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BCE Maths approfondies HEC ECS 2014

Epreuve de maths approfondies - ECS 2014

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesIntégrales généraliséesCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Séries et familles sommables
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Banque
BCE
Année
2014
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2014ECS MathématiquesMathématiques 2014

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Description

Annale de maths approfondies BCE HEC pour la filiere ECS, session 2014.

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Conception : HEC Paris

MATHÉMATIQUES

OPTION SCIENTIFIQUE

Mercredi 30 avril 2014, de 8 h . à 12 h .

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre
Dans ce problème, on s'intéresse à des opérations de transport dans des situations déterministes ou aléatoires, modélisées de manière discrète ou continue, dans le but de trouver un programme de transport optimal dont le coût serait le plus faible possible.
Les parties I, II et III sont largement indépendantes.
  • Toutes les variables aléatoires considérées dans ce problème sont supposées définies sur le même espace probabilisé ( ).
  • Sous réserve d'existence, on note l'espérance d'une variable aléatoire .
  • Pour tout entier supérieur ou égal à 1 , on note l'ensemble des applications de dans .

Préliminaire

  1. Soit un entier supérieur ou égal à 2 .
    a) Quel est le nombre d'éléments de l'ensemble ?
    b) Parmi les éléments de , quel est le nombre d'applications injectives et parmi celles-ci, combien sont strictement monotones?
    (les réponses aux questions 1.a) et 1.b) seront données sans démonstration)
  2. Soit un réel vérifiant .
On considère une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre 1 .
Pour tout , on pose : , où désigne la fonction partie entière.
a) Vérifier que est une variable aléatoire discrète. Calculer pour tout , la probabilité .
b) Montrer que la variable aléatoire suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre.
c) Établir les inégalités strictes : .
3.a) Pour tout couple , montrer que l'intégrale est convergente.
(on pourra utiliser le changement de variable après avoir justifié précisément sa validité)
b) Établir pour tout couple , l'égalité : .

Partie I. Transport dans une situation aléatoire

On dit que la loi d'une variable aléatoire est accessible depuis une variable aléatoire , s'il existe une application telle que la variable aléatoire suit la même loi que .
L'application est alors appelée une fonction de transport de la variable aléatoire vers la loi de .
On associe à un coût de transport défini, sous réserve d'existence, par : .
Dans toute cette partie, désigne une variable aléatoire vérifiant [ et suivant la loi uniforme sur , c'est-à-dire admettant pour densité la fonction définie par :
  1. Soit un réel vérifiant . Pour tout réel , on note dans cette question, la fonction définie sur par :
a) Calculer la probabilité et en déduire que les fonctions sont des fonctions de transport de vers une même loi que l'on précisera.
b) Vérifier que le coût de transport est égal à .
c) En déduire la valeur de qui minimise et exprimer le coût minimal correspondant en fonction de .
5. Soit et les applications définies sur et .
a) Vérifier que et sont des fonctions de transport de vers une loi que l'on précisera.
b) En utilisant les résultats de la question 3 , comparer les coûts de transport et .
c) À l'aide de la question 2, montrer que toutes les lois géométriques sont accessibles depuis .
6. Dans cette question, désigne une variable aléatoire admettant une densité continue et strictement positive sur .
a) Justifier que la fonction de répartition de réalise une bijection de sur l'intervalle ouvert .
b) On note la bijection réciproque de .
Montrer que est une fonction de transport de la variable aléatoire vers la loi de .
7. Cas particulier : on suppose que suit la loi normale centrée réduite.
On note la fonction de répartition de et la densité continue sur de .
a) Établir la convergence de l'intégrale .
À l'aide d'une intégration par parties, montrer que .
b) Montrer que l'intégrale est convergente et la calculer.
c) En déduire que le coût de transport est égal à .

Partie II. Transport optimal dans une situation déterministe

Dans toute cette partie, désigne un entier supérieur ou égal à 2 .
On considère réels (appelés points de départ) et réels (appelés points d'arrivée) vérifiant et .
On pose : et .
8.a) Montrer que pour tout couple , on a : .
b) En déduire à l'aide d'une double sommation que pour tout -uplet tel que , on a :
  1. Soit . On réordonne la liste selon les valeurs croissantes et on note alors la liste ordonnée obtenue. On a donc .
    a) Justifier pour tout , l'inégalité : .
    b) On pose . Justifier l'égalité : .
    c) Établir l'inégalité : .
On appelle programme de transport, toute bijection de sur , et coût d'un programme de transport , la somme définie par : .
10. Soit le programme de transport défini par : pour tout .
Déduire des questions précédentes que le programme est optimal, c'est-à-dire que pour tout programme de transport , on a : .
11. Interprétation probabiliste des inégalités (1) et (2).
Soit une application croissante de dans .
a) En utilisant l'inégalité (1), établir pour toute variable aléatoire discrète ne prenant qu'un nombre fini de valeurs, l'inégalité : .
b) Que peut-on en déduire pour le coefficient de corrélation linéaire de et lorsque les variances de et sont strictement positives?
c) En utilisant l'inégalité (2), montrer que si est une variable aléatoire discrète suivant la loi uniforme sur et un élément de , on a : .

Partie III. Transport optimal dans une situation aléatoire

Les définitions de fonction de transport et de coût de transport sont identiques à celles données dans le préambule de la partie I.
Dans toute cette partie, désigne une variable aléatoire vérifiant et suivant la loi uniforme sur le segment .
Soit une variable aléatoire admettant une densité nulle hors d'un segment et dont la restriction à ce segment est continue et strictement positive. On note la fonction de répartition de . On suppose l'existence d'une fonction de classe sur , à valeurs dans , telle que la variable aléatoire suit la même loi que .
12. Pour tout entier , on pose pour tout :
a) Trouver la loi de la variable aléatoire .
b) Établir l'existence d'une constante , indépendante de telle que : .
c) Montrer que pour tout réel , on a : .
13. Pour tout , on pose : . On définit alors à partir de , comme à partir de dans la question 9.
a) Établir pour tout , les inégalités : .
b) On note la fonction réciproque de la restriction à de la fonction .
Montrer que pour tout entier , on a : .
c) En déduire l'inégalité : .
14.a) Parmi les fonctions de transport de classe de vers la loi de , trouver une fonction de transport de coût minimal.
b) On suppose que . Déterminer et .

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