BCE Maths approfondies HEC ECS 2016Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2016

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Annale de maths approfondies BCE HEC pour la filiere ECS, session 2016.

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Conception : HEC Paris

OPTION SCIENTIFIQUEMATHÉMATIQUES

Mercredi 27 avril 2016, de 8 h. à 12 h.

Abstract

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Dans tout le problème:

On note $n$ et $k$ deux entiers vérifiant $2 ⩽ k ⩽ n$ et $E$ un $R$ -espace vectoriel de dimension $n$ muni d'un produit scalaire $⟨, ⟩_E$ qui en fait un espace euclidien.
On note $0_E$ et $0_(L(E))$ respectivement, le vecteur nul et l'endomorphisme nul de $E$ et $B = (c_1, c_2, \dots, c_n)$ une base orthonormale de $E$ . L'endomorphisme identité de $E$ est noté id $_E$ ,
Pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$ , on note $F^⊥$ l'orthogonal de $F$ et $p_F$ le projecteur orthogonal d'image $F$ , c'est-à-dire l'unique endomorphisme de $E$ vérifiant : $\forallx \in F, p_F(x) = x$ et $\forallx \in F^⊥, p_F(x) = 0_E$ .
On note $M_(n, m)(R)$ l'ensemble des matrices à $n$ lignes et $m$ colonnes ( $m ⩾ 1$ ) à cœfficients réels. La transposée d'une matrice $A \in M_(n, m)(R)$ est notée $^t A$ .
Pour tout $(ρ_1, ρ_2, \dots, ρ_k) \in R^k$ , on note $Diag(ρ_1, ρ_2, \dots, ρ_k)$ la matrice diagonale de $M_k(R)$ dont les cœfficients diagonaux sont, dans cet ordre, $ρ_1, ρ_2, \dots, ρ_k$ .
On note $I_n$ la matrice identité de $M_n(R)$ .

On rappelle que la somme de

k

sous-espaces vectoriels

F_1, F_2, \dots, F_k

E

est le sous-espace vectoriel de

E

, noté

\sum_(i = 1)^k F_i

, défini par:

∑_(i = 1)^k F_i = {∑_(i = 1)^k x_i; (x_1, x_2, …, x_k) ∈ F_1 × F_2 × ⋯ × F_k}

.
On rappelle aussi que les sous-espaces vectoriels

F_1, F_2, \dots, F_k

sont en somme directe si chaque vecteur de

\sum_(i = 1)^k F_i

n'admet qu'une seule décomposition de la forme précédente. Dans ce cas, et seulement dans ce cas, la somme des sous-espaces vectoriels

F_1, F_2, \dots, F_k

est notée

⨁_(i = 1)^k F_i

.
L'objet de ce problème est la mise en évidence de quelques propriétés algébriques dont les conséquences probabilistes fondent les tests statistiques qui permettent de mesurer l'influence effective d'une ou plusieurs variables explicatives sur une variable endogène.
La partie II est indépendante de la partie I.

Partie I. Partitions de l'identité.

Soit

k

endomorphismes

u_1, u_2, \dots, u_k

E

. On dit que

u_1, u_2, \dots, u_k

constituent une partition de l'identité de

E

si :

u_1 + u_2 + \dots + u_k = id_E

Exemple 1. Dans cette question, $n = 3$ et $E = R^3$ . Soit $A = (0, 1, 0; 0, 0, 0; 0, 0, - 1)$ et $f$ l'endomorphisme de $R^3$ de matrice $A$ dans la base canonique de $R^3$ .
a) Préciser le spectre de la matrice $A$ et montrer que $A$ n'est pas diagonalisable.
b) Montrer que le polynôme $Q \in R[X]$ tel que $Q(X) = X^3 + X^2$ est un polynôme annulateur de $A$ .
c) Existe-t-il un polynôme de degré 2 annulateur de $A$ ?
d) Trouver deux polynômes $Q_1$ et $Q_2$ de $R[X]$ pour lesquels les deux endomorphismes $Q_1(f)$ et $Q_2(f)$ sont des projecteurs et constituent une partition de l'identité de $R^3$ .
Exemple 2. On considère dans cette question un endomorphisme $f$ de $E$ diagonalisable et possédant $k$ valeurs propres distinctes $λ_1, λ_2, \dots, λ_k$ .
Pour tout $i \in [ [1, k] ]$ , on note :

$L_i(X)$ le polynôme de $R[X]$ défini par $L_i(X) = \prod_(j \in [1, k]; j \neq i)((X - λ_j)/(λ_i - λ_j))$ ;
$E_(λ_i)(f)$ le sous-espace propre de $f$ associé à la valeur propre $λ_i$ ;
$v_i$ l'endomorphisme de $E$ défini par $v_i = L_i(f)$ .
a) Justifier l'égalité : $E = ⨁_(i = 1)^k E_(λ_i)(f)$ . En déduire que $\prod_(j = 1)^k(X - λ_j)$ est un polynôme annulateur de $f$ .
b) Établir pour tout $i \in [ [1, k] ]$ , l'inclusion : $Im(v_i) \subset E_(λ_i)(f)$ .
c) Pour tout $j \in [ [1, k] ]$ , calculer la somme : $\sum_(i = 1)^k L_i(λ_j)$ . En déduire que les endomorphismes $v_1, v_2, \dots, v_k$ constituent une partition de l'identité de $E$ .
d) Établir pour tout $i \in [ [1, k] ]$ , l'égalité: $Im(v_i) = E_(λ_i)(f)$ . Identifier l'endomorphisme $v_1$ .

Soit $k$ endomorphismes $u_1, u_2, \dots, u_k$ de $E$ qui constituent une partition de l'identité de $E$ .

Pour tout

i \in [ [1, k] ]

, on note

r_i

le rang de

u_i

.
a) Établir les relations :

E = \sum_(i = 1)^k Im(u_i)

n ⩽ \sum_(i = 1)^k r_i

.
b) Montrer que les sous-espaces vectoriels

Im(u_1), Im(u_2), \dots, Im(u_k)

sont en somme directe si et seulement si on a

: n = \sum_(i = 1)^k r_i

,
c) Dans cette question, on cherche à montrer l'équivalence des propriétés (1), (2) et (3) suivantes :
(1)

n = \sum_(i = 1)^k r_i

.
(2) Les endomorphismes

u_1, u_2, \dots, u_k

sont des projecteurs.
(3) Pour tout

(i, j) \in [ [1, k] ]^2

, avec

i \neq j

, on a :

u_i \circ u_j = 0_(L(E))

.
(i) En utilisant la trace des matrices de projecteurs, justifier l'implication (2) ⟹ (1).
(ii) À l'aide de la question 3.b) et en écrivant, pour

x \in E

, les vecteurs

u_1(x), u_2(x), \dots, u_k(x)

comme des sommes de

k

vecteurs, établir l'implication (1) ⟹ (3).
(iii) Conclure en établissant une troisième implication.

Partie II. Représentation matricielle d'un projecteur orthogonal.

4.a) Soit

p

un endomorphisme de

E

P

la matrice de

p

dans la base

B

Montrer que

p

est un projecteur orthogonal si et seulement si on a :

P^2 = P

^t P = P

.
b) Soit

f

un endomorphisme de

E

M

la matrice de

f

dans la base

B

Établir l'existence d'un réel

α

et d'un projecteur orthogonal

p

tels que

f = αp

, si et seulement si on a :

tr(M)M^2 = tr(M^2)M

^t M = M

, où

tr(M)

tr(M^2)

sont les traces respectives de

M

M^2

.
5.a) Écrire en Scilab une fonction "function

t = tr(A)

" qui calcule la trace d'une matrice carrée

A

.
b) La fonction "issym" suivante permet de tester si une matrice carrée

A

de taille

n

donnée est symétrique.

function b=issym(n,A)
    b=%T; // affectation de la valeur booléenne True à la variable b,
    for i=1:n=1
        for j=i+1:n
            b=b & A(i,j)==A(j,i)
        end ;
    end ;
endfunction

Préciser la signification de la ligne (5) du code et donner un exemple d'utilisation de la fonction "issym" en indiquant les valeurs d'entrée ainsi que la valeur de sortie obtenue.
c) La fonction "orthoproj" suivante, dont une ligne de code est incomplète, permet de tester si, pour une matrice carrée

M

de taille

n

donnée, il existe un réel

α

et un projecteur orthogonal

p

pour lesquels

M

est la matrice de l'endomorphisme

αp

dans une base orthonormale. Cette fonction utilise les deux fonctions précédentes (questions 5.a) et 5.b)) et s'appuie sur la condition nécessaire et suffisante de la question 4.b),

function b=orthoproj(n,M)
    A=tr(M)*Mn2;
    B=tr(M*2)*M;
    b=issym(n,M);
    if b then
        for i=1:n
            for jwiln
                b=......
            end ;
            ;
    end ;
endfunction

Compléter la ligne (8) du code et donner les valeurs de sortie obtenues par application de cette fonction aux deux matrices

(1, 1; 1, 0)

(1, 1; 1, 1)

Les définitions et notations suivantes concernent les questions 6 à 9 .
Pour tout vecteur

x \in E

, on note

X

la matrice colonne de ses coordonnées dans la base

B

.
Soit

F = (s_1, s_2, \dots, s_k)

une famille de

k

vecteurs de

E

F

le sous-espace vectoriel de

E

engendré par

F

.
On note

S

la matrice de

M_(n, k)(R)

dont les colonnes sont, dans cet ordre,

S_1, S_2, \dots, S_k

.
On rappelle que

p_F

est le projecteur orthogonal d'image

F

.
6.a) Montrer que les deux matrices

S

^t SS

ont le même rang.
b) Soit

y \in E

. Montrer que

y \in F

si et seulement si il existe une matrice

Z \in M_(k, 1)(R)

telle que

Y = SZ

.
c) Soit

y \in E

. Montrer que

y \in F^⊥

si et seulement si la matrice colonne

^t SY

est nulle.
d) Soit

x \in E

y = p_F(x)

. Établir l'existence d'une matrice

Z \in M_(k, 1)(R)

telle que

Y = SZ

^t SX = ^t SSZ

.
e) En déduire l'expression de la matrice de

p_F

dans la base

B

en fonction de

S

lorsque la famille

F

est libre.
7. Soit

M

une matrice symétrique de

M_k(R)

. On appelle inverse de Penrose-Moore de

M

toute matrice

N

M_k(R)

qui vérífie les quatre propriétés suivantes:

MNM = M; NMN = N; ^t(MN) = MN; ^t(NM) = NM

a) Établir l'existence d'une matrice

Q \in M_k(R)

et de réels

ρ_1, ρ_2, \dots, ρ_k

qui vérifient la relation suivante:

M = QDiag(ρ_1, ρ_2, \dots, ρ_k)^t Q

b) On note

h

l'application de

R

dans

R

telle que :

\forallt \in R, h(t) = {1/t, si t \neq 0; 0, si t = 0

. On note

M^((-))

la matrice définie par :

M^((-)) = QDiag(h(ρ_1), h(ρ_2), \dots, h(ρ_k))^' Q

.
Montrer que

M^((-))

est une inverse de Penrose-Moore de

M

.
c) Soit

N

une inverse de Penrose-Moore de

M

.
(i) Justifier les égalités :

N = M^t NN

M^2 N = M

.
(ii) Soit

U

une matrice de

M_k(R)

. On suppose que

M^2 U

est nulle. Montrer que

MU

est nulle.
(iii) On pose:

U = N - M^((-))

. Justifier que

M^((-))

est l'unique inverse de Penrose-Moore de

M

.
8. On note

(^t SS)^((-))

l'unique inverse de Penrose-Moore de la matrice

^t SS

et on pose :

P = S(^t SS)^((-))^t S

.
a) Montrer que les matrices

P

S

ont le même rang.
b) Justifier que

P

est la matrice de

p_F

dans la base

B

et que son expression généralise la formule trouvée dans la question 6.e) lorsque la famille

F

est libre.
9. Exemple. On suppose que :

k = 2, s_1 = (α_1, α_2, \dots, α_n), s_2 = (β_1, β_2, \dots, β_n), s_1 \neq 0_E

^t SS

non inversible.
a) Établir l'existence d'un réel

θ

tel que pour tout

i \in [ [1, n] ]

, on a :

β_i = θα_i

.
b) Déterminer une matrice carrée

Q

pour laquelle la matrice '

Q

SSQ

est diagonale.
c) En déduire l'inverse de Penrose-Moore de la matrice

^t SS

.
d) Soit

x = x_1 e_1 + x_2 e_2 + \dots + x_n e_n

un vecteur de

E

, Calculer

p_F(x)

Partie III. Application probabiliste.

Dans cette partie,

E = R^n

et on suppose que toutes les variables aléatoires et tous les vecteurs aléatoires considérés sont définis sur le même espace probabilisé (

Ω, A, P

).
Pour tout entier

d ⩾ 1

, on dit qu'une variable aléatoire

C

suit la loi du khi-deux de paramètre

d

, notée

χ^2(d)

, si la variable aléatoire

C/2

suit la loi

γ(d/2)

.
On appelle variable gaussienne toute variable aléatoire

X

qui suit une loi normale ou qui est certaine, et on note sa loi

G(μ, σ^2)

, où

μ

est l'espérance de

X

σ

l'écart-type de

X

.
Autrement dit, pour tout couple

(μ, σ) \in R \times R_+

, une variable aléatoire

X

suit la loi

G(μ, σ^2)

, soit lorsque

σ > 0

X

suit la loi normale

N(μ, σ^2)

, soit lorsque

σ = 0

P([X = μ]) = 1

.
10. Soit

(μ, σ) \in R \times R_+^*

et soit

X_1, X_2, \dots, X_n

des variables aléatoíres mutuellement indépendantes et de même loi normale

N(μ, σ^2)

. Montrer que la variable aléatoíre

\sum_(i = 1)^n((X_i - μ)/σ)^2

suit la loi

χ^2(n)

.
Si

G_1, G_2, \dots, G_n

sont des variables aléatoires réelles telles que pour tout

a = (a_1, a_2, \dots, a_n) \in R^n

, la variable aléatoire

\sum_(i = 1)^n a_i G_i

est une variable gaussienne centrée, alors on dit que le vecteur aléatoire

(G_1, G_2, \dots, G_n)

est un vecteur gaussien et on note

G

la matrice colonne de composantes

G_1, G_2, \dots, G_n

.
11. Soit

(G_1, G_2, \dots, G_n)

un vecteur gaussien,

M

une matrice de

M_n(R)

(H_1, H_2, \dots, H_n)

un vecteur aléatoire tel que la matrice colonne

H

de composantes

H_1, H_2, \dots, H_n

vérifie :

H = MG

.
a) Montrer que

(H_1, H_2, \dots, H_n)

est un vecteur gaussien.
b) Justifier que pour tout

(i, j) \in [ [1, n] ]^2

, la variable aléatoire

G_i G_j

admet une cspérance, notée

E(G_i G_j)

On note alors

Λ(G)

la matrice de

M_n(R)

définie par :

Λ(G) = (E(G_i G_j))_(1 \leq i, j \leq n)

et on admet dans la suite que la loi d'un vecteur gaussien

(G_1, G_2, \dots, G_n)

est caractérisée par la matrice

Λ(G)

.
Autrement dit, si

(G_1, G_2, \dots, G_n)

(R_1, R_2, \dots, R_n)

sont deux vecteurs gaussiens vérifiant

Λ(G) = Λ(R)

, alors ils ont la même loí, c'est-à-dire :

\forall(x_1, x_2, \dots, x_n) \in R^n, P(⋂_(i = 1)^n[G_i ⩽ x_i]) = P(⋂_(i = 1)^n[R_i ⩽ x_i])

.
12. On suppose que

G_1, G_2, \dots, G_n

sont des variables aléatoires mutuellement indépendantes et de même loi normale

N(0, 1)

.
a) Montrer que

(G_1, G_2, \dots, G_n)

est un vecteur gaussien. Déterminer

Λ(G)

.
b) Soit

Q

une matrice orthogonale de

M_n(R)

(H_1, H_2, \dots, H_n)

un vecteur alćatoire tel que la matrice colonne

H

de composantes

H_1, H_2, \dots, H_n

vérifie :

H = QG

.
Montrer que les variables aléatoires

H_1, H_2, \dots, H_n

sont mutuellement indépendantes et de même loi normale

N(0, 1)

.
13. Soit

(G_1, G_2, \dots, G_n)

un vecteur gaussien dont les composantes

G_1, G_2, \dots, G_n

sont mutuellement indépendantes et de variance égale à 1 .
Soít

P_1, P_2, \dots, P_k

des matríces symétriques de

M_n(R)

de rangs respectifs

r_1, r_2, \dots, r_k

.
On suppose que

\sum_(i = 1)^k P_i = I_n

\sum_(i = 1)^k r_i = n

.
a) Justifier que

P_1, P_2, \dots, P_k

sont des matrices de projecteurs orthogonaux de

R^n

dans la base canonique de

R^n

dont les images sont deux à deux orthogonales.
b) En déduire l'existence d'une matrice orthogonale

Q

M_n(R)

pour laquelle chacune des matrices

QP_1^' Q, QP_2^' Q, \dots, QP_k^' Q

est diagonale.
c) On suppose que

r_1 \neq 0

. Montrer que la variable aléatoire

^t GP_1 G

suit la loi

χ^2(r_1)

.
d) Montrer que les variables aléatoires

^t GP_1 G, ^t GP_2 G, \dots, ^t GP_k G

sont mutuellement indépendantes.
14. Soit

q

m

deux entiers supérieurs ou égaux à 2 et

(X_(i, j))_(1 ⩽ i ⩽ q; 1 ⩽ j ⩽ m)

une famille de

q \times m

variables aléatoires mutuellement indépendantes et de même loi normale

N(0, 1)

.
On pose :

X¯ = 1/(q \times m)\sum_(i = 1)^q\sum_(j = 1)^m X_(i, j)

et pour tout

j \in [ [1, m] ], Z_j = 1/q\sum_(i = 1)^q X_(i, j)

.
a) Déterminer les lois respectives des variables aléatoires

X¯

\sum_(i = 1)^q\sum_(j = 1)^m(X_(i, j) - X¯)^2

et établir l'indépendance de ces deux variables aléatoires.
b) Déterminer les lois respectives des variables aléatoires

\sum_(i = 1)^q\sum_(j = 1)^m(X_(i, j) - Z_j)^2

q\sum_(j = 1)^m(Z_j - X¯)^2

et établir l'indépendance de ces deux variables aléatoíres.

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