J-0
00m
00j
00h
00min
00s

BCE Maths approfondies HEC ECS 2005

Epreuve de maths approfondies - ECS 2005

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesIntégrales à paramètresSuites et séries de fonctionsProbabilités continuesStatistiques
RetourLire
Logo concours BCE - Voir tous les sujets BCE

Voir tous les sujets

Logo concours BCE
🔗 Explorer
Banque
BCE
Année
2005
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2005ECS MathématiquesMathématiques 2005

Téléchargements disponibles

Sujet et rapport

Télécharger le sujet →Rapport du jury → indisponible

Corrigés

Télécharger corrigé →

Lecture et formats

Lire en ligne →LaTeX →Word →

Description

Annale de maths approfondies BCE HEC pour la filiere ECS, session 2005.

Lecture web du sujet

Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

PDF
dcf3c74d-a4ca-4d61-b3a0-bef6cf8b8ddf

Concepteur : H.E.C.

OPTION : SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES I

Mercredi 18 Mai 2005, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

On rappelle que :

  • pour tout réel strictement positif, l'intégrale est convergente ;
  • la fonction est définie sur , et associe à tout réel strictement positif, le réel strictement positif ;
  • pour tout réel strictement positif, .
Pour tout entier naturel non nul, et pour toute fonction définie sur fois dérivable, on note la dérivée -ième de la fonction . Les dérivées première et seconde sont également notées et .
Dans les parties II et III du problème, désigne la fonction exponentielle. Les parties III et IV sont indépendantes.
Le problème a pour objet la mise en évidence de certaines propriétés de la fonction .

Partie I. Une expression de

  1. Soit un entier supérieur ou égal à 1 .
    a) Pour tout réel tel que , montrer que . En déduire, pour tout réel de l'intervalle , l'inégalité : .
    b) Étudier les variations de la fonction définie sur qui, à tout réel de associe :
Établir, pour tout réel de , l'inégalité :
c) Justifier, pour tout réel de , les inégalités :
En déduire que, pour tout réel strictement positif :
  1. a) Pour tout réel strictement positif et pour tout entier naturel non nul, montrer que les intégrales et sont convergentes.
    On pose alors et pour tout supérieur ou égal à .
    b) À l'aide d'une intégration par parties, montrer, pour tout de , l'égalité :
En déduire, pour tout de , la formule :
c) Montrer que, pour tout réel strictement positif :
En déduire que, pour tout réel strictement positif, , lorsque tend vers .
d) Pour tout de , on pose . Montrer que lorsque tend vers .

Partie II. Dérivabilité de la fonction et conséquences

  1. a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul, et pour tout réel strictement positif, l'intégrale est absolument convergente. On note la valeur de cette intégrale.
    b) Soit un segment de . Soit et deux éléments distincts de . Établir l'inégalité :
c) Montrer l'inégalité suivante :
En déduire que la fonction est dérivable en et que .
d) Établir que la fonction est dérivable sur et que .
On montrerait de même que la fonction est deux fois dérivable sur , et que . Ce résultat est admis dans toute la suite du problème.
2. Pour tout de , on pose .
a) Établir, pour tout entier supérieur ou égal à 2 , la double inégalité suivante : .
En déduire que, pour tout entier naturel non nul, on a .
b) Montrer que la suite est décroissante et convergente. On note sa limite.
3. a) Pour tout réel strictement positif, et pour tout entier strictement positif, montrer l'égalité :
b) On pose . Montrer que la suite est convergente. On note sa limite. Montrer la relation :
  1. a) Soit un réel strictement positif fixé. Montrer que la série de terme général , , est convergente.
    b) Justifier, pour tout réel strictement positif, l'égalité :
En déduire, pour tout réel strictement positif, la relation :
  1. Soit la fonction définie sur par .
Établir, pour tout réel strictement positif l'égalité : .
Déterminer un équivalent simple de lorsque tend vers . Justifier, pour tout entier supérieur ou égal à 2 , la formule :
  1. Pour tout entier supérieur ou égal à 1 , on considère la fonction définie sur par :
On désigne par la somme de la série de terme général .
a) Montrer que est deux fois dérivable sur . En particulier, exprimer pour tout réel strictement positif, et en fonction de et .
b) Soit un réel strictement positif fixé. Montrer que, pour tout entier supérieur ou égal à 1 , la série de terme général est absolument convergente.
Dans toute la suite du problème, on admet les deux résultats suivants : pour tout réel strictement positif on a
  1. Calculer en fonction de . En déduire la valeur de .
  2. On veut établir dans cette question que pour tout réel strictement positif, on a .
Soit un réel strictement positif fixé. On considère la fonction définie sur qui, à tout réel strictement positif, associe .
a) Montrer que sur est positive, strictement décroissante, et que l'intégrale est convergente.
b) En déduire la double inégalité : .
c) Établir l'inégalité : . Conclure.

Partie III. Estimation des paramètres d'une loi

On considère une variable aléatoire , qui suit une loi , les deux paramètres inconnus et étant des réels strictement positifs. Une densité de est donnée par :
Soit un entier supérieur ou égal à 2 . On considère un -échantillon i.i.d. ( ) de la loi de les variables aléatoires sont mutuellement indépendantes et de même loi que .
On désigne par , un -échantillon de réalisations des variables aléatoires , respectivement; les réels sont fixés, strictement positifs et non tous égaux.
Soit la fonction (appelée fonction de vraisemblance) définie sur à valeurs dans qui, à tout couple de réels strictement positifs, associe :
On pose .
  1. Montrer que la recherche du maximum de sur est équivalente à la recherche du maximum de sur ce même ensemble.
  2. a) Établir l'existence sur , des dérivées partielles d'ordre 1 et 2 de la fonction . Les calculer.
    b) Montrer que les éventuels points critiques ( ) vérifient le système ( ) d'équations suivant :

    dans lequel .
  3. On pose .
    a) Justifier, pour tout réel et différent de 1 , l'inégalité : . En déduire que .
    b) Soit la fonction définie sur par :
Étudier les variations de et dresser son tableau de variations.
c) Montrer que l'équation (2) admet sur une unique solution . En déduire que le système d'équations ( ) admet une unique solution .
4. Écrire la hessienne de au point .
En déduire qu'au point , la fonction admet un maximum local.
On peut démontrer qu'en ce point, on obtient en fait un maximum global de . On dit que le couple ( ) est une estimation du couple inconnu obtenue par la méthode du maximum de vraisemblance.

Partie IV. Estimateur sans biais de l'écart-type d'une loi normale centrée

Soit une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée et d'écart-type ; le paramètre réel inconnu est strictement positif.
  1. Montrer que la variable aléatoire suit une loi de paramètre . En déduire la valeur de .
  2. Pour entier naturel non nul, on considère un -échantillon i.i.d. (indépendant, identiquement distribué) de la loi de .
    a) On désigne par la variable aléatoire . Quelle est la loi de probabilité de ?
    b) En déduire que la variable aléatoire définie par , est un estimateur sans biais de .
  3. a) Montrer que l'espérance de , notée , vérifie : .
    b) Donner l'expression de en fonction de et .
    c) Montrer que la variable aléatoire définie par :
où a été défini dans la question I.2.d, est un estimateur sans biais du paramètre .
4. a) Calculer la variance de l'estimateur en fonction de et .
b) La suite d'estimateurs de converge-t-elle en probabilité vers ?

Pas de description pour le moment