WikiPrépaLivrets

BCE Maths approfondies HEC/ESCP ECS 2011, épreuve 2Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2011

Pas encore noté
Logo concours BCE

Explorer les annales

BanqueBCEAnnée2011FilièreECSMatièreMathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2011ECS MathématiquesMathématiques 2011

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Lire en ligneLaTeXWord
  • Rapport du jury : non disponible
Source du document : annales-prepa.fr

Description

Annale de maths approfondies BCE HEC/ESCP pour la filiere ECS, session 2011.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

BANQUE COMMUNE D'EPREUVES
CONCOURS D'ADMISSION DE 2011

Conceptions : H.E.C. - E.S.C.P. / EUROPE

Code épreuve :

283

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES II

Lundi 9 mai 2011, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrep dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre
Toutes les variables aléatoires qui apparaissent dans ce problème sont supposées définies sur un même espace probabilisé ( Ω, A, P ).
On note F_Z la fonction de répartition d'une variable aléatoire Z et, si cette variable aléatoire admet une densité, on note f_Z une densité de Z.
Sous réserve d'existence, on note E(Z) et V(Z) respectivement, l'espérance et la variance d'une variable aléatoire réelle Z, et Cov(Z_1, Z_2) la covariance de deux variables aléatoires Z_1 et Z_2.
La fonction exponentielle est notée exp et la partie entière d'un réel x est notée ⌊x⌋.
On admet les résultats suivants :
  • la définition et les propriétés de la covariance et du coefficient de corrélation linéaire de deux variables aléatoires discrètes, s'appliquent au cas de variables aléatoires à densité ;
  • si Z_1 et Z_2 sont deux variables aléatoires indépendantes admettant une espérance, alors la variable aléatoire Z_1 Z_2 admet une espérance et E(Z_1 Z_2) = E(Z_1)E(Z_2).
Dans tout le problème, on considère une variable aléatoire X de fonction de répartition F_X et admettant une densité f_X.
Les solutions éventuelles de l'équation F_X(x) = 1/2 s'appellent les médianes théoriques de X.
Pour n entier de ℕ^∗, on considère un n-échantillon (X_1, X_2, …, X_n) i.i.d. (indépendant, identiquement distribué) de la loi de X et on définit la variable aléatoire : X¯_n = 1/n∑_(k = 1)^n X_k, qui est la moyenne empirique de l'échantillon (X_1, X_2, …, X_n).
On admet l'existence de variables aléatoires à densité Y_1, Y_2, …, Y_n telles que, pour tout ω de Ω, les réels Y_1(ω), Y_2(ω), …, Y_n(ω) constituent un réarrangement par ordre croissant des réels X_1(ω), X_2(ω), …, X_n(ω), de telle sorte que, pour tout ω de Ω : Y_1(ω) ⩽ Y_2(ω) ⩽ ⋯ ⩽ Y_n(ω).
En particulier, Y_1 = inf(X_1, X_2, …, X_n) et Y_n = sup(X_1, X_2, …, X_n). Plus généralement, pour tout k de [ [1, n] ], il existe une fonction ψ_k définic et continue sur ℝ^n à valeurs réclles, telle que Y_k = ψ_k(X_1, X_2, …, X_n).
Si n est un entier impair ( n = 2ℓ + 1, avec ℓ ∈ ℕ ), alors la variable aléatoire Y_(ℓ + 1) est appelée la médiane empirique de l'échantillon ( X_1, X_2, …, X_n ).
La partie II du problème est indépendante de la partie I.

Partie I. Quelques propriétés des statistiques d'ordre

Pour tout réel x et tout entier k de [ [1, n] ], on note J_k(x) la variable aléatoire de Bernoulli définie par :
J_k(x) = {1, si [X_k ⩽ x] est réalisé; 0, si [X_k > x] est réalisé on pose : S_n(x) = ∑_(k = 1)^n J_k(x)
  1. a) Montrer que les fonctions f_(Y_1) et f_(Y_n) définies pour tout x réel par : f_(Y_1)(x) = n(1 − F_X(x))^(n − 1)f_X(x) et f_(Y_n)(x) = n(F_X(x))^(n − 1)f_X(x), sont des densités de Y_1 et Y_n respectivement.
    b) Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire S_n(x) ?
    c) Justifier l'égalité entre événements suivante : [Y_k ⩽ x] = [S_n(x) ⩾ k].
    d) Établir la relation : pour tout x réel, F_(Y_k)(x) = ∑_(j = k)^n(n/j)(F_X(x))^j(1 − F_X(x))^(n − j).
    e) En déduire que pour tout k de [ [1, n] ], la fonction f_(Y_k) définie pour tout x réel par :
f_(Y_k)(x) = k(n/k)(F_X(x))^(k − 1)(1 − F_X(x))^(n − k)f_X(x)
est une densité de Y_k.
f) Montrer que si X admet un moment d'ordre r(r ∈ ℕ^∗), alors pour tout k de [ [1, n] ], Y_k admet un moment d'ordre r.
Exemple. Dans les questions 2 à 4 , on suppose que la fonction de répartition F_X est donnée par :
F_X(x) = {1 − 1/(√x), si x ⩾ 1; 0, si x < 1
  1. a) Tracer la courbe représentative de F_X dans le plan rapporté à un repère orthonormé.
Préciser la demi-tangente à droite au point d'abscisse x = 1.
Justifier que X est une variable aléatoire à densité et préciser une densité f_X de X.
b) Montrer que X n'admet aucun moment.
c) Établir l'unicité de la médiane théorique M de X. Calculer M.
d) Expliciter, pour tout k de [ [1, n] ] et pour tout x réel, l'expression f_(Y_k)(x) d'une densité de Y_k.
En déduire un équivalent de f_(Y_k)(x) lorsque x tend vers + ∞.
3. On suppose dans cette question que n ⩾ 3.
a) Montrer que pour tout k de [ [1, n − 2] ], Y_k admet une espérance.
b) En justifiant l'emploi du changement de variable t = 1/(√x), établir pour tout k de [ [1, n − 2] ], la formule : E(Y_k) = k(n/k)∫_0^1 t^(n − k − 2)(1 − t)^(k − 1)dt.
c) Pour tout couple (r, s) de (ℕ^∗)^2, on pose : I_(r, s) = ∫_0^1 t^(r − 1)(1 − t)^(s − 1)dt.
Montrer que pour tout couple (r, s) de (ℕ^∗)^2, on a : I_(r, s) = ((r − 1)!(s − 1)!)/((r + s − 1)!).
d) En déduire l'expression de E(Y_k) pour tout k de [ [1, n − 2] ].
e) On suppose que n est impair et supérieur ou égal à 5 , et on pose n = 2ℓ + 1. Justifier la définition de
la médiane empirique Y_(ℓ + 1) d'un échantillon, et établir l'égalité : E(Y_(ℓ + 1)) = 4 + 6/(ℓ − 1). Commenter.
4. On pose pour tout n de ℕ^∗ : Z_n = 1/(n^2)sup(X_1, X_2, …, X_n) = (Y_n)/(n^2).
a) Calculer pour tout x réel, F_(Z_n)(x).
b) On définit la fonction φ_Z par : φ_Z(x) = {exp(− 1/(√x)), si x > 0; 0, si x ⩽ 0.
Montrer que φ_Z est la fonction de répartition d'une variable aléatoire Z à densité.
c) Montrer que la suite de variables aléatoires (Z_n)_(n ∈ ℕ^∗) converge en loi vers Z.

Partie II. Existence et unicité d'un estimateur optimal

Dans cette partie, X suit la loi normale d'espérance θ et de variance égale à 1 . On suppose que le paramètre réel θ est inconnu.
On note Φ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
On rappelle que pour n entier de ℕ^∗, (X_1, X_2, …, X_n) est un n-échantillon i.i.d. de la loi de X.
5. Quelle est la loi de X¯_n ? Montrer que X¯_n est un estimateur sans biais et convergent du paramètre θ.
6. Soit α un réel tel que 0 < α < 1. On appelle marge d'erreur associée à un intervalle de confiance de θ au risque α, le réel positif noté μ(α), égal à la demi-longueur de cet intervalle.
a) Justifier l'existence de la fonction réciproque Φ^(− 1) de la fonction Φ.
b) Déterminer un intervalle de confiance du paramètre θ au risque α dont le milieu est X¯_n.
Vérifier que μ(α) = − (Φ^(− 1)(α/2))/(√n).
c) On considère un risque β(β ≠ α) tel que μ(β) = bμ(α), avec 0 < b < 1. Exprimer β en fonction de α.
Comparer α et β. Commenter.
7. On note E_θ l'ensemble des statistiques U_n = g_n(X_1, X_2, …, X_n), où g_n est une fonction de ℝ^n dans ℝ, qui sont des estimateurs sans biais de θ et qui admettent une variance.
Sous réserve d'existence, on dit qu'un élément Z_n de E_θ est un estimateur optimal dans E_θ, si pour tout U_n de E_θ, on a: V(Z_n) ⩽ V(U_n).
On admet que pour tout U_n de E_θ, on a : Cov(X¯_n, U_n − X¯_n) = 0.
a) Montrer que E_θ n'est pas vide.
b) Montrer que X¯_n est optimal dans E_θ.
c) Soit Z_n un estimateur optimal dans E_θ. On pose pour tout U_n de E_θ et pour tout λ réel :
A_n(λ) = Z_n + λ(U_n − Z_n).
Montrer que A_n(λ) est un élément de E_θ. Calculer V(A_n(λ)). En déduire que Cov(Z_n, U_n − Z_n) = 0.
d) On suppose l'existence de deux estimateurs optimaux X¯_n et Z_n dans E_θ.
Montrer que Z_n = X¯_n presque sûrement. Conclure.
8. a) Justifier l'existence et l'unicité de la médiane théorique M de X, et exprimer M en fonction de θ.
b) Calculer f_X(M). Montrer que pour tout réel x, on a : F_X(2M − x) = 1 − F_X(x).
En déduire une relation entre f_X(2M − x) et f_X(x).
c) Établir pour tout k de [ [1, n] ], la relation : E(Y_k − M) = E(M − Y_(n − k + 1)).
d) En supposant que n = 2ℓ + 1(ℓ ∈ ℕ), calculer E(Y_(ℓ + 1)), puis justifier que V(Y_(ℓ + 1)) ⩾ 1/n. Commenter.

Partie III. Résultats asymptotiques

Le contexte de cette partie est identique à celui de la partie II.
Dans cette partie, on note T une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
Si U est une variable aléatoire et s un réel tels que la variable aléatoire exp(sU) admette une espérance, on pose : L_U(s) = E(exp(sU)).
9. Soit J une variable aléatoire qui suit la loi de Bernoulli de paramètre p(0 < p < 1).
a) Calculer pour tout s réel, L_J(s).
b) Établir pour tout s réel, l'existence de L_T(s).
c) Calculer pour tout s réel, L_T(s). En déduire que pour tout couple (θ, σ) de ℝ × ℝ^(+ ∗) et pour tout s réel, on a : L_(σT + θ)(s) = exp(σ^2(s^2)/2 + θs).
Dans les questions 10 et 11, x est un réel fixé.
10. On pose pour tout n de ℕ^∗ : y_n = M + x/(√n), q_n = F_X(y_n) et k(n) = ⌊n/2⌋ + 1.
a) Montrer que l'on a : k(n) = n/2 + o(√n) lorsque n tend vers + ∞.
b) En appliquant la formule de Taylor-Young à la fonction F_X au voisinage de M, justifier la relation:
q_n = 1/2 + x/(√(2πn)) + o(1/(√n))
c) Soit (u_n)_(n ∈ ℕ^∗) la suite définie par : pour tout n de ℕ^∗, u_n = 1/(√n)(k(n) − nq_n).
Montrer que la suite (u_n)_(n ∈ ℕ^∗) est convergente et déterminer sa limite u.
11. On pose pour tout n de ℕ^∗ : W_n = 1/(√n)(S_n(y_n) − nq_n), où S_n(y_n) a été définie dans le préambule de la partie I.
a) Établir pour tout réel s, la relation :
L_(W_n)(s) = exp(− s√nq_n)(1 + q_n exp(s/(√n)) − q_n)^n
b) En utilisant un développement limité à l'ordre 2 , montrer que l'on a : ln(L_(W_n)(s)) = (s^2)/8 + o(1) lorsque n tend vers + ∞. En déduire l'égalité : lim_(n → + ∞)L_(W_n)(s) = L_(T/2)(s).
On admet alors que la suite de variables aléatoires (W_n)_(n ∈ ℕ^∗) converge en loi vers la variable aléatoire T/2.
12. On suppose que x = 0. Quels sont les arguments qui permettent d'obtenir directement le résultat final de la question 11.b) ?
13. a) Établir pour tout n de ℕ^∗ et pour tout x réel, les égalités d'événements suivantes :
[√n(Y_(k(n)) − M) ⩽ x] = [S_n(y_n) ⩾ k(n)] = [W_n ⩾ u_n]
b) Montrer l'égalité : lim_(n → + ∞)P([W_n ⩾ u_n]) = P([√(π/2)T ⩽ x]).
c) En déduire que la suite de variables aléatoires (√((2n)/π)(Y_(k(n)) − M))_(n ∈ ℕ^∗) converge en loi et préciser sa limite.
14. On suppose dans cette question que n est impair et on pose n = 2ℓ + 1(ℓ ∈ ℕ). On note ρ_n le coefficient de corrélation linéaire de Y_(k(n)) et X¯_n.
a) Que vaut k(n) ?
b) Préciser la valeur de lim_(n → + ∞)E(Y_(k(n))).
c) On admet sans démonstration que la suite réelle de terme général E((√((2n)/π)(Y_(k(n)) − M))^2) converge vers E(T^2). En déduire un équivalent de V(Y_(k(n))) lorsque n tend vers + ∞.
d) À l'aide des questions 5, 7, 8 et 14.c), déterminer la limite de ρ_n lorsque n tend vers + ∞.

Pas de description pour le moment