La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seulè l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre

Pour tout couple (

) d'entiers de

, on note

(resp.

) l'ensemble des matrices à

lignes et

colonnes à coefficients réels (resp. complexes) et

(resp.

) cet ensemble lorsque

.
On note

la matrice identité de

Dans tout le problème :

pour tout de , on identifie les espaces vectoriels et , c'est-à-dire que l'on identifie tout élément de avec le vecteur colonne de ses coordonnées dans la base canonique de ;
on note la transposée d'une matrice de le module d'un nombre complexe le nombre complexe de module 1 et d'argument , et on admet que la suite complexe a pour limite 0 si et seulement si la suite réelle a pour limite 0 ;
pour toute matrice de , on note l'ensemble des valeurs propres complexes de , et on pose : et ;
le vecteur nul de est noté 0 . Si et sont deux vecteurs de , on note (resp. ) si pour tout de , on a : (resp. ). En particulier, si les coordonnées de sont toutes positives (resp. strictement positives), on note (resp. );
pour tout vecteur de , on note le vecteur de dont les coordonnées sont les modules de celles de .

Soit

une suite de matrices de

. Pour tout

, on pose :

.
On dit que la suite de matrices

converge vers la matrice

, si pour tout couple

, on a

; on note alors :

.
On admet sans démonstration que si

sont deux suites de matrices de

convergeant respectivement vers des matrices

, alors la suite

converge vers la matrice

, la suite

converge vers la matrice

et, pour tout réel

, la suite

converge vers la matrice

Une matrice

est dite positive (resp. strictement positive) si pour tout couple

, on a :

(resp.

).
Le problème a pour objet l'étude des relations entre les valeurs propres de module maximal d'une matrice et la limite éventuelle de la suite des puissances entières de cette matrice. Ces relations, appliquées aux matrices positives et strictement positives, interviennent notamment dans la théorie des processus markoviens et dans les questions relatives à l'existence et la stabilité de l'équilibre général d'une économie.

Partie I. Deux exemples

Exemple 1. Soit et les matrices de définies par et .
a) Calculer et déterminer les valeurs propres de .
b) Exprimer en fonction de et , et en déduire et .
c) Exprimer pour tout de en fonction de et . En déduire pour tout de , la valeur de .
d) Montrer que la suite converge vers une matrice que l'on explicitera et dont on précisera le rang. Montrer que est la matrice d'un projecteur de .
Exemple 2. Soit la matrice de définie par .
a) Déterminer . Justifier que est diagonalisable. Calculer et .
b) Déterminer une base de formée de vecteurs propres de .
c) Expliciter pour tout de , la matrice . Comparer et .
d) Montrer que pour tout de , on a : . Comparer et .

Partie II. Un critère de convergence vers la matrice nulle

Dans cette partie, on note

une matrice de

une valeur propre complexe de

un vecteur propre de

associé à

.
3. Soit

un entier de

pour lequel on a :

. Établir les encadrements suivants:

.
4. Soit

un entier de

une valeur propre de

telle que

.
a) Montrer que

est une valeur propre de

. En déduire l'inégalité :

.
b) Soit

les

racines

-ièmes de

. Établir l'égalité :

.
c) Montrer qu'il existe un entier

pour lequel

est une valeur propre de

.
d) En déduire l'égalité :

. Établir l'encadrement :

.
5. On suppose que la suite de matrices

converge vers la matrice nulle de

Montrer que

. En déduire que

.
6. Dans cette question, on suppose que la matrice

est diagonalisable dans

On pose pour tout réel

strictement positif :

.
a) Montrer que si

, alors la suite de matrices

converge vers la matrice nulle de

.
b) Montrer que

. En déduire qu'il existe un entier

tel que pour tout entier

, on a :

.
c) Établir pour tout

, la relation :

.
d) À l'aide des questions précédentes, établir pour tout

, l'encadrement :

En déduire que l'on a :

.
Dans la suite du problème, on admet que pour toute matrice

, on a

et que la suite

converge vers la matrice nulle de

si et seulement si on a

Partie III. Matrices positives - Relations entre et les coefficients de

Dans cette partie, on considère une matrice

positive et non nulle.
7. Soit

une matrice positive de

vérifiant pour tout couple

. Montrer que pour tout

, on a :

. En déduire l'inégalité :

.
8. On suppose dans cette question qu'il existe une constante

vérifiant pour tout

Établir l'égalité :

.
9. On pose :

. À l'aide des questions 7 et 8, établir l'encadrement :

.
10. Soit

un vecteur de

tel que

et soit

la matrice diagonale de

dont les éléments diagonaux sont les coordonnées

.
a) Après avoir justifié l'existence de l'inverse

, calculer la matrice

.
b) Établir l'encadrement :

.
c) En déduire que s'il existe un réel positif

vérifiant

, il vérifie également

Partie IV. Matrices strictement positives

Dans cette partie, la matrice

est strictement positive,

est une valeur propre complexe de

telle que

, et

est un vecteur propre de

associé à la valeur propre

.
11. a) Montrer que

.
b) Établir la relation :

. En déduire que l'on a :

.
c) On pose :

. Montrer que

.
d) On pose :

et on suppose

. Établir les relations :

.
e) En déduire que

est une valeur propre de

et que

est un vecteur propre de

associé à

.
12. On considère deux nombres complexes

non nuls et vérifiant

On pose :

, avec

.
a) Montrer que

.
b) On considère

nombres complexes

tous non nuls et vérifiant

Établir l'existence d'un réel

vérifiant pour tout

.
13. Montrer que

et que

. En déduire l'existence d'un réel

tel que

.
14. a) Montrer que

est l'unique valeur propre de

de module maximal.
b) On suppose qu'il existe deux vecteurs propres

de la matrice

associés à la valeur propre

, linéairement indépendants.
En considérant le vecteur

, aboutir à une contradiction. En déduire la dimension du sous-espace propre associé à

.
15. a) Montrer que

ont les mêmes valeurs propres.
b) Soit

un vecteur propre de

associé à la valeur propre

. Justifier que les coordonnées de

sont toutes strictement positives ou toutes strictement négatives.
c) Soit

un vecteur propre de

vérifiant

, associé à la valeur propre

. On pose :

. Établir les relations suivantes :

.
16. Soit

la matrice de

définie par

, où

a été défini dans la question 15.c).
a) Montrer que

est la matrice d'un projecteur de

dont on précisera l'image et le noyau.
b) Établir pour tout

, la relation :

.
17. Soit

une valeur propre non nulle de

un vecteur propre de

associé à

.
a) Montrer que

. En déduire que

est également une valeur propre de

et que

.
b) En raisonnant par l'absurde et en utilisant la question 14.a), montrer que

.
c) Déduire des résultats précédents que

et que

Partie V. Un algorithme de calcul de et d'un vecteur propre associé

On munit l'espace vectoriel

du produit scalaire canonique. On note |||| la norme euclidienne associée.
Soit

une matrice de

strictement positive, symétrique, admettant

valeurs propres distinctes

telles que

. Soit

un vecteur de

tel que

. Soit

une base orthonormée de

formée de vecteurs propres de

tels que pour tout

.
On rappelle qu'une suite

de vecteurs de

converge vers un vecteur

, et on note:

.
On définit la suite

de vecteurs de

par :

, et pour tout

.
18. a) Soit

, la décomposition de

dans la base (

). Montrer que

.
b) Établir la relation :

.
c) Déterminer

(on distinguera deux cas suivant le signe de

).
19. On suppose déjà définis en Pascal les objets suivants :

Const p = ...
Type vecteur-array [1..p] of real;
    matrice=array [1..p,1..p] of real ;

ainsi que les fonctions et procédures suivantes :

Function norme(V : vecteur) : real;(calcul de la norme du vecteur V)
Procedure prodmat (A : matrice ; V : vecteur ; var W : vecteur) ; ( }W=AV
Procedure affecte(V : vecteur ; var W : vecteur); ( W prend la valeur V)

a) Écrire une procédure d'en-tête puissance (

: matrice;

: integer;

vecteur; var

vecteur) qui calcule pour tout entier naturel

non nul, le vecteur

défini ci-dessus.
b) Écrire une procédure d'en-tête vectpropre ( A : matrice ; n : integer ; V 0 : vecteur ; var V : vecteur) qui calcule la valeur approchée d'un vecteur propre associé à

obtenue pour une valeur de

donnée, et une fonction d'en-tête valpropre (A : matrice; n : integer; V0 : vecteur) : real qui calcule la valeur approchée de

obtenue pour une valeur de

donnée.
On expliquera les différentes étapes des procédures proposées.

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\title{MATHEMATIQUES }

\author{Conceptions : H.E.C. ...

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