BCE Maths approfondies HEC/ESSEC ECG 2024Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECG 2024

Pas encore noté

Explorer les annales

BanqueBCE Année2024 FilièreECG MatièreMathématiques

Annales BCE ECG Mathématiques BCE ECG 2024 ECG Mathématiques Mathématiques 2024

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé

Lire en ligne LaTeX Word

Rapport du jury : non disponible

Source du document : annales-prepa.fr

Description

Annale de maths approfondies BCE HEC/ESSEC pour la filiere ECG, session 2024.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

MATHÉMATIQUES APPROFONDIES

FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE VOIE GÉNÉRALE

Mercredi 24 avril 2024, de 14 h. à 18 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Notations

Dans tout le texte, on adopte les notations suivantes:

Si $A$ est un ensemble fini non vide, on note $#A$ le nombre d'éléments de $A$ . Si $A = \emptyset$ , on convient que $#A = 0$ .
Pour tout $n \in ℕ^*$ , on note $I_n$ la matrice identité de $M_n(ℝ)$ .
Pour tout $(n, m) \in ℕ^* \times ℕ^*$ et tout $(i, j) \in [ [1; n] ] \times [ [1; m] ]$ le coefficient sur la $i$ -ème ligne et la $j$ -ème colonne d'une matrice $A \in M_(n, m)(ℝ)$ est noté $A_(i, j)$ .
La transposée d'une matrice $A$ est notée $^t A$ . Lorsque $A = [a] \in M_1(ℝ)$ , où $a \in ℝ$ , on identifie $A$ au réel $a$ . Si $U \in M_(n, 1)(ℝ), n \in ℕ^*$ , on note $‖U‖$ sa norme euclidienne associée au produit scalaire canonique, c'est-à-dire

‖U‖^2 = ^t UU

Si $X$ est une variable aléatoire réelle, on note $𝔼(X)$ son espérance et $𝕍(X)$ sa variance, si elles existent.
Pour tout $n \in ℕ^*$ , on note $𝒪_n$ l'ensemble des matrices orthogonales de $M_n(ℝ)$ (on rappelle qu'une matrice $Q \in M_n(ℝ)$ est orthogonale si $^t QQ = I_n$ ).
Pour tout $n \in ℕ, ℝ_n[x]$ désigne l'espace des polynômes à coefficients dans $ℝ$ de degré inférieur ou égal à $n$ .
Pour tous $i \in ℕ$ et $k \in ℕ, δ_(i, k)$ désigne le symbole de Kronecker défini par : $δ_(i, k) = {1, si i = k,; 0, si i ≠ k.$
On note dans tout le problème $‖x‖$ la norme d'un vecteur $x$ , la nature du vecteur entre les doubles barres suffisant à préciser de quelle norme il s'agit.

Pour tout

n \in ℕ^*

, on adopte les deux définitions suivantes tout au long de l'énoncé :

On dit qu'une matrice $P \in M_n(ℝ)$ est une matrice de permutation s'il existe une bijection $σ$ de $[ [1; n] ]$ dans $[ [1; n] ]$ telle que $\forall(i, j) \in [ [1; n] ]^2, P_(i, j) = δ_(i, σ(j))$ .
On dit qu'une matrice est de Hadamard si elle est carrée, si tous ses coefficients appartiennent à ${ - 1, 1}$ et si ses vecteurs colonnes sont deux à deux orthogonaux.

L'énoncé comporte trois parties essentiellement indépendantes.
Le mot FIN marque la fin de l'énoncé.

Partie I : existence des matrices de Hadamard.

Soit

n \in ℕ

tel que

n ⩾ 2

.
On suppose dans toute cette partie I qu'il existe une matrice de Hadamard

H \in M_n(ℝ)

. On note

c_1, \dots, c_n \in M_(n, 1)(ℝ)

ses vecteurs colonnes et

ℓ_1, \dots, ℓ_n \in M_(1, n)(ℝ)

ses vecteurs lignes.

Soit $P \in M_n(ℝ)$ une matrice de permutation. Montrer que $P$ est orthogonale et que $^t P$ est aussi une matrice de permutation.
Soit $Q \in M_n(ℝ)$ . Montrer l'équivalence suivante

Q est une matrice de Hadamard \Leftrightarrow ^t QQ = nI_n et \forall(i, j) \in [ [1; n] ]^2 Q_(i, j)^2 = 1.

Montrer que $^t H$ est une matrice de Hadamard.
Soit $D \in M_n(ℝ)$ une matrice diagonale ne comportant que les valeurs -1 et 1 sur sa diagonale et $P \in M_n(ℝ)$ une matrice de permutation. Montrer que $PH, DH$ , $HP$ et $HD$ sont toutes des matrices de Hadamard.
En déduire qu'il existe une matrice de Hadamard de taille $n \times n$ dont la première ligne est $(1, \dots, 1)$ .
En déduire que $n$ est pair.
Soit $S \in M_n(ℝ)$ une matrice de Hadamard telle que $\forallj \in [ [1; n] ], S_(1, j) = 1$ . Montrer que

\forall(i, m) \in [ [2; n] ]^2 tels que i \neq m \sum_(k = 1)^n(S_(i, k) + 1)(S_(m, k) + 1) = n

En déduire que soit $n = 2$ soit $n$ est un multiple de 4 .
Dans le cas où $n > 2$ , montrer qu'il existe une matrice de Hadamard de taille $n \times n$ dont les trois premières lignes sont de la forme

(1, \dots, 1, 1, \dots, 1, 1, \dots, 1, 1, \dots, 1; 1, \dots, 1, 1, \dots, 1, - 1, \dots, - 1, - 1, \dots, - 1; 1, \dots, 1, - 1, \dots, - 1, 1, \dots, 1, - 1, \dots, - 1; ⋮, \dots, ⋮, ⋮, \dots, ⋮, ⋮, \dots, ⋮, ⋮, \dots, ⋮; ⋮, \dots, ⋮, ⋮, \dots, ⋮, ⋮, \dots, ⋮, ⋮, \dots, ⋮)

(on ne demande pas dans cette question de montrer que les quatre blocs verticaux comportent le même nombre de colonnes).
Indication : on peut observer que la permutation de certaines colonnes (ou la multiplication par -1 de certaines colonnes) dans une matrice de Hadamard donne encore une matrice de Hadamard, d'après la question 4 ci-dessus.
10. Montrer que les quatre blocs de la matrice de Hadamard de la question précédente comportent le même nombre de colonnes et en déduire à nouveau que

n

est nécessairement divisible par 4.
11. Pour toutes matrices

A \in M_n(ℝ)

B \in M_k(ℝ)

où

n ⩾ 1

k ⩾ 1

, on note

A \otimes B

la matrice appartenant à

M_(kn)(ℝ)

définie bloc par bloc comme suit

A \otimes B = (A_(1, 1)B, \dots, A_(1, n)B; A_(2, 1)B, \dots, A_(2, n)B; ⋮, ⋮, ⋮; A_(n, 1)B, \dots, A_(n, n)B),

(ainsi, chacun des blocs

A_(i, j)B

est de taille

k \times k

).
Montrer que si

A

B

sont des matrices de Hadamard, alors

A \otimes B

l'est aussi.
12. Montrer que pour tout

m \in ℕ^*

, il existe une matrice de Hadamard dans

M_(2^m)(ℝ)

.
13. La fonction test_hadamard() ci-dessous est écrite en PYTHON. Elle est incomplète et a comme paramètre d'entrée une matrice

M

de coefficients entiers représentée par un tableau bidimensionnel (de type array)
Compléter les parties soulignées en pointillé afin que la fonction test_hadamard()

renvoie la valeur -2 si la matrice M n'est pas carrée,
renvoie la valeur -1 si la matrice M est carrée mais au moins l'un de ses coefficients n'appartient pas à ${ - 1, 1}$ ,
renvoie la valeur 0 si la matrice M est carrée et ses coefficients appartiennent tous à ${ - 1, 1}$ mais $M$ n'est pas une matrice de Hadamard,
renvoie la valeur 1 si M est une matrice de Hadamard.

On reproduira sur la copie le programme après l'avoir complété.

import numpy as np
def test_hadamard(M):
    n, p = np.shape(M)
    if _________-_:
        return -2
    else:
        for i in range(0, ____):
            for j in range(0, ____):
                if _-_------------------------ != 1 :
                    return -1
        for j in range(0, _____):
            for k in range(____-_, n):
                if np.dot(__-_-_-------------------) != 0:
                        return 0
    return 1

On voudrait maintenant écrire en PYTHON une fonction rand_hadam() qui cherche une matrice de Hadamard dont les coefficients de la première ligne sont tous égaux à 1 (ainsi, chacune des autres lignes comporte autant de 1 que de -1 ) et de taille $4 m \times 4 m$ où m est un entier donné en paramètre. Cette fonction a aussi un autre paramètre d'entrée Nmax désignant le nombre maximal de matrices à tester. On procède comme suit :
(a) On construit aléatoirement une matrice ne contenant que des -1 et 1 comme coefficients de la manière suivante : pour chaque ligne (à partir de la deuxième ligne), on choisit successivement et aléatoirement les coefficients dans l'ensemble ${ - 1, 1}$ jusqu'à ce que le nombre de la valeur 1 ou le nombre de la valeur -1 dans la ligne atteint $n/2 = 2m$ . Si le nombre de coefficients égaux à 1 (respectivement -1 ) dans la ligne atteint $n/2$ , on attribue à tous les coefficients restants de la ligne la valeur -1 (respectivement +1 ).
(b) En utilisant la fonction test_hadamard() on teste si la matrice ainsi construite est de Hadamard. Si oui, la fonction renvoie cette matrice. Sinon, on refait la construction d'une matrice de la même manière que dans (a) et cela autant de fois que nécessaire jusqu'à l'obtention d'une matrice de Hadamard, sans toutefois dépasser un nombre maximal de matrices testées désigné ici par Nmax. Si ce nombre maximal est atteint sans trouver une matrice de Hadamard, la fonction rand_hadam() renvoie la matrice nulle de taille $4 m \times 4 m$ .
Compléter les parties soulignées en pointillé de la fonction rand_hadam() ci-dessous. On reproduira sur la copie le programme après l'avoir complété (sans les commentaires).

import numpy.random as rd
def rand_hadam(m, Nmax):
    n = 4*m
    for tst in range(0, Nmax):
        matpm = np.ones((n, n), dtype = int)
        for i in range(______, n):
            nb_un = 0
            j = 0
            while 2*nb_un < n and ___-_-_-_-_-__ n :
                val = rd.randint (0,2)
                nb_un +=
                matpm[i, j] = 2*val - 1
                j =
            if (2*nb_un == n):
                for k in range(j, n):
                    matpm[i, k] =
        if (test_hadamard(matpm) == 1):
            return
    return np.zeros((n, n), dtype = int)

Partie II : variables aléatoires deux à deux indépendantes sur un espace probabilisé fini.

Soit (

Ω, P(Ω), ℙ

) un espace probabilisé où

Ω

désigne un univers fini,

P(Ω)

l'ensemble des parties de

Ω

ℙ

une probabilité. On pose

Ω = {ω_1, ⋯, ω_n}

où l'entier

n, n ⩾ 2

, désigne ici et dans la suite de cette partie le nombre d'éléments de

Ω

. On suppose que

ℙ(A) \neq 0

pour tout

A \subset Ω

non vide et on pose

∀i ∈ [ [1; n] ] p_i = ℙ({ω_i}).

Toutes les variables aléatoires considérées dans la suite de cette partie II sont définies sur cet espace probabilisé. On suppose qu'il existe un entier naturel

ℓ ⩾ 2

et des variables aléatoires réelles

Z_1, \dots, Z_ℓ

vérifiant les deux propriétés suivantes

$\forall(i, j) \in [ [1; ℓ] ]^2$ avec $i \neq j, Z_i$ et $Z_j$ sont indépendantes (autrement dit, $Z_1, \dots, Z_ℓ$ sont deux à deux indépendantes),
$- \foralli \in [ [1; ℓ] ], #Z_i(Ω) ⩾ 2$ .
Pour tout $i \in [ [1; ℓ] ]$ , on pose $z_i = (Z_i(ω_1), \dots, Z_i(ω_n)) \in ℝ^n$
Dans toute la suite, pour tous vecteurs $u = (u_1, \dots, u_n) \in ℝ^n$ et $v = (v_1, \dots, v_n) \in ℝ^n$ on note

⟨u; v⟩ = \sum_(k = 1)^n p_k u_k v_k

On pose dans la suite

u_0 = (1, \dots, 1) \in ℝ^n

.
15. Montrer que l'application

(x, y) \in ℝ^n \times ℝ^n \mapsto ⟨x; y⟩

est un produit scalaire sur

ℝ^n

.
16. Soit

i \in [ [1; ℓ] ]

. Montrer qu'il existe un et un seul couple

(a_i, b_i) \in ℝ_+^* \times ℝ

vérifiant

𝔼(a_i Z_i + b_i) = 0 et 𝕍(a_i Z_i + b_i) = 1

Dans la suite de cette partie, on pose pour tout

i \in [ [1; ℓ] ] : X_i = a_i Z_i + b_i

x_i = (X_i(ω_1), \dots, X_i(ω_n)) \in ℝ^n

, où le couple (

a_i, b_i

) est celui de la question 16.
17. Soient

V

W

deux variables aléatoires réelles sur

Ω

On pose

v = (V(ω_1), \dots, V(ω_n)) \in ℝ^n, w = (W(ω_1), \dots, W(ω_n)) \in ℝ^n

. Montrer que

𝔼(V) = ⟨v; u_0⟩ et 𝔼(VW) = ⟨v; w⟩.

En déduire les relations pour tout $(i, j) \in [ [1; ℓ] ]^2$ tels que $i \neq j$

⟨x_i; u_0⟩ = 0, ⟨x_i; x_i⟩ = 1 et ⟨x_i; x_j⟩ = 0

En déduire que

3 ⩽ ℓ + 1 ⩽ n

Soit $Z$ une variable aléatoire réelle d'espérance nulle. On pose $z = (Z(ω_1), \dots, Z(ω_n)) \in ℝ^n$ . On suppose que $Z(Ω) = {α_1, ⋯, α_m}$ où $m = #Z(Ω) > 2$ .
(a) Montrer qu'il existe des $m$ réels $β_1, \dots, β_m$ non tous nuls tels que

\sum_(k = 1)^m ℙ(Z = α_k)β_k = 0 et \sum_(k = 1)^m ℙ(Z = α_k)α_k β_k = 0

(b) Montrer que l'application

T : Q \in ℝ_(m - 1)[x] \mapsto (Q(α_1), \dots, Q(α_m)) \in ℝ^m

est un isomorphisme de

ℝ_(m - 1)[x]

dans

ℝ^m

.
(c) En déduire qu'il existe un polynôme

Q

de degré inférieur ou égal à

m - 1

tel que

𝔼(Q(Z)) = 0, 𝔼(Q(Z)Z) = 0, et Q(Z)(Ω) \neq {0}

On pose $r = #{i ∈ [ [1, ℓ] ]|#X_i(Ω) > 2}$ .
(a) Montrer que

ℓ + r ⩽ n - 1.

(b) En déduire que

r ⩽ (n - 1)/2.

On suppose de plus dans cette question que $ℓ = n - 1$ (on rappelle que nécessairement $n ⩾ 3$ ). On considère la matrice carrée réelle $M$ de taille $n \times n$ dont les coefficients sont définis par

\forall(i, j) \in [ [1; n - 1] ] \times [ [1; n] ] M_(i, j) = X_i(ω_j) et M_(n, j) = 1,

On considère aussi la matrice diagonale

D \in M_n(ℝ)

définie par

\foralli \in [ [1; n] ]D_(i, i) = \sqrt(p_i)

.
(a) Montrer que :

\foralli \in [ [1; n - 1] ] #X_i(Ω) = 2

.
(b) Soit

i \in [ [1; n - 1] ]

Soient

α_i

β_i

deux réels tels que

X_i(Ω) = {α_i, β_i}

α_i > β_i

et soit

θ_i \in ]0, 1[

tel que

ℙ(X_i = α_i) = θ_i et ℙ(X_i = β_i) = 1 - θ_i.

Montrer les deux relations :

α_i = \sqrt((1 - θ_i)/(θ_i)), β_i = - 1/(α_i)

MD

est orthogonale.
(d) Soit

Y

la variable aléatoire définie par

\forallj \in [ [1; n] ] Y(ω_j) = 1/(p_j)

. Montrer que

Y = 1 + \sum_(k = 1)^(n - 1)X_k^2

(e) En déduire que pour tout

i \in [ [1; n - 1] ]

𝔼(X_i^3) = \sum_(k = 1)^n X_i(ω_k)

(f) On reprend les notations de la question 22b et on pose

∀i ∈ [ [1; n − 1] ] m_i = #{k ∈ [ [1, n] ]|X_i(ω_k) = α_i}.

Montrer que les trois affirmations suivantes sont nécessairement vraies:
(A1) pour tout

i \in [ [1; n - 1] ], α_i = \sqrt((n - m_i - 1)/(m_i - 1))

θ_i = (m_i - 1)/(n - 2)

.
(A2)

n ⩾ 4

,
(A3)

2 ⩽ m_i ⩽ n - 2

,
(g) On suppose dans cette question que pour tout

i \in [ [1; n] ] p_i = 1/n

Montrer les deux assertions suivantes :
(a)

n

est nécessairement pair et

θ_i = 1/2

.
(b)

M

est une matrice de Hadamard.

Partie III : deux propriétés des matrices de Hadamard

Soit

n ⩾ 3

un entier naturel. On considère la fonction

F : {M_n(ℝ), → ℝ; A, ↦, ∑_(i = 1)^n∑_(j = 1)^n|A_(i, j)|

Pour toute matrice

A \in M_n(ℝ)

, on note

𝕊(A)

la matrice appartenant à

M_n(ℝ)

définie par

\forall(i, j) \in [ [1; n] ]^2 𝕊(A)_(i, j) = sgn(A_(i, j))

où

sgn

est la fonction signe définie par :

sgn(x) = 1

x ⩾ 0

sgn(x) = - 1

x < 0

.
On considère le produit scalaire

⟨.; ⟩

défini sur

M_n(ℝ)

par :

\forallA, B \in M_n(ℝ), ⟨A; B⟩ = \sum_(i = 1)^n\sum_(j = 1)^n A_(i, j)B_(i, j)

ainsi que la norme associée ||.| définie par

\forallA \in M_n(ℝ), ‖A‖ = \sqrt(⟨A; A⟩) = \sqrt(\sum_(i = 1)^n\sum_(j = 1)^n A_(i, j)^2⎷)

On note

φ

l'application définie

φ : {ℝ^(n^2), → M_n(ℝ); (x_1, ⋯, x_(n^2)), ↦ [x_((i − 1)n + j)]_((i, j) ∈ [ [1; n] ]^2)

ℝ^(n^2)

est un espace euclidien muni du produit scalaire canonique.
23. Montrer que

φ

est une application linéaire de

ℝ^(n^2)

dans

M_n(ℝ)

et que

\forallx \in ℝ^(n^2), ‖φ(x)‖ = ‖x‖.

Montrer que pour tout $A \in M_n(ℝ)$ , on a $‖A‖^2 = Tr(^t AA)$ .
Montrer que pour tout $A \in M_n(ℝ)$ , on a

\sum_(i = 1)^n(\sum_(j = 1)^n A_(i, j)^2)^(1/2) ⩽ F(A) ⩽ n(\sum_(i = 1)^n\sum_(j = 1)^n A_(i, j)^2)^(1/2)

On pose $𝒦_n = {x ∈ ℝ^(n^2)|φ(x) ∈ 𝒪_n}$ . Montrer que $𝒦_n$ est un fermé borné de $ℝ^(n^2)$ .
Montrer que

\forallx \in ℝ^(n^2), \forally \in ℝ^(n^2), |F(φ(x)) - F(φ(y))| ⩽ n‖x - y‖.

En déduire que $F$ admet un minimum global et un maximum global (atteints) sur $𝒪_n$ .

Dans toute la suite, on note

M_n^-

(respectivement

M_n^+

) la valeur minimale (respectivement maximale) de

F

sur

𝒪_n

M_n^- = min_(Q \in 𝒪_n)F(Q), M_n^+ = max_(Q \in 𝒪_n)F(Q)

Montrer que $M_n^- = n$ .
Trouver toutes les matrices $Q \in 𝒪_n$ qui vérifient $F(Q) = n$ .
Montrer que pour toute matrice $Q \in 𝒪_n$ on a :

F(Q) = n\sqrtn - (\sqrtn)/2‖Q - 1/(\sqrtn)𝕊(Q)‖^2.

En déduire que $M_n^+ ⩽ n\sqrtn$ .

Montrer que l'égalité est réalisée si et seulement s'il existe au moins une matrice de Hadamard dans

M_n(ℝ)

.
33. En déduire que si

n

n'est pas un multiple de 4 alors

M_n^+ < n\sqrtn

.
34. On suppose dans cette question que

n = 3

. Pour tous réels

α

β

on pose

U(α, β) = [α, β, β; β, α, - β; - β, β, - α].

Trouver tous les couples

(α, β)

pour lesquels

U(α, β) \in 𝒪_3

et en déduire un encadrement de

M_3^+

(on note que

3\sqrt3 \approx 5, 196152

).
35. On suppose dans cette question que

n

est pair.
(a) Soit

x = (x_1, \dots, x_n)

y = (y_1, \dots, y_n)

deux vecteurs de

ℝ^n

tels que

\foralli \in [ [1; n] ] |x_i| = |y_i| = 1

⟨x; y⟩ \neq 0

. Montrer que

|⟨x; y⟩| ⩾ 2

.
(b) Soit

x, y, u

v

quatre vecteurs de

ℝ^n

. Montrer que

|⟨x; y⟩ - ⟨u; v⟩| ⩽ \sqrt(2(‖y‖^2‖x - u‖^2 + ‖u‖^2‖y - v‖^2))

Q \in 𝒪_n

telle que

𝕊(Q)

n'est pas de Hadamard. Montrer que

‖Q - 1/(\sqrtn)𝕊(Q)‖^2 ⩾ 2/(n^2)

(d) En déduire que s'il n'existe aucune matrice de Hadamard dans

M_n(ℝ)

, alors

M_n^+ ⩽ n\sqrtn - 1/(n\sqrtn)

FIN

Pas de description pour le moment

Commentaires• BCE Maths approfondies HEC/ESSEC ECG 2024

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...