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BCE Maths approfondies HEC/ESCP ECS 2011

Epreuve de maths approfondies - ECS 2011

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Probabilités continuesStatistiquesSuites et séries de fonctionsFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesSéries entières (et Fourier)
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Banque
BCE
Année
2011
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2011ECS MathématiquesMathématiques 2011

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Description

Annale de maths approfondies BCE HEC/ESCP pour la filiere ECS, session 2011.

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BANQUE COMMUNE D'EPREUVES
CONCOURS D'ADMISSION DE 2011

Conceptions : H.E.C. - E.S.C.P. / EUROPE

Code épreuve :

283

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES II

Lundi 9 mai 2011, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrep dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre
Toutes les variables aléatoires qui apparaissent dans ce problème sont supposées définies sur un même espace probabilisé ( ).
On note la fonction de répartition d'une variable aléatoire et, si cette variable aléatoire admet une densité, on note une densité de .
Sous réserve d'existence, on note et respectivement, l'espérance et la variance d'une variable aléatoire réelle , et la covariance de deux variables aléatoires et .
La fonction exponentielle est notée exp et la partie entière d'un réel est notée .
On admet les résultats suivants :
  • la définition et les propriétés de la covariance et du coefficient de corrélation linéaire de deux variables aléatoires discrètes, s'appliquent au cas de variables aléatoires à densité ;
  • si et sont deux variables aléatoires indépendantes admettant une espérance, alors la variable aléatoire admet une espérance et .
Dans tout le problème, on considère une variable aléatoire de fonction de répartition et admettant une densité .
Les solutions éventuelles de l'équation s'appellent les médianes théoriques de .
Pour entier de , on considère un -échantillon i.i.d. (indépendant, identiquement distribué) de la loi de et on définit la variable aléatoire : , qui est la moyenne empirique de l'échantillon .
On admet l'existence de variables aléatoires à densité telles que, pour tout de , les réels constituent un réarrangement par ordre croissant des réels , de telle sorte que, pour tout de : .
En particulier, et . Plus généralement, pour tout de , il existe une fonction définic et continue sur à valeurs réclles, telle que .
Si est un entier impair ( , avec ), alors la variable aléatoire est appelée la médiane empirique de l'échantillon ( ).
La partie II du problème est indépendante de la partie .

Partie I. Quelques propriétés des statistiques d'ordre

Pour tout réel et tout entier de , on note la variable aléatoire de Bernoulli définie par :
éééé
  1. a) Montrer que les fonctions et définies pour tout réel par : et , sont des densités de et respectivement.
    b) Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire ?
    c) Justifier l'égalité entre événements suivante : .
    d) Établir la relation : pour tout réel, .
    e) En déduire que pour tout de , la fonction définie pour tout réel par :
est une densité de .
f) Montrer que si admet un moment d'ordre , alors pour tout de admet un moment d'ordre .
Exemple. Dans les questions 2 à 4 , on suppose que la fonction de répartition est donnée par :
  1. a) Tracer la courbe représentative de dans le plan rapporté à un repère orthonormé.
Préciser la demi-tangente à droite au point d'abscisse .
Justifier que est une variable aléatoire à densité et préciser une densité de .
b) Montrer que n'admet aucun moment.
c) Établir l'unicité de la médiane théorique de . Calculer .
d) Expliciter, pour tout de et pour tout réel, l'expression d'une densité de .
En déduire un équivalent de lorsque tend vers .
3. On suppose dans cette question que .
a) Montrer que pour tout de admet une espérance.
b) En justifiant l'emploi du changement de variable , établir pour tout de , la formule : .
c) Pour tout couple de , on pose : .
Montrer que pour tout couple de , on a : .
d) En déduire l'expression de pour tout de .
e) On suppose que est impair et supérieur ou égal à 5 , et on pose . Justifier la définition de
la médiane empirique d'un échantillon, et établir l'égalité : . Commenter.
4. On pose pour tout de .
a) Calculer pour tout réel, .
b) On définit la fonction par : .
Montrer que est la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité.
c) Montrer que la suite de variables aléatoires converge en loi vers .

Partie II. Existence et unicité d'un estimateur optimal

Dans cette partie, suit la loi normale d'espérance et de variance égale à 1 . On suppose que le paramètre réel est inconnu.
On note la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
On rappelle que pour entier de est un -échantillon i.i.d. de la loi de .
5. Quelle est la loi de ? Montrer que est un estimateur sans biais et convergent du paramètre .
6. Soit un réel tel que . On appelle marge d'erreur associée à un intervalle de confiance de au risque , le réel positif noté , égal à la demi-longueur de cet intervalle.
a) Justifier l'existence de la fonction réciproque de la fonction .
b) Déterminer un intervalle de confiance du paramètre au risque dont le milieu est .
Vérifier que .
c) On considère un risque tel que , avec . Exprimer en fonction de .
Comparer et . Commenter.
7. On note l'ensemble des statistiques , où est une fonction de dans , qui sont des estimateurs sans biais de et qui admettent une variance.
Sous réserve d'existence, on dit qu'un élément de est un estimateur optimal dans , si pour tout de , on a: .
On admet que pour tout de , on a : .
a) Montrer que n'est pas vide.
b) Montrer que est optimal dans .
c) Soit un estimateur optimal dans . On pose pour tout de et pour tout réel :
.
Montrer que est un élément de . Calculer . En déduire que .
d) On suppose l'existence de deux estimateurs optimaux et dans .
Montrer que presque sûrement. Conclure.
8. a) Justifier l'existence et l'unicité de la médiane théorique de , et exprimer en fonction de .
b) Calculer . Montrer que pour tout réel , on a : .
En déduire une relation entre et .
c) Établir pour tout de , la relation : .
d) En supposant que , calculer , puis justifier que . Commenter.

Partie III. Résultats asymptotiques

Le contexte de cette partie est identique à celui de la partie II.
Dans cette partie, on note une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
Si est une variable aléatoire et un réel tels que la variable aléatoire admette une espérance, on pose : .
9. Soit une variable aléatoire qui suit la loi de Bernoulli de paramètre .
a) Calculer pour tout réel, .
b) Établir pour tout réel, l'existence de .
c) Calculer pour tout réel, . En déduire que pour tout couple de et pour tout réel, on a .
Dans les questions 10 et 11, est un réel fixé.
10. On pose pour tout de et .
a) Montrer que l'on a : lorsque tend vers .
b) En appliquant la formule de Taylor-Young à la fonction au voisinage de , justifier la relation:
c) Soit la suite définie par : pour tout de .
Montrer que la suite est convergente et déterminer sa limite .
11. On pose pour tout de , où a été définie dans le préambule de la partie I.
a) Établir pour tout réel , la relation :
b) En utilisant un développement limité à l'ordre 2 , montrer que l'on a : lorsque tend vers . En déduire l'égalité : .
On admet alors que la suite de variables aléatoires converge en loi vers la variable aléatoire .
12. On suppose que . Quels sont les arguments qui permettent d'obtenir directement le résultat final de la question 11.b) ?
13. a) Établir pour tout de et pour tout réel, les égalités d'événements suivantes :
b) Montrer l'égalité : .
c) En déduire que la suite de variables aléatoires converge en loi et préciser sa limite.
14. On suppose dans cette question que est impair et on pose . On note le coefficient de corrélation linéaire de et .
a) Que vaut ?
b) Préciser la valeur de .
c) On admet sans démonstration que la suite réelle de terme général converge vers . En déduire un équivalent de lorsque tend vers .
d) À l'aide des questions et 14.c), déterminer la limite de lorsque tend vers .

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