La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Partie 1 -Polynômes factoriels

On note-F, l'espace vectoriel des fonctions polynomiales à coefficients réels et, pour tout entier naturel r, on note

, le sous-espace vectoriel des fonctions polynomiales à coefficients réels de degré inférieur ou égal à

On note

la fonction

avec la convention habituelle

, de telle sorte que la base canonique de

est notée (

Soit , un entier naturel. On considère une famille ( ) de fonctions polynomiales de degrés respectifs avec .

a) On suppose qu'il existe des réels non tous nuls tels que

En considérant

, démontrer que l'hypothèse précédente est absurde.
Qu'a-t-on ainsi démontré?
1.b) À quelle condition la famille (

) est-elle une base de

? (On précisera s'il s'agit d'une condition nécessaire, d'une condition suffisante ou d'une condition nécessaire et suffisante.)
2) Pour tout entier naturel

, le réel "

puissance

descendante" est noté

et défini par

avec la convention

. On pose alors

est clair que

appartient à

.
2.a) Quelles sont les racines de

?
2.b) Démontrer que la famille (

) est une base de

.
2.c) Démontrer que, pour tout entier

(On pourra raisonner par récurrence sur

.)
3) Ici, l'entier

est fixé et on compare la famille

à la base canonique

de l'espace

des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à

.
3.a) Démontrer qu'il existe une unique famille

de nombres réels tels que

3.b) Établir les relations suivantes :

3.c) Démontrer que, pour tout

et pour tout

, on a

3.d) En déduire que

est un entier naturel non nul pour tout

et pour tout

.
3.e) Écrire un code scilab qui affiche (au moyen de la commande disp) les listes

pour

variant de 2 à 5 .

On pourra utiliser la commande ones

qui retourne la matrice de

dont tous les coefficients sont égaux à 1 .
4. a) Démontrer que, pour tout entier naturel

, il existe une unique famille

de nombres réels tels que

4.b) Soit

. Démontrer que

En déduire la valeur de

.
4. c) Déduire de 4.b) que, pour tout

et pour tout

, le signe de

est celui de

.
4.d) Démontrer que

et que

e) Calculer pour tout et pour tout entier .

Partie 2 - Quelques propriétés de la loi de Poisson

Sous réserve d'existence, on note respectivement

, l'espérance et la variance d'une variable aléatoire

, la covariance de deux variables aléatoires discrètes

Dans cette partie, on note

, une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (

) qui suit la loi de Poisson de paramètre

Pour tout entier

, on pose

avec la convention

.
Avec la suite

définie au 3.a) et la suite

définie au 4.a), on a

On admet ces deux résultats sans démonstration.
5.a) Rappeler sans démonstration les valeurs respectives de

.
5.b) Exprimer

en fonction des variables aléatoires

.
5.c) Démontrer que la variable aléatoire

admet des moments de tous ordres.
6. a) Justifier que, pour tout entier

, la variable aléatoire

admet des moments de tous ordres.
6.b) Pour tout entier

, exprimer

en fonction de

et de

.
6.c) Calculer

en fonction de

.
7) Pour tout entier naturel

et pour tout réel

, on pose

7.a) Pour tout entier

, calculer l'expression de la dérivée partielle

et exprimer la variable aléatoire

en fonction de

et de

.
7.b) Vérifier que

pour tout entier

. En déduire que

.
7.c) Calculer

) et en déduire l'inégalité

Partie 3 - Estimation ponctuelle de fonctions du paramètre

Le contexte et les notations sont ceux de la partie 2.
On suppose que le paramètre

est inconnu et on cherche ici à estimer

, où

est une fonction dérivable sur

Pour

entier de

, on considère dans toute cette partie un

-échantillon (

) de variables aléatoires mutuellement indépendantes qui, comme

, suivent toutes la loi de Poisson de paramètre

Pour tout

et pour tout

, on pose

a) Démontrer que les fonctions et sont dérivables sur et calculer les dérivées partielles et .
8.b) Pour tout , on pose . Démontrer que la variable aléatoire est centrée et admet une variance strictement positive, notée , que l'on calculera.

On rappelle que : s'il existe

séries absolument convergentes

telles que

alors la série

est dite absolument convergente. On admet que, dans ce cas, la somme

est bien définie.

On rappelle l'énoncé de la Formule de transfert : si la série

est absolument convergente (au sens qui vient d'être rappelé), alors la variable aléatoire discrète

est d'espérance finie et

Soit

, une application indépendante de

. On peut alors considérer la variable aléatoire discrète

comme un estimateur de

.
On dira que la variable aléatoire

est un estimateur régulier de

lorsque les trois conditions suivantes (

), (

) et (

) sont satisfaites.

On notera que la condition (

) sous-entend que le second membre est la somme d'une série absolument convergente (au sens rappelé plus haut).
9) Dans cette question, on suppose que

est un estimateur régulier de

.
9.a) La variable aléatoire

est-elle un estimateur sans biais de

?
9.b) Pourquoi la condition (

) n'est-elle pas une conséquence directe de la condition (

) ?
10) Soit

, un estimateur régulier du paramètre

.
10.a) Établir les égalités suivantes:

10.b) En déduire l'inégalité

où

a été défini au 8.b).
11) On cherche à simuler un échantillon de

réalisations de

pour différents couples

.
11.a) Compléter le code scilab suivant en justifiant votre réponse.

function ech=Z_th(n, theta)
    X=grand(n,N,'poi',theta);
    ech = (sum(X, ) - n*theta)/theta
endfunction

On rappelle l'usage de la commande sum : pour un tableau

, les deux instructions sum(

, '

') et sum(

, '

') retournent respectivement les tableaux

de tailles (size) respectives (

) et (

).
11.b) À l'aide de la commande histplot, on a tracé les histogrammes des échantillons obtenus pour les couples

À quels couples correspondent les figures suivantes ? (On pourra admettre que

Figure A

Figure C

Figure B

Figure D

Soit un entier . On suppose ici que et pour tout entier supérieur ou égal à 1 , on pose

a) Rappeler (sans démonstration) la loi de la variable aléatoire ainsi que son espérance et sa variance.
12.b) Démontrer que est un estimateur régulier de .

NB : Pour établir la propriété (

), on admettra que la série est absolument convergente.
En déduire que

12.c) Dans cette question, on suppose que

. Calculer la variance de

et démontrer que la suite d'estimateurs de

est convergente.
12.d) Pour un entier

quelconque, la suite

d'estimateurs de

est-elle convergente? (On pourra commencer par calculer, en fonction de l'entier

un équivalent de

lorsque

tend vers

Partie 4- Le cas

Le contexte et les notations sont ceux des parties 2 et 3.
Dans cette partie, on compare deux estimateurs du paramètre inconnu

.
13) Pour tout entier

supérieur ou égal à 1 , on pose

13.a) Démontrer que

est un estimateur régulier du paramètre

.
13.b) Que devient l'inégalité du 10.b) ?

On dit qu'un estimateur régulier de

est efficace lorsque sa variance est minimale parmi les estimateurs réguliers de

.
14) Soit

, un estimateur régulier de

. Pour tout réel

, on pose

14.a) Vérifier que

est un estimateur régulier de

pour tout

.
14.b) En déduire que

14.c) Exprimer

en fonction de

et de

. En déduire qu'un estimateur efficace de

est presque sûrement unique.
15) Pour tout entier

, on pose

15.a) Exprimer

en fonction de

et de

.
15.b) Démontrer que

est un estimateur sans biais de

.
15.c) Démontrer que

admet une variance (qu'on ne cherchera pas à calculer).
15.d) Étudier la convergence des deux suites d'estimateurs

du paramètre inconnu

On pourra démontrer que : si une suite réelle

converge vers

et si deux suites

de variables aléatoires convergent en probabilité vers les réels

respectivement, alors la suite de variables aléatoires

converge en probabilité vers le réel

.
16) On simule des échantillons de

réalisations des estimateurs

avec

. En comparant les figures suivantes, relier chaque histogramme à l'estimateur qui lui correspond.

Figure E

Figure F

Figure G

Fin de l'énoncé

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