BCE Maths approfondies HEC ECS 2011Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2011

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Annale de maths approfondies BCE HEC pour la filiere ECS, session 2011.

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CONCOURS D'ADMISSION DE 2011

Conceptions : H.E.C. - E.S.C.P. / EUROPE

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES

Mardi 3 mai 2011, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seulè l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre

Pour tout couple (

p, q

) d'entiers de

ℕ^*

, on note

M_(p, q)(ℝ)

(resp.

M_(p, q)(ℂ)

) l'ensemble des matrices à

p

lignes et

q

colonnes à coefficients réels (resp. complexes) et

M_p(ℝ)

(resp.

M_p(ℂ)

) cet ensemble lorsque

q = p

.
On note

I_p

la matrice identité de

M_p(ℂ)

Dans tout le problème :

pour tout $p$ de $ℕ^*$ , on identifie les espaces vectoriels $ℂ^p$ et $M_(p, 1)(ℂ)$ , c'est-à-dire que l'on identifie tout élément de $ℂ^p$ avec le vecteur colonne de ses coordonnées dans la base canonique de $ℂ^p$ ;
on note $^t A$ la transposée d'une matrice $A$ de $M_(p, q)(ℂ), |z|$ le module d'un nombre complexe $z, i$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $π/2$ , et on admet que la suite complexe $(z_n)_(n \in ℕ^*)$ a pour limite 0 si et seulement si la suite réelle $(|z_n|)_(n \in ℕ^*)$ a pour limite 0 ;
pour toute matrice $A = (a_(k, j))_(1 ⩽ k, j ⩽ p)$ de $M_p(ℂ)$ , on note $Sp(A)$ l'ensemble des valeurs propres complexes de $A$ , et on pose : $ρ(A) = max_(λ \in Sp(A))|λ|$ et $N(A) = max_(1 ⩽ k ⩽ p)\sum_(j = 1)^p|a_(k, j)|$ ;
le vecteur nul de $ℂ^p$ est noté 0 . Si $X = (x_1; ⋮; x_p)$ et $Y = (y_1; ⋮; y_p)$ sont deux vecteurs de $ℝ^p$ , on note $X < Y$ (resp. $X ⩽ Y$ ) si pour tout $k$ de $[ [1, p] ]$ , on a : $x_k < y_k$ (resp. $x_k ⩽ y_k$ ). En particulier, si les coordonnées de $X$ sont toutes positives (resp. strictement positives), on note $X ⩾ 0$ (resp. $X > 0$ );
pour tout vecteur $V$ de $ℂ^p$ , on note $|V|$ le vecteur de $ℝ^p$ dont les coordonnées sont les modules de celles de $V$ .

Soit

(M_n)_(n \in ℕ^*)

une suite de matrices de

M_p(ℝ)

. Pour tout

n

ℕ^*

, on pose :

M_n = (m_(k, j)(n))_(1 ⩽ k, j ⩽ p)

.
On dit que la suite de matrices

(M_n)_(n \in ℕ*)

converge vers la matrice

M = (m_(k, j))_(1 ⩽ k, j ⩽ p)

M_p(ℝ)

, si pour tout couple

(k, j)

[ [1, p] ]^2

, on a

lim_(n \to + \infty)m_(k, j)(n) = m_(k, j)

; on note alors :

lim_(n \to + \infty)M_n = M

.
On admet sans démonstration que si

(A_n)_(n \in ℕ^*)

(B_n)_(n \in ℕ^*)

sont deux suites de matrices de

M_p(ℝ)

convergeant respectivement vers des matrices

A

B

, alors la suite

(A_n + B_n)_(n \in ℕ^*)

converge vers la matrice

A + B

, la suite

(A_n B_n)_(n \in ℕ^*)

converge vers la matrice

AB

et, pour tout réel

α

, la suite

(αA_n)_(n \in ℕ^*)

converge vers la matrice

αA

Une matrice

A = (a_(k, j))_(1 ⩽ k, j ⩽ p)

M_p(ℝ)

est dite positive (resp. strictement positive) si pour tout couple

(k, j)

[ [1, p] ]^2

, on a :

a_(k, j) ⩾ 0

(resp.

a_(k, j) > 0

).
Le problème a pour objet l'étude des relations entre les valeurs propres de module maximal d'une matrice et la limite éventuelle de la suite des puissances entières de cette matrice. Ces relations, appliquées aux matrices positives et strictement positives, interviennent notamment dans la théorie des processus markoviens et dans les questions relatives à l'existence et la stabilité de l'équilibre général d'une économie.

Partie I. Deux exemples

Exemple 1. Soit $A$ et $J$ les matrices de $M_3(ℝ)$ définies par $A = (0, 1/2, 1/2; 1/2, 0, 1/2; 1/2, 1/2, 0)$ et $J = (1, 1, 1; 1, 1, 1; 1, 1, 1)$ .
a) Calculer $J^2$ et déterminer les valeurs propres de $J$ .
b) Exprimer $A$ en fonction de $I_3$ et $J$ , et en déduire $Sp(A)$ et $ρ(A)$ .
c) Exprimer pour tout $n$ de $ℕ^*, A^n$ en fonction de $I_3, J$ et $n$ . En déduire pour tout $n$ de $ℕ^*$ , la valeur de $N(A^n)$ .
d) Montrer que la suite $(A^n)_(n \in ℕ^*)$ converge vers une matrice $M$ que l'on explicitera et dont on précisera le rang. Montrer que $M$ est la matrice d'un projecteur de $ℝ^3$ .
Exemple 2. Soit $A$ la matrice de $M_3(ℂ)$ définie par $A = (1, 0, 0; 0, 1 + i, 1; 0, 0, 1 - i)$ .
a) Déterminer $Sp(A)$ . Justifier que $A$ est diagonalisable. Calculer $N(A)$ et $ρ(A)$ .
b) Déterminer une base de $M_(3, 1)(ℂ)$ formée de vecteurs propres de $A$ .
c) Expliciter pour tout $n$ de $ℕ^*$ , la matrice $A^n$ . Comparer $ρ(A^n)$ et $(ρ(A))^n$ .
d) Montrer que pour tout $n$ de $ℕ^*$ , on a : $N(A^n) = 2^(n/2)(1 + |sin(nπ/4)|)$ . Comparer $lim_(n \to + \infty)(N(A^n))^(1/n)$ et $ρ(A)$ .

Partie II. Un critère de convergence vers la matrice nulle

Dans cette partie, on note

A = (a_(k, j))_(1 ⩽ k, j ⩽ p)

une matrice de

M_p(ℝ)

λ

une valeur propre complexe de

A

X = (x_1; ⋮; x_p) \in ℂ^p

un vecteur propre de

A

associé à

λ

.
3. Soit

k_0

un entier de

[ [1, p] ]

pour lequel on a :

0 < |x_(k_0)| = max_(1 ⩽ j ⩽ p)|x_j|

. Établir les encadrements suivants:

|λ| ⩽ \sum_(j = 1)^p|a_(k_0, j)| ⩽ N(A)

0 ⩽ ρ(A) ⩽ N(A)

.
4. Soit

n

un entier de

ℕ^*

μ

une valeur propre de

A^n

telle que

|μ| = ρ(A^n)

.
a) Montrer que

λ^n

est une valeur propre de

A^n

. En déduire l'inégalité :

ρ(A^n) ⩾ (ρ(A))^n

.
b) Soit

α_0, α_1, \dots, α_(n - 1)

les

n

racines

n

-ièmes de

μ

. Établir l'égalité :

A^n - μI_p = \prod_(j = 0)^(n - 1)(A - α_j I_p)

.
c) Montrer qu'il existe un entier

j_0

[ [0, n - 1] ]

pour lequel

α_(j_0)

est une valeur propre de

A

.
d) En déduire l'égalité :

ρ(A^n) = (ρ(A))^n

. Établir l'encadrement :

0 ⩽ ρ(A) ⩽ (N(A^n))^(1/n)

.
5. On suppose que la suite de matrices

(A^n)_(n \in ℕ^*)

converge vers la matrice nulle de

M_p(ℝ)

Montrer que

lim_(n \to + \infty)N(A^n) = 0

. En déduire que

ρ(A) < 1

.
6. Dans cette question, on suppose que la matrice

A

est diagonalisable dans

ℂ

On pose pour tout réel

ε

strictement positif :

A_ε = 1/(ρ(A) + ε)A

.
a) Montrer que si

ρ(A) < 1

, alors la suite de matrices

(A^n)_(n \in ℕ^*)

converge vers la matrice nulle de

M_p(ℝ)

.
b) Montrer que

ρ(A_ε) < 1

. En déduire qu'il existe un entier

n_0

tel que pour tout entier

n ⩾ n_0

, on a :

N(A_ε^n) ⩽ 1

.
c) Établir pour tout

n

ℕ^*

, la relation :

N(A^n) = (ρ(A) + ε)^n N(A_ε^n)

.
d) À l'aide des questions précédentes, établir pour tout

n ⩾ n_0

, l'encadrement :

0 ⩽ (N(A^n))^(1/n) - ρ(A) ⩽ ε

En déduire que l'on a :

lim_(n \to + \infty)(N(A^n))^(1/n) = ρ(A)

.
Dans la suite du problème, on admet que pour toute matrice

A

M_p(ℝ)

, on a

lim_(n \to + \infty)(N(A^n))^(1/n) = ρ(A)

et que la suite

(A^n)_(n \in ℕ^*)

converge vers la matrice nulle de

M_p(ℝ)

si et seulement si on a

ρ(A) < 1

Partie III. Matrices positives - Relations entre $ρ(A)$ et les coefficients de $A$

Dans cette partie, on considère une matrice

A = (a_(k, j))_(1 ⩽ k, j ⩽ p)

M_p(ℝ)

positive et non nulle.
7. Soit

B = (b_(k, j))_(1 ⩽ k, j ⩽ p)

une matrice positive de

M_p(ℝ)

vérifiant pour tout couple

(k, j)

[ [1, p] ]^2 : b_(k, j) ⩽ a_(k, j)

. Montrer que pour tout

n

ℕ^*

, on a :

N(B^n) ⩽ N(A^n)

. En déduire l'inégalité :

ρ(B) ⩽ ρ(A)

.
8. On suppose dans cette question qu'il existe une constante

s

vérifiant pour tout

k

[ [1, p] ] : \sum_(j = 1)^p a_(k, j) = s

Établir l'égalité :

ρ(A) = s

.
9. On pose :

σ = min_(1 ⩽ k ⩽ p)\sum_(j = 1)^p a_(k, j)

. À l'aide des questions 7 et 8, établir l'encadrement :

σ ⩽ ρ(A) ⩽ N(A)

.
10. Soit

X

un vecteur de

ℝ^p

tel que

X > 0

et soit

Δ_X

la matrice diagonale de

M_p(ℝ)

dont les éléments diagonaux sont les coordonnées

x_1, x_2, \dots, x_p

X

.
a) Après avoir justifié l'existence de l'inverse

Δ_X^(- 1)

Δ_X

, calculer la matrice

Δ_X^(- 1)AΔ_X

.
b) Établir l'encadrement :

min_(1 ⩽ k ⩽ p)1/(x_k)\sum_(j = 1)^p a_(k, j)x_j ⩽ ρ(A) ⩽ max_(1 ⩽ k ⩽ p)1/(x_k)\sum_(j = 1)^p a_(k, j)x_j

.
c) En déduire que s'il existe un réel positif

β

vérifiant

βX < AX

, il vérifie également

β < ρ(A)

Partie IV. Matrices strictement positives

Dans cette partie, la matrice

A = (a_(k, j))_(1 ⩽ k, j ⩽ p)

M_p(ℝ)

est strictement positive,

λ

est une valeur propre complexe de

A

telle que

|λ| = ρ(A)

, et

X \in ℂ^p

est un vecteur propre de

A

associé à la valeur propre

λ

.
11. a) Montrer que

ρ(A) > 0

.
b) Établir la relation :

|AX| ⩽ A|X|

. En déduire que l'on a :

ρ(A)|X| ⩽ A|X|

.
c) On pose :

Z = A|X|

. Montrer que

Z > 0

.
d) On pose :

Y = A|X| - ρ(A)|X|

et on suppose

Y \neq 0

. Établir les relations :

AY > 0

ρ(A)Z < AZ

.
e) En déduire que

ρ(A)

est une valeur propre de

A

et que

|X|

est un vecteur propre de

A

associé à

ρ(A)

.
12. On considère deux nombres complexes

z_1

z_2

non nuls et vérifiant

|z_1 + z_2| = |z_1| + |z_2|

On pose :

z_1 = |z_1|e^(iθ_1)

z_2 = |z_2|e^(iθ_2)

, avec

(θ_1, θ_2) \in [0, 2π|^2

.
a) Montrer que

θ_1 = θ_2

.
b) On considère

p

nombres complexes

(p ⩾ 2)z_1, z_2, \dots, z_p

tous non nuls et vérifiant

|\sum_(j = 1)^p z_j| = \sum_(j = 1)^p|z_j|

Établir l'existence d'un réel

θ

[0, 2π[

vérifiant pour tout

j

[ [1, p] ] : z_j = |z_j|e^(iθ)

.
13. Montrer que

|X| > 0

et que

|AX| = A|X|

. En déduire l'existence d'un réel

θ

[0, 2π[

tel que

X = |X|e^(iθ)

.
14. a) Montrer que

ρ(A)

est l'unique valeur propre de

A

de module maximal.
b) On suppose qu'il existe deux vecteurs propres

U = (u_1; ⋮; u_p)

V = (v_1; ⋮; v_p)

de la matrice

A

associés à la valeur propre

ρ(A)

, linéairement indépendants.
En considérant le vecteur

u_1 V - v_1 U

, aboutir à une contradiction. En déduire la dimension du sous-espace propre associé à

ρ(A)

.
15. a) Montrer que

A

^t A

ont les mêmes valeurs propres.
b) Soit

Z

un vecteur propre de

^t A

associé à la valeur propre

ρ(A)

. Justifier que les coordonnées de

Z

sont toutes strictement positives ou toutes strictement négatives.
c) Soit

U

un vecteur propre de

A

vérifiant

U > 0

, associé à la valeur propre

ρ(A)

. On pose :

Y = 1/(^t ZU)Z

. Établir les relations suivantes :

Y > 0, ^t AY = ρ(A)Y

^t YU = 1

.
16. Soit

M

la matrice de

M_p(ℝ)

définie par

M = U^t Y

, où

U

a été défini dans la question 15.c).
a) Montrer que

M

est la matrice d'un projecteur de

ℝ^p

dont on précisera l'image et le noyau.
b) Établir pour tout

n

ℕ^*

, la relation :

(1/(ρ(A))A - M)^n = (1/(ρ(A))A)^n - M

.
17. Soit

μ

une valeur propre non nulle de

(A - ρ(A)M)

W

un vecteur propre de

(A - ρ(A)M)

associé à

μ

.
a) Montrer que

MW = 0

. En déduire que

μ

est également une valeur propre de

A

et que

|μ| ⩽ ρ(A)

.
b) En raisonnant par l'absurde et en utilisant la question 14.a), montrer que

|μ| < ρ(A)

.
c) Déduire des résultats précédents que

ρ(A - ρ(A)M) < ρ(A)

et que

lim_(n \to + \infty)(1/(ρ(A))A)^n = M

Partie V. Un algorithme de calcul de $ρ(A)$ et d'un vecteur propre associé

On munit l'espace vectoriel

ℝ^p

du produit scalaire canonique. On note |||| la norme euclidienne associée.
Soit

A

une matrice de

M_p(ℝ)

strictement positive, symétrique, admettant

p

valeurs propres distinctes

λ_1, λ_2, \dots, λ_p

telles que

|λ_1| > |λ_2| > \dots > |λ_p|

. Soit

V_0

un vecteur de

ℝ^p

tel que

V_0 > 0

. Soit

(e_1, e_2, \dots, e_p)

une base orthonormée de

ℝ^p

formée de vecteurs propres de

A

tels que pour tout

k

[ [1, p] ], Ae_k = λ_k e_k

.
On rappelle qu'une suite

(X_n)_(n \in ℕ)

de vecteurs de

ℝ^p

converge vers un vecteur

L

ℝ^p

lim_(n \to + \infty)‖X_n - L‖ = 0

, et on note:

lim_(n \to + \infty)X_n = L

.
On définit la suite

(V_n)_(n \in ℕ)

de vecteurs de

ℝ^p

par :

V_0

, et pour tout

n

ℕ, V_(n + 1) = AV_n

.
18. a) Soit

V_0 = \sum_(k = 1)^p s_k e_k

, la décomposition de

V_0

dans la base (

e_1, e_2, \dots, e_p

). Montrer que

s_1 \neq 0

.
b) Établir la relation :

lim_(n \to + \infty)(‖V_(n + 1)‖)/(‖V_n‖) = λ_1

.
c) Déterminer

lim_(n \to + \infty)(V_n)/(‖V_n‖)

(on distinguera deux cas suivant le signe de

s_1

).
19. On suppose déjà définis en Pascal les objets suivants :

Const p = ...
Type vecteur-array [1..p] of real;
    matrice=array [1..p,1..p] of real ;

ainsi que les fonctions et procédures suivantes :

Function norme(V : vecteur) : real;(calcul de la norme du vecteur V)
Procedure prodmat (A : matrice ; V : vecteur ; var W : vecteur) ; ( }W=AV
Procedure affecte(V : vecteur ; var W : vecteur); ( W prend la valeur V)

a) Écrire une procédure d'en-tête puissance (

A

: matrice;

n

: integer;

V0 :

vecteur; var

V :

vecteur) qui calcule pour tout entier naturel

n

non nul, le vecteur

V_n

défini ci-dessus.
b) Écrire une procédure d'en-tête vectpropre ( A : matrice ; n : integer ; V 0 : vecteur ; var V : vecteur) qui calcule la valeur approchée d'un vecteur propre associé à

λ_1

obtenue pour une valeur de

n

donnée, et une fonction d'en-tête valpropre (A : matrice; n : integer; V0 : vecteur) : real qui calcule la valeur approchée de

λ_1

obtenue pour une valeur de

n

donnée.
On expliquera les différentes étapes des procédures proposées.

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MATHEMATIQUES

Dans tout le problème :

Partie I. Deux exemples

Partie II. Un critère de convergence vers la matrice nulle

Partie III. Matrices positives - Relations entre ρ(A) et les coefficients de A

Partie IV. Matrices strictement positives

Partie V. Un algorithme de calcul de ρ(A) et d'un vecteur propre associé

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Partie III. Matrices positives - Relations entre $ρ(A)$ et les coefficients de $A$

Partie V. Un algorithme de calcul de $ρ(A)$ et d'un vecteur propre associé