MATHÉMATIQUES APPROFONDIES

Notations

• Si est un ensemble fini non vide, on note le nombre d'éléments de . Si , on convient que .
• Pour tout , on note la matrice identité de .
• Pour tout et tout le coefficient sur la -ème ligne et la -ème colonne d'une matrice est noté .
• La transposée d'une matrice est notée . Lorsque , où , on identifie au réel . Si , on note sa norme euclidienne associée au produit scalaire canonique, c'est-à-dire

• Si est une variable aléatoire réelle, on note son espérance et sa variance, si elles existent.
• Pour tout , on note l'ensemble des matrices orthogonales de (on rappelle qu'une matrice est orthogonale si ).
• Pour tout désigne l'espace des polynômes à coefficients dans de degré inférieur ou égal à .
• Pour tous et désigne le symbole de Kronecker défini par :
• On note dans tout le problème la norme d'un vecteur , la nature du vecteur entre les doubles barres suffisant à préciser de quelle norme il s'agit.

• On dit qu'une matrice est une matrice de permutation s'il existe une bijection de dans telle que .
• On dit qu'une matrice est de Hadamard si elle est carrée, si tous ses coefficients appartiennent à et si ses vecteurs colonnes sont deux à deux orthogonaux.

Partie I : existence des matrices de Hadamard.

1. Soit une matrice de permutation. Montrer que est orthogonale et que est aussi une matrice de permutation.
2. Soit . Montrer l'équivalence suivante

3. Montrer que est une matrice de Hadamard.
4. Soit une matrice diagonale ne comportant que les valeurs -1 et 1 sur sa diagonale et une matrice de permutation. Montrer que , et sont toutes des matrices de Hadamard.
5. En déduire qu'il existe une matrice de Hadamard de taille dont la première ligne est .
6. En déduire que est pair.
7. Soit une matrice de Hadamard telle que . Montrer que

8. En déduire que soit soit est un multiple de 4 .
9. Dans le cas où , montrer qu'il existe une matrice de Hadamard de taille dont les trois premières lignes sont de la forme

• renvoie la valeur -2 si la matrice M n'est pas carrée,
• renvoie la valeur -1 si la matrice M est carrée mais au moins l'un de ses coefficients n'appartient pas à ,
• renvoie la valeur 0 si la matrice M est carrée et ses coefficients appartiennent tous à mais n'est pas une matrice de Hadamard,
• renvoie la valeur 1 si M est une matrice de Hadamard.

import numpy as np
def test_hadamard(M):
    n, p = np.shape(M)
    if _________-_:
        return -2
    else:
        for i in range(0, ____):
            for j in range(0, ____):
                if _-_------------------------ != 1 :
                    return -1
        for j in range(0, _____):
            for k in range(____-_, n):
                if np.dot(__-_-_-------------------) != 0:
                        return 0
    return 1

14. On voudrait maintenant écrire en PYTHON une fonction rand_hadam() qui cherche une matrice de Hadamard dont les coefficients de la première ligne sont tous égaux à 1 (ainsi, chacune des autres lignes comporte autant de 1 que de -1 ) et de taille où m est un entier donné en paramètre. Cette fonction a aussi un autre paramètre d'entrée Nmax désignant le nombre maximal de matrices à tester. On procède comme suit :
    (a) On construit aléatoirement une matrice ne contenant que des -1 et 1 comme coefficients de la manière suivante : pour chaque ligne (à partir de la deuxième ligne), on choisit successivement et aléatoirement les coefficients dans l'ensemble jusqu'à ce que le nombre de la valeur 1 ou le nombre de la valeur -1 dans la ligne atteint . Si le nombre de coefficients égaux à 1 (respectivement -1 ) dans la ligne atteint , on attribue à tous les coefficients restants de la ligne la valeur -1 (respectivement +1 ).
    (b) En utilisant la fonction test_hadamard() on teste si la matrice ainsi construite est de Hadamard. Si oui, la fonction renvoie cette matrice. Sinon, on refait la construction d'une matrice de la même manière que dans (a) et cela autant de fois que nécessaire jusqu'à l'obtention d'une matrice de Hadamard, sans toutefois dépasser un nombre maximal de matrices testées désigné ici par Nmax. Si ce nombre maximal est atteint sans trouver une matrice de Hadamard, la fonction rand_hadam() renvoie la matrice nulle de taille .
    Compléter les parties soulignées en pointillé de la fonction rand_hadam() ci-dessous. On reproduira sur la copie le programme après l'avoir complété (sans les commentaires).

import numpy.random as rd
def rand_hadam(m, Nmax):
    n = 4*m
    for tst in range(0, Nmax):
        matpm = np.ones((n, n), dtype = int)
        for i in range(______, n):
            nb_un = 0
            j = 0
            while 2*nb_un < n and ___-_-_-_-_-__ n :
                val = rd.randint (0,2)
                nb_un +=
                matpm[i, j] = 2*val - 1
                j =
            if (2*nb_un == n):
                for k in range(j, n):
                    matpm[i, k] =
        if (test_hadamard(matpm) == 1):
            return
    return np.zeros((n, n), dtype = int)

Partie II : variables aléatoires deux à deux indépendantes sur un espace probabilisé fini.

• avec et sont indépendantes (autrement dit, sont deux à deux indépendantes),
  .
  Pour tout , on pose
  Dans toute la suite, pour tous vecteurs et on note

18. En déduire les relations pour tout tels que

19. En déduire que

20. Soit une variable aléatoire réelle d'espérance nulle. On pose . On suppose que où .
    (a) Montrer qu'il existe des réels non tous nuls tels que

21. On pose .
    (a) Montrer que

22. On suppose de plus dans cette question que (on rappelle que nécessairement ). On considère la matrice carrée réelle de taille dont les coefficients sont définis par

Partie III : deux propriétés des matrices de Hadamard

24. Montrer que pour tout , on a .
25. Montrer que pour tout , on a

26. On pose . Montrer que est un fermé borné de .
27. Montrer que

28. En déduire que admet un minimum global et un maximum global (atteints) sur .

29. Montrer que .
30. Trouver toutes les matrices qui vérifient .
31. Montrer que pour toute matrice on a :

32. En déduire que .

FIN