BCE Maths approfondies HEC ECS 2005Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2005

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Annale de maths approfondies BCE HEC pour la filiere ECS, session 2005.

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Concepteur : H.E.C.

OPTION : SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES I

Mercredi 18 Mai 2005, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

On rappelle que :

pour tout réel $x$ strictement positif, l'intégrale $\int_0^(+ \infty)t^(x - 1)e^(- t)dt = \int_0^(+ \infty)e^((x - 1)lnt)e^(- t)dt$ est convergente ;
la fonction $Γ$ est définie sur $ℝ^(+ *)$ , et associe à tout réel $x$ strictement positif, le réel strictement positif $Γ(x) = \int_0^(+ \infty)t^(x - 1)e^(- t)dt$ ;
pour tout réel $x$ strictement positif, $Γ(x + 1) = xΓ(x)$ .

Pour tout entier naturel

k

non nul, et pour toute fonction

f

définie sur

ℝ^(+ *), k

fois dérivable, on note

f^((k))

la dérivée

k

-ième de la fonction

f

. Les dérivées première et seconde sont également notées

f^'

f^('')

Dans les parties II et III du problème,

exp

désigne la fonction exponentielle. Les parties III et IV sont indépendantes.

Le problème a pour objet la mise en évidence de certaines propriétés de la fonction

Γ

Partie I. Une expression de $Γ(x)$

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 1 .
a) Pour tout réel $u$ tel que $0 ⩽ u < 1$ , montrer que $ln(1 - u) ⩽ - u$ . En déduire, pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0, n]$ , l'inégalité : $(1 - t/n)^n ⩽ e^(- t)$ .
b) Étudier les variations de la fonction $φ$ définie sur $[0, \sqrtn[$ qui, à tout réel $t$ de $[0, \sqrtn[$ associe :

φ(t) = ln(1 - (t^2)/n) - t - nln(1 - t/n)

Établir, pour tout réel

t

[0, \sqrtn]

, l'inégalité :

(1 - (t^2)/n)e^(- t) ⩽ (1 - t/n)^n

c) Justifier, pour tout réel

t

[0, n]

, les inégalités :

e^(- t) - (t^2)/ne^(- t) ⩽ (1 - t/n)^n ⩽ e^(- t)

En déduire que, pour tout réel

x

strictement positif :

Γ(x) = lim_(n \to + \infty)\int_0^n(1 - t/n)^n t^(x - 1)dt

a) Pour tout réel $x$ strictement positif et pour tout entier naturel $n$ non nul, montrer que les intégrales $\int_0^1 y^(x - 1)dy$ et $\int_0^1 y^(x - 1)(1 - y)^n dy$ sont convergentes.
On pose alors $B_0(x) = \int_0^1 y^(x - 1)dy$ et pour tout $n$ supérieur ou égal à $1, B_n(x) = \int_0^1 y^(x - 1)(1 - y)^n dy$ .
b) À l'aide d'une intégration par parties, montrer, pour tout $n$ de $ℕ^*$ , l'égalité :

B_n(x) = (n!)/(x(x + 1)\dots(x + n))

En déduire, pour tout

n

ℕ

, la formule :

B_n(x) = (Γ(x) \times Γ(n + 1))/(Γ(x + n + 1))

c) Montrer que, pour tout réel

x

strictement positif :

Γ(x) = lim_(n \to + \infty)(n^x n!)/(x(x + 1)\dots(x + n))

En déduire que, pour tout réel

x

strictement positif,

Γ(x + n) \sim n^x(n - 1)!

, lorsque

n

tend vers

+ \infty

.
d) Pour tout

n

ℕ^*

, on pose

λ_n = (Γ(n/2))/(Γ((n + 1)/2))

. Montrer que

λ_n \sim \sqrt(2/n)

lorsque

n

tend vers

+ \infty

Partie II. Dérivabilité de la fonction $Γ$ et conséquences

a) Montrer que, pour tout entier naturel $k$ non nul, et pour tout réel $x$ strictement positif, l'intégrale $\int_0^(+ \infty)t^(x - 1)(lnt)^k e^(- t)dt$ est absolument convergente. On note $g_k(x)$ la valeur de cette intégrale.
b) Soit $[a, b]$ un segment de $ℝ^(+ *)$ . Soit $x_0$ et $x$ deux éléments distincts de $]a, b[$ . Établir l'inégalité :

|Γ(x) - Γ(x_0) - (x - x_0)g_1(x_0)| ⩽ ((x - x_0)^2)/2\int_0^(+ \infty)(lnt)^2(sup_(α \in [a, b])t^(α - 1))e^(- t)dt

c) Montrer l'inégalité suivante :

\int_0^(+ \infty)(lnt)^2(sup_(α \in [a, b])t^(α - 1))e^(- t)dt ⩽ \int_0^1(lnt)^2 t^(a - 1)e^(- t)dt + \int_1^(+ \infty)(lnt)^2 t^(b - 1)e^(- t)dt

En déduire que la fonction

Γ

est dérivable en

x_0

et que

Γ^'(x_0) = g_1(x_0)

.
d) Établir que la fonction

Γ

est dérivable sur

ℝ^(+ *)

et que

Γ^' = g_1

On montrerait de même que la fonction

Γ

est deux fois dérivable sur

ℝ^(+ *)

, et que

Γ^('') = g_2

. Ce résultat est admis dans toute la suite du problème.
2. Pour tout

n

ℕ^*

, on pose

γ_n = - lnn + \sum_(k = 1)^n 1/k

.
a) Établir, pour tout entier

n

supérieur ou égal à 2 , la double inégalité suivante :

\sum_(k = 2)^n 1/k < lnn < \sum_(k = 1)^(n - 1)1/k

En déduire que, pour tout entier naturel

n

non nul, on a

0 < γ_n ⩽ 1

.
b) Montrer que la suite

(γ_n)_(n \in ℕ^*)

est décroissante et convergente. On note

γ

sa limite.
3. a) Pour tout réel

x

strictement positif, et pour tout entier

n

strictement positif, montrer l'égalité :

\prod_(k = 1)^n[(1 + x/k)exp(- x/k)] = exp(- xγ_n) \times ((x + 1)(x + 2)\dots(x + n))/(n^x n!)

b) On pose

v_n(x) = \prod_(k = 1)^n[(1 + x/k)exp(- x/k)]

. Montrer que la suite

(v_n(x))_(n \in ℕ^*)

est convergente. On note

ℓ(x)

sa limite. Montrer la relation :

ℓ(x) = (exp(- γx))/(xΓ(x))

a) Soit $x$ un réel strictement positif fixé. Montrer que la série de terme général $x/n - ln(1 + x/n)$ , $n ⩾ 1$ , est convergente.
b) Justifier, pour tout réel $x$ strictement positif, l'égalité :

ln(ℓ(x)) = - \sum_(n = 1)^\infty[x/n - ln(1 + x/n)]

En déduire, pour tout réel

x

strictement positif, la relation :

ln(Γ(x)) = - γx - lnx + \sum_(n = 1)^\infty[x/n - ln(1 + x/n)]

Soit $ψ$ la fonction définie sur $ℝ^(+ *)$ par $ψ(x) = d/(dx)[ln(Γ(x))]$ .

Établir, pour tout réel

x

strictement positif l'égalité :

ψ(x + 1) = ψ(x) + 1/x

.
Déterminer un équivalent simple de

ψ(x)

lorsque

x

tend vers

0^+

. Justifier, pour tout entier

n

supérieur ou égal à 2 , la formule :

ψ(n) = ψ(1) + \sum_(k = 1)^(n - 1)1/k

Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 , on considère la fonction $U_n$ définie sur $ℝ^(+ *)$ par :

U_n(x) = ln(1 + x/n) - x/n

On désigne par

A(x)

la somme de la série de terme général

U_n(x)

.
a) Montrer que

A

est deux fois dérivable sur

ℝ^(+ *)

. En particulier, exprimer pour tout réel

x

strictement positif,

A^'(x)

A^('')(x)

en fonction de

Γ(x), Γ^'(x)

Γ^('')(x)

.
b) Soit

x

un réel strictement positif fixé. Montrer que, pour tout entier

k

supérieur ou égal à 1 , la série de terme général

U_n^((k))(x)

est absolument convergente.

Dans toute la suite du problème, on admet les deux résultats suivants : pour tout réel

x

strictement positif on a

A^'(x) = \sum_(n = 1)^\inftyU_n^'(x) et A^('')(x) = \sum_(n = 1)^\inftyU_n^('')(x)

Calculer $ψ(1)$ en fonction de $γ$ . En déduire la valeur de $lim_(n \to + \infty)(lnn - ψ(n))$ .
On veut établir dans cette question que pour tout réel $y$ strictement positif, on a $ψ^'(y) > 1/y$ .

Soit

x

un réel strictement positif fixé. On considère la fonction

G

définie sur

ℝ^(+ *)

qui, à tout réel

t

strictement positif, associe

G(t) = 1/((t + x)^2)

.
a) Montrer que sur

ℝ^(+ *), G

est positive, strictement décroissante, et que l'intégrale

\int_1^(+ \infty)G(t)dt

est convergente.
b) En déduire la double inégalité :

0 < \int_1^(+ \infty)G(t)dt < \sum_(k = 1)^\inftyG(k)

.
c) Établir l'inégalité :

ψ^'(x) > 1/(x + 1) + 1/(x^2)

. Conclure.

Partie III. Estimation des paramètres d'une loi $Γ(θ, r)$

On considère une variable aléatoire

X

, qui suit une loi

Γ(θ, r)

, les deux paramètres inconnus

θ

r

étant des réels strictement positifs. Une densité

f

X

est donnée par :

f(x) = {1/(Γ(r)θ^r) × x^(r − 1)exp(− x/θ), si x > 0; 0, si x ⩽ 0

Soit

p

un entier supérieur ou égal à 2 . On considère un

p

-échantillon i.i.d. (

X_1, X_2, \dots, X_p

) de la loi de

X :

les variables aléatoires

X_1, \dots, X_p

sont mutuellement indépendantes et de même loi que

X

.
On désigne par

x_1, x_2, \dots, x_p

, un

p

-échantillon de réalisations des variables aléatoires

X_1, X_2, \dots, X_p

, respectivement; les réels

x_1, x_2, \dots, x_p

sont fixés, strictement positifs et non tous égaux.

Soit

L

la fonction (appelée fonction de vraisemblance) définie sur

ℝ^(+ *) \times ℝ^(+ *)

à valeurs dans

ℝ^(+ *)

qui, à tout couple

(θ, r)

de réels strictement positifs, associe :

L(θ, r) = \prod_(i = 1)^p f(x_i)

On pose

F(θ, r) = ln(L(θ, r))

Montrer que la recherche du maximum de $L$ sur $ℝ^(+ *) \times ℝ^(+ *)$ est équivalente à la recherche du maximum de $F$ sur ce même ensemble.
a) Établir l'existence sur $ℝ^(+ *) \times ℝ^(+ *)$ , des dérivées partielles d'ordre 1 et 2 de la fonction $F$ . Les calculer.
b) Montrer que les éventuels points critiques ( $θ^⋆, r^⋆$ ) vérifient le système ( $S$ ) d'équations suivant :
$(S) {θ^⋆r^⋆ = x¯; lnr^⋆ − (Γ^′(r^⋆))/(Γ(r^⋆)) = lnx¯ − 1/p∑_(i = 1)^p lnx_i$
dans lequel $x¯ = 1/p\sum_(i = 1)^p x_i$ .
On pose $K_p = lnx¯ - 1/p\sum_(i = 1)^p lnx_i$ .
a) Justifier, pour tout réel $x > 0$ et différent de 1 , l'inégalité : $lnx < x - 1$ . En déduire que $K_p > 0$ .
b) Soit $h$ la fonction définie sur $ℝ^(+ *)$ par :

h(y) = lny - (Γ^'(y))/(Γ(y)) - K_p

Étudier les variations de

h

et dresser son tableau de variations.
c) Montrer que l'équation (2) admet sur

ℝ^(+ *)

une unique solution

r^⋆

. En déduire que le système d'équations (

S

) admet une unique solution

(θ^⋆, r^⋆)

.
4. Écrire la hessienne

\nabla^2 F

F

au point

(θ^⋆, r^⋆)

En déduire qu'au point

(θ^⋆, r^⋆)

, la fonction

L

admet un maximum local.
On peut démontrer qu'en ce point, on obtient en fait un maximum global de

L

. On dit que le couple (

θ^⋆, r^⋆

) est une estimation du couple inconnu

(θ, r)

obtenue par la méthode du maximum de vraisemblance.

Partie IV. Estimateur sans biais de l'écart-type $σ$ d'une loi normale centrée

Soit

X

une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée et d'écart-type

σ

; le paramètre réel inconnu

σ

est strictement positif.

Montrer que la variable aléatoire $T = (X^2)/(2σ^2)$ suit une loi $γ$ de paramètre $1/2$ . En déduire la valeur de $Γ(1/2)$ .
Pour $n$ entier naturel non nul, on considère un $n$ -échantillon $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ i.i.d. (indépendant, identiquement distribué) de la loi de $X$ .
a) On désigne par $S_n$ la variable aléatoire $S_n = \sum_(i = 1)^n(X_i^2)/(2σ^2)$ . Quelle est la loi de probabilité de $S_n$ ?
b) En déduire que la variable aléatoire $Y_n$ définie par $Y_n = 1/n\sum_(i = 1)^n X_i^2$ , est un estimateur sans biais de $σ^2$ .
a) Montrer que l'espérance de $\sqrt(Y_n)$ , notée $E(\sqrt(Y_n))$ , vérifie : $E(\sqrt(Y_n)) < σ$ .
b) Donner l'expression de $E(\sqrt(Y_n))$ en fonction de $n$ et $σ$ .
c) Montrer que la variable aléatoire $σ_n ˆ$ définie par :

σ_n ˆ = (λ_n)/(\sqrt2) \cdot (\sum_(i = 1)^n X_i^2)^(1/2)

où

λ_n

a été défini dans la question I.2.d, est un estimateur sans biais du paramètre

σ

.
4. a) Calculer la variance

V(σ_n ˆ)

de l'estimateur

σ_n ˆ

en fonction de

n

σ

.
b) La suite

(σ_n ˆ)_(n \in ℕ^*)

d'estimateurs de

σ

converge-t-elle en probabilité vers

σ

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Partie I. Une expression de Γ(x)

Partie II. Dérivabilité de la fonction Γ et conséquences

Partie III. Estimation des paramètres d'une loi Γ(θ, r)

Partie IV. Estimateur sans biais de l'écart-type σ d'une loi normale centrée

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Partie I. Une expression de $Γ(x)$

Partie II. Dérivabilité de la fonction $Γ$ et conséquences

Partie III. Estimation des paramètres d'une loi $Γ(θ, r)$

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