BCE Maths approfondies HEC/ESCP ECS 2020, épreuve 2Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2020

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Annale de maths approfondies BCE HEC/ESCP pour la filiere ECS, session 2020.

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OPTION SCIENTIFIQUE

MATHÉMATIQUES II

Mercredi 29 avril 2020, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Lorsque l'on cherche à estimer un paramètre inconnu à partir d'un échantillon de données, on appelle statistique exhaustive toute fonction de ces données qui résume à elle seule l'information que ces données fournissent sur le paramètre.
On donne ici une définition précise de cette notion d'exhaustivité dans le cas des échantillons de variables aléatoires discrètes, illustrée de plusieurs exemples qui en montrent l'intérêt.

On s'intéressera dans ce problème à l'estimation d'un paramètre réel inconnu

θ

appartenant à un intervalle

Θ

On dispose pour cela de plusieurs observations

x_1, \dots, x_n

considérées comme les réalisations de variables aléatoires discrètes

X_1, \dots, X_n

définies sur le même espace probabilisable (

Ω, A

), à valeurs dans une partie

B

ℕ

L'espace probabilisable (

Ω, A

) est muni d'une famille

(P^θ)_(θ \in Θ)

de probabilités indexées par le paramètre

θ

On fait, pour toutes les valeurs du paramètre

θ

, les trois hypothèses suivantes.

Les variables aléatoires $X_1, \dots, X_n$ sont mutuellement indépendantes, c'est-à-dire :

\forall(x_1, \dots, x_n) \in B^n, P^θ(⋂_(i = 1)^n[X_i = x_i]) = \prod_(i = 1)^n P^θ([X_i = x_i])

Les variables aléatoires $X_1, \dots, X_n$ suivent toutes la même loi qu'une variable aléatoire de référence, notée $X$ , à valeurs dans $B$ , c'est-à-dire :

\foralli \in [ [1, n] ], \forallx \in B, P^θ([X_i = x]) = P^θ([X = x])

Tous les éléments de $B$ sont des valeurs effectivement possibles de $X$ , c'est-à-dire :

\forallx \in B, P^θ([X = x]) > 0

On appelle statistique toute variable aléatoire

S

de la forme

ω ⟼ s(X_1(ω), \dots, X_n(ω))

, où

s

désigne une application définie sur

B^n

et à valeurs réelles. On note alors

S = s(X_1, \dots, X_n)

.
Pour tout

θ \in Θ

, on note

E^θ(S)

l'espérance de

S

lorsque (

Ω, A

) est muni de la probabilité

P^θ

(si cette espérance existe). On note de même

V^θ(S)

la variance de

S

(si elle existe).

Partie 1 : développements en série

Dans cette question, $x$ désigne un nombre réel strictement compris entre 0 et 1 .
a) Justifier la convergence de la série $\sum_(k \geq 1)(x^k)/k$ .
b) Vérifier, pour tout $m \in ℕ^*$ et tout $t \in ]0, 1[$ , l'égalité :

1/(1 - t) = (t^m)/(1 - t) + \sum_(k = 0)^(m - 1)t^k

c) Démontrer que l'intégrale

\int_0^x(t^m)/(1 - t) dt

tend vers 0 quand l'entier

m

tend vers l'infini.
d) En déduire la somme de la série

\sum_(k \geq 1)(x^k)/k

.
2. Dans cette question, indépendante de la précédente,

(a_k)_(k \in ℕ)

désigne une suite de nombres réels telle que la série

\sum_(k \geq 0)a_k c^k

est absolument convergente pour un réel strictement positif

c

.
a) Justifier que la fonction

f : x ⟼ a_0 + \sum_(k = 1)^(+ \infty)a_k x^k

est bien définie sur le segment

[ - c, + c]

.
b) Pour un entier naturel

m

, on pose :

M_m = \sum_(k = m + 1)^(+ \infty)|a_k|c^(k - m - 1)

Justifier, pour tout

x \in [ - c, + c]

, l'inégalité :

|\sum_(k = m + 1)^(+ \infty)a_k x^k| \leq M_m|x|^(m + 1)

c) Justifier, pour tout

m \in ℕ^*

, le développement limité au voisinage de 0 :

f(x) = a_0 + \sum_(k = 1)^m a_k x^k + \circ (x^m)

d) Démontrer que si la fonction

f

est nulle sur l'intervalle

]0, + c

], alors

(a_k)_(k \in ℕ)

est la suite nulle.

Dans toute la suite du problème, pour tout

θ \in Θ

et tout

(x_1, \dots, x_n) \in B^n

, on note :

L(x_1, \dots, x_n, θ) = \prod_(i = 1)^n P^θ([X_i = x_i])

Cette quantité, qui s'écrit aussi

\prod_(i = 1)^n P^θ([X = x_i])

d'après (2), est appelée la vraisemblance de la valeur

θ

du paramètre au vu des observations

x_1, \dots, x_n

Partie II : estimateur du maximum de vraisemblance, un exemple

Dans cette partie,

Θ

est l'intervalle ouvert

]0, 1[, B

est égal à

ℕ^*

et on a :

\forallx \in B, P^θ([X = x]) = (1 - θ)^(x - 1)θ

On note

X¯

la variable aléatoire

1/n\sum_(i = 1)^n X_i

.
3. Soit

θ \in Θ

.
a) Reconnaître la loi de

X

lorsque (

Ω, A

) est muni de la probabilité

P^θ

.
b) En déduire que

X¯

est un estimateur sans biais du paramètre

1/θ

.
c) Quel est le risque quadratique de cet estimateur?
4. On note

T

la variable aléatoire

1/n\sum_(i = 1)^n 1/(X_i)

.
a) En utilisant le résultat de la question 1.d, justifier que :

\forallθ \in Θ, E^θ(T) = (θln(θ))/(θ - 1)

b) En déduire que

T

est un estimateur de

θ

dont le biais

b_θ(T)

est strictement positif.
5. Soit

(x_1, \dots, x_n) \in B^n

.
a) Justifier, pour tout

θ \in Θ

, l'égalité :

ln(L(x_1, \dots, x_n, θ)) = nln(θ) - (n - \sum_(i = 1)^n x_i)ln(1 - θ)

b) En déduire que, lorsque les

x_i

ne sont pas tous égaux à 1 , le nombre

n/(\sum_(i = 1)^n x_i)

est l'unique valeur de

θ

qui maximise la vraisemblance

L(x_1, \dots, x_n, θ)

.
6. On note

U

la variable aléatoire

n/(\sum_(i = 1)^n X_i)

.
a) Établir, pour tout

θ \in Θ

et tout entier

k \geq n

, l'égalité:

n/k = θ - θ^2(k/n - 1/θ) + \int_(1/θ)^(k/n)(k/n - t)2/(t^3) dt

b) En déduire que

U

est un estimateur de

θ

dont le biais

b_θ(U)

est donné par :

\forallθ \in Θ, b_θ(U) = \sum_(k = n)^(+ \infty)P([\sum_(i = 1)^n X_i = k])\int_(1/θ)^(k/n)(k/n - t)2/(t^3) dt

c) Justifier que

b_θ(U)

est strictement positif, quelle que soit la valeur du paramètre

θ

.
7. Dans cette question, on suppose que le nombre des observations est illimité. On dispose donc, pour estimer le paramètre

θ

, d'une suite

(X_n)_(n \in ℕ^*)

de variables aléatoires mutuellement indépendantes et de même loi.
Pour tout entier

n \in ℕ^*

, on note

T_n = 1/n\sum_(i = 1)^n 1/(X_i)

U_n = n/(\sum_(i = 1)^n X_i)

.
Étudier la convergence des deux suites d'estimateurs

(T_n)_(n \in ℕ^*)

(U_n)_(n \in ℕ^*)

du paramètre

θ

Dans toute la suite du problème, on dit qu'une statistique

S = s(X_1, \dots, X_n)

est exhaustive s'il existe une application

g

s(B^n) \times Θ

dans

ℝ_+

et une application

h

B^n

dans

ℝ_+

telles que :

\forallθ \in Θ, \forall(x_1, \dots, x_n) \in B^n, L(x_1, \dots, x_n, θ) = g(s(x_1, \dots, x_n), θ)h(x_1, \dots, x_n)

Partie III : statistique exhaustive, un exemple

Dans cette partie, on suppose que

B = {0, 1}, Θ = ]0, 1

[ et que, quel que soit

θ \in Θ

, les variables aléatoires

X_1, \dots, X_n

suivent la loi de Bernoulli de paramètre

θ

, lorsque l'espace probabilisable (

Ω, A

) est muni de la probabilité

P^θ

.
On pose :

S = \sum_(i = 1)^n X_i

.
8. a) Démontrer que la vraisemblance de n'importe quelle valeur

θ \in Θ

du paramètre est donnée par :

∀(x_1, …, x_n) ∈ {0, 1}^n, L(x_1, …, x_n, θ) = θ^((∑_(i = 1)^n x_i)) × (1 − θ)^((∑_(i = 1)^n(1 − x_i))).

b) En déduire que la statistique

S

est exhaustive.
9. Soit

k \in [ [0, n] ]

(x_1, …, x_n) ∈ {0, 1}^n

.
a) Calculer la probabilité conditionnelle

P_([S = k])^θ([X_1 = x_1] \cap \dots \cap [X_n = x_n])

et vérifier que la loi conditionnelle du vecteur aléatoire

(X_1, \dots, X_n)

sachant l'événement

[S = k]

ne dépend pas du paramètre

θ

.
b) Établir, pour tout

θ \in Θ

, l'égalité :

P_([S = k])^θ([X_1 = 1]) = k/n

.
10. Le script Scilab suivant permet d'effectuer des simulations, qu'il place dans une matrice Y , dont il évalue ensuite la moyenne de chaque colonne.

--> theta=0.3;
--> N=100000;
--> n=10;
--> k=4;
--> U=grand(n,N,'bin',1,theta);
--> S=sum(U,'r'); // somme des lignes de U, colonne par colonne
--> K=find(S==k) ; // recherche des coefficients de S égaux à k

--> Y=U(1:n,K);
--> M=mean(Y,'c') // moyenne des colonnes de Y, ligne par ligne
ans =
    0.4019917
    0.4042436
    0.4008908
    0.3962868
    0.4054947
    0.3953861
    0.3990892
    0.4002402
    0.3941851
    0.4021919

a) Décrire avec précision ce que représente une colonne de la matrice U.
b) Expliquer pourquoi les coefficients de Y fournissent une simulation d'une loi conditionnelle du vecteur (

X_1, \dots, X_n

).
c) Commenter les résultats trouvés pour les coefficients de M.
11. Á la suite du script précédent, on exécute l'instruction suivante :
-->

C = Y*Y^'/

length

(K)

;
a) Donner le format de la matrice C et indiquer la valeur de son coefficient

C(1, 1)

.
b) Á quelle valeur approchée peut-on s'attendre pour

C(1, 2)

et pour les autres coefficients non diagonaux de la matrice C ?
c) Quelle est la somme totale des coefficients de la matrice C ?

Partie IV : inégalité de Rao-Blackwell

Dans cette partie, on reprend les hypothèses générales du préambule et on considère une statistique exhaustive

S = s(X_1, \dots, X_n)

, au sens donné par (5).
On admet que, pour tout élément

u

s(B^n)

et tout élément

(x_1, \dots, x_n)

B^n

, la probabilité conditionnelle

P_([S = u])^θ([X_1 = x_1] \cap \dots \cap [X_n = x_n])

ne dépend pas de

θ

.
12. Soit

T

un estimateur sans biais du paramètre

θ

.
a) Démontrer que, pour tout

u \in s(B^n)

, l'espérance conditionnelle

E_([S = u])^θ(T)

existe et que sa valeur ne dépend pas de

θ

.
b) Justifier que

([S = u])_(u \in s(B^n))

est un système complet d'événements.
13. Comme l'espérance conditionnelle

E_([S = u])^θ(T)

ne dépend pas de la valeur de

θ

, on peut la noter

E_([S = u])(T)

et définir une application

r

B^n

dans

ℝ

par :

\forall(x_1, \dots, x_n) \in B^n, r(x_1, \dots, x_n) = E_([S = s(x_1, \dots, x_n)])(T).

a) En utilisant la formule de l'espérance totale, démontrer que

R = r(X_1, \dots, X_n)

est un estimateur sans biais de

θ

.
b) On suppose que

T

admet une variance, quelle que soit la valeur du paramètre

θ

. Justifier qu'il en est de même pour

R

et en utilisant les inégalités

(E_([S = u])(T - θ))^2 \leq E_([S = u])((T - θ)^2)

établir, pour tout

θ \in Θ

, l'inégalité (appelée inégalité de Rao-Blackwell) :

V^θ(R) \leq V^θ(T)

Un exemple d'estimateur sans biais optimal

Dans cette question uniquement, on suppose que

B = ℕ, Θ = ]0, + \infty[

et que, pour tout

θ \in Θ

, la loi commune des variables aléatoires

X_1, \dots, X_n

sur l'espace probabilisé (

Ω, A, P^θ

) est la loi de Poisson de paramètre

θ

.
a) Justifier que la statistique

S = \sum_(i = 1)^n X_i

est exhaustive.
b) Soit

u \in ℕ

(x_1, \dots, x_n) \in ℕ^n

Vérifier que la probabilité conditionnelle

P_([S = u])^θ([X_1 = x_1] \cap \dots \cap [X_n = x_n])

ne dépend pas de

θ

.
c) Soit

u \in ℕ

Démontrer que chacune des variables aléatoires

X_1, \dots, X_n

suit une loi binomiale lorsque l'espace probabilisable (

Ω, A

) est muni de la probabilité

P_([S = u])^θ

. Sont-elles indépendantes pour cette probabilité?
d) Trouver une suite réelle

(φ_k)_(k \in ℕ)

telle que

\forallθ > 0, \sum_(k = 0)^(+ \infty)φ_k((nθ)^k)/(k!) = θe^(nθ)

et en prouver l'unicité à l'aide du résultat de la question 2 .
e) En exploitant le résultat de la question 13, démontrer que, parmi les estimateurs sans biais de

θ

, l'estimateur

1/n\sum_(i = 1)^n X_i

est optimal, c'est-à-dire que son risque quadratique est inférieur ou égal à celui de tout autre estimateur sans biais de

θ

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