de la question précédente que pour tout réel

r > 0, (X_(2s))^(2r)

2^(2r)(X_s)^r(X_(s + 1/2))^r

sont de même loi.
e) En choisissant une valeur particulière de

s

, établir pour tout

r > 0

, la formule :

2^(2r - 1)Γ(r)Γ(r + 1/2) = Γ(2r)\sqrtπ

Deuxième application : la formule de Stirling.
a) Déterminer quatre réels $a, b, c, d$ tels que pour tout réel $u > 0$ , on a : $1/(u^2(u + 1)^2) = a/(u^2) + b/((u + 1)^2) + c/u + d/(u + 1)$ .

En déduire pour tout

t > 0

, la relation :

ψ^'(t) = 1/t + 1/(2t^2) + 1/2\sum_(k = 0)^(+ \infty)1/((t + k)^2(t + k + 1)^2)

.
On admet sans démonstration que pour tout

u > 0

, on a :

1/3(1/((u + 1/(14))^3) - 1/((u + (15)/(14))^3)) ⩽ 1/(u^2(u + 1)^2) ⩽ 1/3(1/(u^3) - 1/((u + 1)^3))

b) Déduire des deux résultats précédents, pour tout

t > 0

, les deux encadrements :

1/(2t^2) + 1/(6(t + 1/(14))^3) ⩽ ψ^'(t) - 1/t ⩽ 1/(2t^2) + 1/(6t^3) et lnt - 1/(2t) - 1/(12t^2) ⩽ ψ(t) ⩽ lnt - 1/(2t) - 1/(12(t + 1/(14))^2)

En déduire un équivalent de

E(ln(X_t))

et de

V(ln(X_t))

respectivement, lorsque

t

tend vers

+ \infty

.
c) Calculer pour tout

y

vérifiant

y > t > 0

, l'intégrale :

\int_t^y(ψ(x) - ln(x) + 1/(2x))dx

Montrer pour

t

fixé, l'existence de

lim_(y \to + \infty)ln((Γ(y))/(y^(y - 1/2)e^(- y)))

; on note

θ

cette limite.
d) En utilisant la question 14.e et l'identité :

x^x = (x + 1/2)^x(1 + 1/(2x))^(- x)

, valable pour

x > 0

, calculer

e^θ

En déduire que

Γ(x)

est équivalent à

\sqrt(2π)x^(x - 1/2)e^(- x)

, lorsque

x

tend vers

+ \infty

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Dans tout le problème :

On rappelle ou on admet sans démonstration les résultats suivants :

Partie I. Quelques résultats préliminaires

Partie II. Étude de la variable aléatoire ln(X_t)

Partie III. Quelques propriétés de la fonction Γ

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Partie III. Quelques propriétés de la fonction $Γ$