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BCE Maths approfondies HEC/ESSEC ECS 2020

Epreuve de maths approfondies - ECS 2020

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Equations différentiellesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesProbabilités finies, discrètes et dénombrementAlgèbre linéaireTopologie/EVN
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BCE
Année
2020
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
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Description

Annale de maths approfondies BCE HEC/ESSEC pour la filiere ECS, session 2020.

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Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

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Conceptions : HEC Paris - ESSEC BS

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHÉMATIQUES

Mardi 28 avril 2020, de 14 h. à 18 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Les équations étudiées dans ce problème sont utilisées en sciences sociales et en théorie dynamique des jeux pour décrire des processus influencés par un facteur d'imitation.
Les quatre parties du problème sont largement indépendantes.

Partie I : résolution d'une équation différentielle scalaire

Dans cette partie, désigne un nombre réel, et on détermine les fonctions à valeurs dans , définies et dérivables sur , qui vérifient :
  1. On note l'application définie sur par :
a) Justifier que la limite à droite de la fonction en 0 est nulle. Quelle est la limite à gauche de la fonction en 0 ?
b) Démontrer qu'il existe un polynôme , que l'on précisera, tel que :
c) Dresser le tableau de variations de la fonction et donner l'allure de sa représentation graphique dans un repère orthonormé.
2. Soit l'application de dans définie par :
a) Justifier que l'application est bijective.
b) L'application est-elle de classe sur [ 0,1 [?
c) L'application est-elle de classe sur ?
d) Donner un script Scilab fournissant une représentation graphique de .
3. a) Démontrer que, pour toute fonction de classe sur , à valeurs dans , la fonction composée est de classe sur et exprimer sa dérivée à l'aide de et de .
b) Démontrer que, pour tout réel , l'unique fonction définie et dérivable sur , à valeurs dans [ vérifiant (1) et est la fonction donnée par :
  1. Dans cette question, est supposé strictement positif et est un élément de .
    a) Démontrer que la fonction est monotone. Quelles en sont les limites en et ?
    b) Donner une expression de la dérivée seconde à l'aide de et . En déduire que la courbe représentative de admet un unique point d'inflexion.
    c) Trouver l'ensemble de ces points d'inflexion lorsque a décrit l'intervalle . Que peuton dire des tangentes aux courbes représentatives des fonctions en ces points?

Partie II : étude d'une fonction de deux variables

Dans cette partie, on considère la fonction définie sur l'ouvert de par :
  1. a) Justifier que est de classe sur .
    b) Calculer la dérivée partielle .
    c) Étudier le signe de et en déduire que la fonction admet un minimum global, égal à 0 .
    d) La fonction est-elle majorée?
  2. Pour tout , on note la forme quadratique associée à la matrice hessienne .
    a) Calculer les dérivées partielles d'ordre deux de .
    b) Justifier, pour tout , l'inégalité : .
  3. Pour un élément de , on note : .
    a) En utilisant une formule de Taylor, établir l'égalité :
b) En déduire l'inégalité :
  1. a) Écrire un script Scilab permettant de donner une représentation graphique de la fonction .
    b) La figure suivante représente des lignes de niveau de la fonction .
Chaque ligne de niveau présente un centre de symétrie. Lequel et pourquoi?

Partie III : divergence de Kullback

Dans cette partie, et désignent deux probabilités distinctes sur l'espace probabilisable ( ) telles que :
Pour toute variable aléatoire sur , on note :
sous réserve que cette somme ait un sens.
9. Un exemple
Dans cette question (et seulement dans cette question), et sont deux réels strictement positifs distincts, et on suppose que la variable aléatoire suit la loi de Poisson de paramètre pour la probabilité , la loi de Poisson de paramètre pour la probabilité .
a) Justifier l'existence de et vérifier l'égalité:
b) Préciser le signe de et prouver que est négligeable devant lorsque tend vers .
10. Dans cette question, désigne une fonction à valeurs réelles, de classe et convexe sur . Soit une variable aléatoire discrète strictement positive, définie sur un espace probabilisé ( ). On suppose que les deux variables aléatoires et admettent chacune une espérance.
a) Justifier que l'espérance est strictement positive.
b) Pour tout , comparer les deux nombres et .
c) En déduire l'inégalité :
d) En utilisant la concavité de la fonction ln et l'inégalité (8), démontrer que, lorsqu'il existe, le réel est positif ou nul.
Dans les questions 11 et 12, on suppose que l'ensemble est fini.
11. Soit une application de dans . On note la variable aléatoire sur ( ) définie par :
a) Pour tout , on note l'ensemble des réels tels que .
Établir l'égalité :
b) En déduire l'inégalité :
  1. Soit l'ensemble des réels pour lesquels est inférieur ou égal à .
    a) Justifier que et sont strictement compris entre 0 et 1 , et démontrer que :
b) Vérifier que, si est la variable aléatoire sur définie par :
alors , où est la fonction de deux variables définie dans la partie II par (5).
c) Déduire des résultats précédents l'inégalité :

Partie IV : trajectoires d'une équation différentielle vectorielle.

Dans cette partie, on s'intéresse au comportement asymptotique de fonctions qui vérifient une équation qui généralise (1), dans un contexte multidimensionnel.
Pour un entier donné, supérieur ou égal à 2 , on note ( ) la base canonique de et , le produit scalaire usuel sur , pour lequel la base ( ) est orthonormée.
On considère une matrice carrée et une application de dans , dont les composantes sont des fonctions dérivables sur qui vérifient :
où est le vecteur de dont la matrice-colonne dans la base canonique est .
13. Soit une fonction continue sur , à valeurs réelles et une primitive de sur . On considère une fonction définie et dérivable sur vérifiant :
a) Calculer la dérivée de la fonction .
b) En déduire que si est nul, alors est nul pour tout . Que peut-on dire du signe de la fonction si n'est pas nul?
14. a) En appliquant ce qui précède à la fonction , justifier que :
b) Justifier que, pour tout réel et tout entier est strictement positif.
On note :
On suppose désormais qu'il existe un vecteur tel que :
où est le vecteur de dont la matrice-colonne dans la base canonique est .
On note la fonction définie sur l'ouvert de par :
  1. a) En utilisant le résultat de la question 12, justifier que :
b) Justifier que la fonction composée est de classe et exprimer sa dérivée à l'aide de et .
c) En déduire que admet une limite en , que l'on notera .
16. Pour tout , établir les inégalités:
  1. On suppose dans cette question qu'il existe un réel strictement positif tel que:
a) Établir, pour tout , l'inégalité :
b) Justifier que, pour tout réel strictement positif , il existe tel que :
c) En raisonnant par l'absurde, montrer que la limite de en est nulle et en déduire que:
  1. Un exemple
On note la matrice-colonne de dont tous les coefficients sont égaux à 1 .
On suppose que
où est un nombre réel strictement négatif, la matrice-identité de et une matrice antisymétrique de telle que :
a) Justifier que le vecteur vérifie (12).
b) Démontrer que la fonction est croissante.
c) Justifier que, pour tout tend vers quand tend vers .

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