La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Dans tout le problème:

On note et deux entiers vérifiant et un -espace vectoriel de dimension muni d'un produit scalaire qui en fait un espace euclidien.
On note et respectivement, le vecteur nul et l'endomorphisme nul de et une base orthonormale de . L'endomorphisme identité de est noté id ,
Pour tout sous-espace vectoriel de , on note l'orthogonal de et le projecteur orthogonal d'image , c'est-à-dire l'unique endomorphisme de vérifiant : et .
On note l'ensemble des matrices à lignes et colonnes ( ) à cœfficients réels. La transposée d'une matrice est notée .
Pour tout , on note la matrice diagonale de dont les cœfficients diagonaux sont, dans cet ordre, .
On note la matrice identité de .

On rappelle que la somme de

sous-espaces vectoriels

est le sous-espace vectoriel de

, noté

, défini par:

.
On rappelle aussi que les sous-espaces vectoriels

sont en somme directe si chaque vecteur de

n'admet qu'une seule décomposition de la forme précédente. Dans ce cas, et seulement dans ce cas, la somme des sous-espaces vectoriels

est notée

.
L'objet de ce problème est la mise en évidence de quelques propriétés algébriques dont les conséquences probabilistes fondent les tests statistiques qui permettent de mesurer l'influence effective d'une ou plusieurs variables explicatives sur une variable endogène.
La partie II est indépendante de la partie I.

Partie I. Partitions de l'identité.

Soit

endomorphismes

. On dit que

constituent une partition de l'identité de

si :

Exemple 1. Dans cette question, et . Soit et l'endomorphisme de de matrice dans la base canonique de .
a) Préciser le spectre de la matrice et montrer que n'est pas diagonalisable.
b) Montrer que le polynôme tel que est un polynôme annulateur de .
c) Existe-t-il un polynôme de degré 2 annulateur de ?
d) Trouver deux polynômes et de pour lesquels les deux endomorphismes et sont des projecteurs et constituent une partition de l'identité de .
Exemple 2. On considère dans cette question un endomorphisme de diagonalisable et possédant valeurs propres distinctes .
Pour tout , on note :

le polynôme de défini par ;
le sous-espace propre de associé à la valeur propre ;
l'endomorphisme de défini par .
a) Justifier l'égalité : . En déduire que est un polynôme annulateur de .
b) Établir pour tout , l'inclusion : .
c) Pour tout , calculer la somme : . En déduire que les endomorphismes constituent une partition de l'identité de .
d) Établir pour tout , l'égalité: . Identifier l'endomorphisme .

Soit endomorphismes de qui constituent une partition de l'identité de .

Pour tout

, on note

le rang de

.
a) Établir les relations :

.
b) Montrer que les sous-espaces vectoriels

sont en somme directe si et seulement si on a

,
c) Dans cette question, on cherche à montrer l'équivalence des propriétés (1), (2) et (3) suivantes :
(1)

.
(2) Les endomorphismes

sont des projecteurs.
(3) Pour tout

, avec

, on a :

.
(i) En utilisant la trace des matrices de projecteurs, justifier l'implication (2) ⟹ (1).
(ii) À l'aide de la question 3.b) et en écrivant, pour

, les vecteurs

comme des sommes de

vecteurs, établir l'implication (1) ⟹ (3).
(iii) Conclure en établissant une troisième implication.

Partie II. Représentation matricielle d'un projecteur orthogonal.

4.a) Soit

un endomorphisme de

la matrice de

dans la base

Montrer que

est un projecteur orthogonal si et seulement si on a :

.
b) Soit

un endomorphisme de

la matrice de

dans la base

Établir l'existence d'un réel

et d'un projecteur orthogonal

tels que

, si et seulement si on a :

, où

sont les traces respectives de

.
5.a) Écrire en Scilab une fonction "function

" qui calcule la trace d'une matrice carrée

.
b) La fonction "issym" suivante permet de tester si une matrice carrée

de taille

donnée est symétrique.

function b=issym(n,A)
    b=%T; // affectation de la valeur booléenne True à la variable b,
    for i=1:n=1
        for j=i+1:n
            b=b & A(i,j)==A(j,i)
        end ;
    end ;
endfunction

Préciser la signification de la ligne (5) du code et donner un exemple d'utilisation de la fonction "issym" en indiquant les valeurs d'entrée ainsi que la valeur de sortie obtenue.
c) La fonction "orthoproj" suivante, dont une ligne de code est incomplète, permet de tester si, pour une matrice carrée

de taille

donnée, il existe un réel

et un projecteur orthogonal

pour lesquels

est la matrice de l'endomorphisme

dans une base orthonormale. Cette fonction utilise les deux fonctions précédentes (questions 5.a) et 5.b)) et s'appuie sur la condition nécessaire et suffisante de la question 4.b),

function b=orthoproj(n,M)
    A=tr(M)*Mn2;
    B=tr(M*2)*M;
    b=issym(n,M);
    if b then
        for i=1:n
            for jwiln
                b=......
            end ;
            ;
    end ;
endfunction

Compléter la ligne (8) du code et donner les valeurs de sortie obtenues par application de cette fonction aux deux matrices

Les définitions et notations suivantes concernent les questions 6 à 9 .
Pour tout vecteur

, on note

la matrice colonne de ses coordonnées dans la base

.
Soit

une famille de

vecteurs de

le sous-espace vectoriel de

engendré par

.
On note

la matrice de

dont les colonnes sont, dans cet ordre,

.
On rappelle que

est le projecteur orthogonal d'image

.
6.a) Montrer que les deux matrices

ont le même rang.
b) Soit

. Montrer que

si et seulement si il existe une matrice

telle que

.
c) Soit

. Montrer que

si et seulement si la matrice colonne

est nulle.
d) Soit

. Établir l'existence d'une matrice

telle que

.
e) En déduire l'expression de la matrice de

dans la base

en fonction de

lorsque la famille

est libre.
7. Soit

une matrice symétrique de

. On appelle inverse de Penrose-Moore de

toute matrice

qui vérífie les quatre propriétés suivantes:

a) Établir l'existence d'une matrice

et de réels

qui vérifient la relation suivante:

b) On note

l'application de

dans

telle que :

. On note

la matrice définie par :

.
Montrer que

est une inverse de Penrose-Moore de

.
c) Soit

une inverse de Penrose-Moore de

.
(i) Justifier les égalités :

.
(ii) Soit

une matrice de

. On suppose que

est nulle. Montrer que

est nulle.
(iii) On pose:

. Justifier que

est l'unique inverse de Penrose-Moore de

.
8. On note

l'unique inverse de Penrose-Moore de la matrice

et on pose :

.
a) Montrer que les matrices

ont le même rang.
b) Justifier que

est la matrice de

dans la base

et que son expression généralise la formule trouvée dans la question 6.e) lorsque la famille

est libre.
9. Exemple. On suppose que :

non inversible.
a) Établir l'existence d'un réel

tel que pour tout

, on a :

.
b) Déterminer une matrice carrée

pour laquelle la matrice '

est diagonale.
c) En déduire l'inverse de Penrose-Moore de la matrice

.
d) Soit

un vecteur de

, Calculer

Partie III. Application probabiliste.

Dans cette partie,

et on suppose que toutes les variables aléatoires et tous les vecteurs aléatoires considérés sont définis sur le même espace probabilisé (

).
Pour tout entier

, on dit qu'une variable aléatoire

suit la loi du khi-deux de paramètre

, notée

, si la variable aléatoire

suit la loi

.
On appelle variable gaussienne toute variable aléatoire

qui suit une loi normale ou qui est certaine, et on note sa loi

, où

est l'espérance de

l'écart-type de

.
Autrement dit, pour tout couple

, une variable aléatoire

suit la loi

, soit lorsque

suit la loi normale

, soit lorsque

.
10. Soit

et soit

des variables aléatoíres mutuellement indépendantes et de même loi normale

. Montrer que la variable aléatoíre

suit la loi

.
Si

sont des variables aléatoires réelles telles que pour tout

, la variable aléatoire

est une variable gaussienne centrée, alors on dit que le vecteur aléatoire

est un vecteur gaussien et on note

la matrice colonne de composantes

.
11. Soit

un vecteur gaussien,

une matrice de

un vecteur aléatoire tel que la matrice colonne

de composantes

vérifie :

.
a) Montrer que

est un vecteur gaussien.
b) Justifier que pour tout

, la variable aléatoire

admet une cspérance, notée

On note alors

la matrice de

définie par :

et on admet dans la suite que la loi d'un vecteur gaussien

est caractérisée par la matrice

.
Autrement dit, si

sont deux vecteurs gaussiens vérifiant

, alors ils ont la même loí, c'est-à-dire :

.
12. On suppose que

sont des variables aléatoires mutuellement indépendantes et de même loi normale

.
a) Montrer que

est un vecteur gaussien. Déterminer

.
b) Soit

une matrice orthogonale de

un vecteur alćatoire tel que la matrice colonne

de composantes

vérifie :

.
Montrer que les variables aléatoires

sont mutuellement indépendantes et de même loi normale

.
13. Soit

un vecteur gaussien dont les composantes

sont mutuellement indépendantes et de variance égale à 1 .
Soít

des matríces symétriques de

de rangs respectifs

.
On suppose que

.
a) Justifier que

sont des matrices de projecteurs orthogonaux de

dans la base canonique de

dont les images sont deux à deux orthogonales.
b) En déduire l'existence d'une matrice orthogonale

pour laquelle chacune des matrices

est diagonale.
c) On suppose que

. Montrer que la variable aléatoire

suit la loi

.
d) Montrer que les variables aléatoires

sont mutuellement indépendantes.
14. Soit

deux entiers supérieurs ou égaux à 2 et

une famille de

variables aléatoires mutuellement indépendantes et de même loi normale

.
On pose :

et pour tout

.
a) Déterminer les lois respectives des variables aléatoires

et établir l'indépendance de ces deux variables aléatoires.
b) Déterminer les lois respectives des variables aléatoires

et établir l'indépendance de ces deux variables aléatoíres.

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\title{Conception : HEC Paris }

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