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BCE Maths approfondies HEC ECS 2000

Epreuve de maths approfondies - ECS 2000

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Topologie/EVNAlgèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementGéométrieCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
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BCE
Année
2000
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2000ECS MathématiquesMathématiques 2000

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Annale de maths approfondies BCE HEC pour la filiere ECS, session 2000.

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ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES

CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES I

Jeudi 18 Mai 2000, de 8h. à 12h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Ce problème a pour objet l'étude des points en lesquels une application linéaire de dans atteint son maximum sur l'ensemble des solutions d'un système d'inéquations linéaires.
Pour tout entier strictement positif, on identifiera et .

Partie I. Préliminaires

On dit qu'une partie non vide de est majorée lorsqu'il existe un réel tel que
Un réel vérifiant ces inégalités s'appelle un majorant de ; on dit aussi que majore .
Dans ce qui suit on suppose que est une partie non vide et majorée de .
Soit un majorant de et un élément de . On définit les suites et par:
  1. On suppose, dans cette question seulement, que et que .
Déterminer ( ) pour tout entier appartenant à .
2) On revient désormais au cas général.
a) Montrer que: .
b) Montrer que les deux suites et sont adjacentes et convergent vers un réel .
c) Montrer que pour tout entier positif est un majorant de , puis que majore .
d) Montrer qu'il existe une suite d'éléments de qui converge vers .
e) On suppose que est un majorant de .
  • Montrer que .
  • En déduire que ne dépend pas des choix initiaux de et pourvu que appartienne à et que majore .
    Désormais, on notera le majorant de ainsi obtenu.

Partie II. Étude d'un exemple

On munit de sa norme euclidienne définie par pour tout appartenant à .
  1. On considère trois nombres réels , tels que . On définit alors les trois ensembles:
    et
    a) Montrer que est une partie ouverte de .
On pourra montrer, en utilisant la continuité de en un point appartenant à , qu'il existe une boule ouverte centrée en ( ) et incluse dans .
Il s'ensuit, mutatis mutandis, que _ est également une partie ouverte de , ce que l'on admettra.
b) Soit et deux éléments de . Montrer que, pour tout réel appartenant à , le couple appartient à .
c) On suppose que ( ) et ( ) appartiennent respectivement à et .
En considérant la fonction , montrer qu'il existe dans tel que appartient à .
2) Soit un entier strictement positif. On considère des parties non vides et ouvertes de .
a) On suppose dans cette sous-question que est non vide. Montrer que est une partie ouverte de .
Si ( ) est un élément de , on montrera qu'il existe un réel strictement positif tel que la boule de centre ( ) et de rayon soit incluse dans .
b) Montrer que est une partie ouverte de .
3) On note l'ensemble et et l'application définie sur par:
a) Représenter graphiquement dans un plan muni d'un repère orthonormé .
b) Montrer que est une partie fermée et bornée de .
c) Montrer que admet un maximum sur .
d) Ce maximum peut-il être atteint en un point de l'ensemble défini par:
e) Déterminer l'ensemble des points de où ce maximum est atteint.
4) On considère la matrice et la matrice colonne .
On note l'ensemble et .
a) Montrer que appartient à si et seulement si satisfont :
b) On considère l'élément appartenant à .
On munit de son produit scalaire canonique : . On considère également la fonction définie sur par:
  • Montrer que pour tout élément appartenant à .
  • Déterminer l'ensemble des points en lesquels atteint son maximum sur .

Partie III. Sommets et maximum

Désormais et désigneront des entiers strictement positifs.
On considère une matrice appartenant à , et deux matrices colonnes et appartenant respectivement à et .
Pour tout élément de et pour tout appartenant à , nous noterons sa -ième composante, et ainsi .
On dira qu'un élément de est positif et on écrira , lorsque toutes ses composantes sont positives.
On munit de son produit scalaire canonique : .
On considère l'ensemble et et l'application définie sur par :
On dit qu'un élément de est un sommet de lorsque :
Si est un élément de , on notera l'ensemble ; cet ensemble sera appelé le support de .
Enfin, on notera les colonnes de .
Toutes ces notations seront utilisées jusqu'à la fin du problème.
  1. Vérifier que si l'élément nul de appartient à , alors il est un sommet de .
  2. On revient au cas général et on suppose dans ce qui suit que est non vide et que atteint son maximum sur en . Ce maximum sera noté . Le but de ce qui va suivre est de construire un sommet de en lequel atteint son maximum. On suppose donc que n'est pas un sommet de et on considère deux éléments distincts appartenant à et un réel appartenant à tels que .
    a) Vérifier que et en déduire que le vecteur est orthogonal à .
Le vecteur étant non nul, il a au moins une composante non nulle et quitte à échanger et on peut supposer que le vecteur égal à admet une composante strictement négative. C'est ce que nous supposons désormais.
b) - Montrer que et .
  • Pour tout réel , calculer : .
  • Montrer que pour tout réel .
    c) Montrer que la famille est liée. On pourra considérer .
    d) On considère .
  • Montrer que est une partie non vide et majorée de .
  • Montrer que appartient à et que .
Le nombre a été défini dans la partie .
e) On suppose que,pour tout appartenant à , la -ième composante de la colonne égale à est non nulle.
En remarquant que pour tout appartenant à , justifier
l'existence d'un réel , strictement positif, tel que appartienne à .
En déduire que est strictement inclus dans .
f) Nous noterons désormais et nous supposons que n'est pas un sommet de .
En se servant des questions précédentes, montrer que l'on peut construire un élément de tel que et tel que soit strictement inclus dans .
g) Déduire de ce qui précède l'existence d'un sommet de en lequel atteint son maximum sur .

Partie IV. Existence du maximum de la fonction

Dans cette partie nous reprenons les mêmes notations que dans la partie précédente et nous noterons par aussi bien le produit scalaire canonique de deux vecteurs et de , que le produit scalaire canonique de deux vecteurs et de .
  1. Montrer qu'il existe une matrice appartenant à telle que :
  1. On note le rang de la matrice . On suppose d'une part que est non nul, et d'autre part que la famille ( ) est libre.
    On note l'espace vectoriel engendré par les colonnes de .
    a) Montrer que l'application est un isomorphisme de dans .
    b) Montrer qu'il existe un unique vecteur colonne appartenant à tel que, pour tout appartenant à , on a . On rappelle que représente la -ième composante du vecteur introduit dans le préambule de la partie III.
    c) Exprimer les composantes dans la base canonique de du vecteur colonne , à l'aide des produits scalaires .
    d) Dans cette sous-question on suppose en outre que : .
  • Soit un élément appartenant à , montrer que .
  • On suppose qu'il existe un vecteur appartenant à tel que .
Prouver que la fonction atteint son maximum sur en et que est un sommet de b.
3) Dans cette question et sont respectivement la matrice et le vecteur introduits dans la partie II.
a) Déterminer la valeur de .
b) Déterminer le vecteur .
c) Est-ce que ?
d) Retrouve-t-on les résultats de la partie II?
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