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BCE Maths approfondies HEC ECS 2009

Epreuve de maths approfondies - ECS 2009

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Suites et séries de fonctionsAlgèbre linéairePolynômes et fractionsProbabilités finies, discrètes et dénombrementStatistiquesInformatique
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Banque
BCE
Année
2009
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2009ECS MathématiquesMathématiques 2009

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Annale de maths approfondies BCE HEC pour la filiere ECS, session 2009.

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BANQUE COMMUNE D'EPREUVES
CONCOURS D'ADMISSION DE 2009

Conception : HAUTES ETUDES COMMERCIALES

OPTION SCIENTIFIQUE

HEC MATS

MATHEMATIQUES

Mardi 28 avril 2009, de 8 h . à 12 h .
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre
Le problème a pour objet l'étude de quelques propriétés des suites récurrentes linéaires intervenant notamment dans l'analyse de processus aléatoires utilisés en prévision économique, ainsi que leur lien avec la notion de polynôme minimal.
Les parties II, III et IV sont indépendantes de la partie I.

Partie I. Deux exemples

Exemple 1.

  1. On considère la suite définie par et la relation : pour tout de , .
    a) Écrire une fonction Pascal d'en-tête suite(s1,s2,s3: real, integer) : real qui, pour tout de , renvoie le -ième terme de cette suite.
    b) Établir, pour tout de , l'égalité : .
    c) Déterminer la limite de la suite .
    d) Montrer que le polynôme admet une unique racine réelle , valant ; déterminer ses deux racines complexes et dont on précisera le module et un argument.
    e) On admet qu'il existe trois nombres complexes vérifiant, pour tout de , la relation suivante : . Calculer et . Retrouver la limite de la suite .

Exemple 2.

Soit ( ) un élément de et le polynôme de défini par : . On note et les racines réelles ou complexes, distinctes ou confondues du polynôme .
2. a) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( ), représenter graphiquement l'ensemble des points de coordonnées défini par :
b) Distinguer sur le graphique la partie de dans laquelle les racines de sont réelles.
3. En étudiant séparément le cas où les racines et sont réelles et le cas où elles sont complexes, établir l'équivalence des trois conditions suivantes :
i) et .
ii) et .
iii) et .
On désigne par l'ensemble des variables aléatoires discrètes définies sur un espace probabilisé et admettant un moment d'ordre 2 . On note et respectivement, l'espérance et la variance d'une variable aléatoire de . Si et appartiennent à , leur covariance est notée .
On appelle processus aléatoire , toute application définie sur à valeurs dans .
Soit un processus aléatoire constitué de variables aléatoires mutuellement indépendantes, vérifiant pour tout de , les égalités suivantes : et , avec strictement positif fixé.
Soit ( ) un élément de . On considère un processus aléatoire formé de variables aléatoires centrées, de même variance strictement positive et qui vérifient, pour tout de :
On suppose que :
  • pour tout couple de ;
  • pour tout couple de ne dépend que de .
On pose alors, pour tout de et .
4. a) Que représente pour le processus ?
b) Établir, pour tout de , l'égalité : .
c) Montrer, pour tout de , l'égalité : .
5. On suppose dans cette question que le couple ( ) appartient à l'ensemble défini dans la question 2.a.
a) Exprimer et en fonction de et . En déduire l'expression de et en fonction de et .
b) Établir les deux inégalités : et , ainsi que l'encadrement : .
c) Exprimer en fonction de et .
6. a) Montrer que la suite vérifie une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 .
b) Soit et les racines du polynôme . Montrer que la suite converge vers 0 si et seulement si et (on distinguera trois cas : et réels avec et réels avec et complexes conjugués).

Partie II. Suites récurrentes linéaires d'ordre

Dans cette partie, est un entier de et ( ) un élément de vérifiant . On note le -espace vectoriel des suites complexes et le sous-ensemble de formé des suites récurrentes linéaires d'ordre , c'est-à-dire, qui vérifient pour tout de :
  1. Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
  2. Soit l'application de dans qui, à toute suite de , associe le -uplet ( ) de . Montrer que est un isomorphisme d'espaces vectoriels. En déduire la dimension de .
  3. On note ( ) la base canonique de et l'application réciproque de . Pour tout de , on considère la suite définie par : .
    a) Justifier que la famille constitue une base de . Préciser les coordonnées de toute suite de dans la base .
    b) Calculer, pour tout de . Montrer que, pour tout de , on a : .
  4. Soit l'application définie sur par : pour toute suite de .
    a) Montrer que est un endomorphisme de .
    b) Déterminer la matrice de dans la base ( ).
  5. Soit le polynôme de défini par : .
    a) Montrer que est une valeur propre de si et seulement si est une racine de .
    b) Soit une valeur propre de . Déterminer la dimension du sous-espace propre associé à , et en déduire une condition nécessaire et suffisante sur pour que soit diagonalisable.
    c) On suppose que admet racines distinctes . Établir, pour toute suite de , l'existence d'un unique -uplet de tel que, pour tout de , on ait : .

Partie III. Polynôme minimal d'une suite récurrente linéaire

Le contexte et les notations de cette partie sont ceux du préambule de la partie II et de la question 10. On considère une suite de . On dit qu'un polynôme de est un polynôme générateur de la suite , si . On note l'ensemble des polynômes générateurs de la suite .
12. Montrer que n'est pas réduit au polynôme nul.
13. Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
14. Montrer que, si est un polynôme de et un polynôme de , alors appartient à .
15. On note l'ensemble des degrés des polynômes non nuls de .
a) Justifier l'existence d'un polynôme de tel que son degré soit le plus petit élément de . On note le degré de .
b) En utilisant la division euclidienne des polynômes, montrer que est l'ensemble des polynômes de la forme , avec élément de .
c) En déduire qu'il existe un unique polynôme de , noté , de coefficient dominant égal à 1 et de degré .
On dit que est le polynôme générateur minimal de et que son degré est le degré de la suite .
16. Un exemple. Déterminer le polynôme générateur minimal et le degré de la suite récurrente linéaire d'ordre 3 définie par et la relation : pour tout de .
17. Soit une suite récurrente linéaire de degré et soit un entier strictement supérieur à . On note la matrice de définie par :
Pour tout de , on note la -ième colonne de . On désigne par l'endomorphisme de canoniquement associé à et, pour tout , on note le vecteur de canoniquement associé à .
a) Montrer que la famille ( ) est une famille libre de .
b) Établir que, pour tout de , la famille est liée. En déduire le rang de et la dimension de .
c) Montrer qu'un polynôme de appartient à , si et seulement si l'élément de appartient à .
d) Un exemple. Soit une suite récurrente linéaire de degré inférieur ou égal à 3 dont les premiers termes sont : . Déterminer le polynôme générateur minimal de cette suite.
Partie IV. Un algorithme de calcul d'un polynôme générateur d'une suite récurrente linéaire
Soit et deux entiers tels que et soit une suite complexe récurrente linéaire de degré dont on connaît les premiers termes; on pose : . On note l'espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes de degré inférieur ou égal à . Soit un polynôme de . Le degré d'un polynôme est noté .
18. On note ( ) la relation suivante : pour tout de , on a .
Montrer que est un polynôme générateur de la suite si et seulement si la relation () est vérifiée.
19. a) On pose, pour tout de . Établir l'égalité : .
b) On suppose la relation ( ) vérifiée. Montrer, pour tout de , l'égalité : . En déduire l'existence de deux polynômes et de vérifiant : .
c) Réciproquement, on suppose qu'il existe deux polynômes et de vérifiant : . Montrer que la relation () est vérifiée.
20. Dans l'algorithme suivant, les variables sont des polynômes, une constante entière. L'entier et le polynôme ont les valeurs données précédemment.
Initialisation : .
Corps :
Tant que
effectuer la division euclidienne de par avec ou .
.
.
Fin de Tant que.
Sortie : Rendre et .
Si et sont deux polynômes de tels qu'il existe un polynôme de vérifiant , on notera : .
a) Montrer que cet algorithme se termine, c'est-à-dire que l'on sort de la boucle.
b) Montrer qu'à l'initialisation, on a :
.
c) On suppose qu'à l'issue du -ième passage dans la boucle, les relations précédentes sont vérifiées. Montrer qu'elles le sont encore à l'issue du ( )-ième passage.
d) Montrer que lorsque l'algorithme se termine, l'une des variables contient un polynôme générateur de la suite . Quelle est cette variable?

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