Source : document officiel du concours, épreuve du 3 mai 2021. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Abstract

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème.

EXERCICE I

On note

f

la fonction définie sur

]0, 1[

par :

f(t) = (lnt)/(t^2 - 1)

Q1. Soit

k \in ℕ

. Justifier l'existence puis calculer l'intégrale

I_k = \int_0^1 t^(2k)lnt dt

Q2. Justifier que la fonction

f

est intégrable sur

]0, 1[

, puis démontrer que :

\int_0^1 f(t)dt = (π^2)/8

On pourra utiliser librement que :

\sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^2) = (π^2)/6

EXERCICE II

Q3. Justifier que la fonction ln est concave sur

]0, + \infty[

et en déduire que :

\forall(a, b, c) \in ]0, + \infty[3, 3\sqrt(abc) \leq (a + b + c)/3

On note

f

la fonction définie sur

]0, + \infty[^2

par :

f(x; y) = x + y + 1/(xy)

Q4. Démontrer que

f

admet un unique point critique sur l'ouvert

]0, + \infty[^2

, puis démontrer que

f

admet un extremum global que l'on déterminera.

PROBLÈME Un peu d'arithmétique avec la fonction zêta de Riemann

On note

ζ

la fonction zêta de Riemann définie sur

]1, + \infty[

par :

ζ(x) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^x)

Le problème est constitué de trois parties indépendantes dans une large mesure.

Partie I - Algorithmique : calcul de zêta aux entiers pairs

La suite des nombres de Bernoulli notée

(b_n)_(n \in ℕ)

est définie par :

b_0 = 1, \foralln \geq 1, b_n = (- 1)/(n + 1)\sum_(k = 0)^(n - 1)((n + 1)/k)b_k.

Leonhard Euler (1707-1783) a démontré la formule suivante qui exprime les nombres

ζ(2k)

à l'aide des nombres de Bernoulli :

\forallk \in ℕ^*, ζ(2k) = ((- 1)^(k - 1)2^(2k - 1)π^(2k)b_(2k))/((2k)!)

Dans cette partie (informatique pour tous), on se propose de programmer le calcul des nombres de Bernoulli

b_n

afin d'obtenir des valeurs exactes de

ζ(2k)

Les algorithmes demandés doivent être écrits en langage Python. On sera très attentif à la rédaction du code notamment à l'indentation.

Q5. Écrire une fonction factorielle(n) qui renvoie la factorielle d'un entier

n \in ℕ

.
Q6. On considère la fonction Python suivante binom(n, p) qui renvoie le coefficient binomial

(n/p)

def binom(n, p):
    if not(0<= p <= n):
        return 0
    return factorielle(n)//(factorielle(p)*factorielle(n-p))

Combien de multiplications sont effectuées lorsque l'on exécute binom

(30, 10)

?
Expliquer pourquoi il est possible de réduire ce nombre de multiplications à 20 ? Quel serait le type du résultat renvoyé si l'on remplaçait la dernière ligne de la fonction binom par return factorielle(n)/(factorielle(p)*factorielle(n-p))?

Q7. Démontrer que, pour

n \geq p \geq 1

, on a

(n/p) = n/p((n - 1)/(p - 1))

En déduire une fonction récursive binom_rec (n,p) qui renvoie le coefficient binomial

(n/p)

Q8. Écrire une fonction non récursive bernoulli(n) qui renvoie une valeur approchée du nombre rationnel

b_n

. On pourra utiliser librement une fonction binomial (

n, p

) qui renvoie le coefficient binomial

(n/p)

.
Par exemple bernoulli(10) renvoie 0,07575757575757576 qui est une valeur approchée de

b_(10) = 5/(66)

Partie II - Généralités sur la fonction zêta

Pour tout

n \in ℕ^*

, on note

f_n

la fonction définie sur

]1, + \infty[

par :

f_n(x) = 1/(n^x)

Q9. Pour tout

a > 1

réel, démontrer que la série

\sum(lnn)/(n^a)

converge.
Q10. Démontrer que la fonction

ζ

est de classe

C^1

sur

]1, + \infty[

, puis qu'elle est décroissante.
Q11. La série de fonctions

\sumf_n

converge-t-elle uniformément sur

]1, + \infty[

?
Q12. Déterminer la limite de

ζ

+ \infty

.
Q13. Soit

x > 1

. On pose :

I(x) = \int_1^(+ \infty)(dt)/(t^x)

Démontrer que :

I(x) \leq ζ(x) \leq I(x) + 1

En déduire un équivalent de

ζ

au voisinage de 1 .
Q14. Un premier lien avec l'arithmétique : pour tout

n \in ℕ^*

, on note

d_n

le nombre de diviseurs de l'entier

n

. On pose

A = ℕ^* \times ℕ^*

et on prend

x > 1

. Justifier que la famille

(1/((ab)^x))_((a, b) \in A)

est sommable et que sa somme vaut

ζ(x)^2

. En déduire que:

ζ^2(x) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)(d_n)/(n^x)

On pourra considérer la réunion

\cup _(n \in ℕ^*)A_n

où

A_n = {(a, b) ∈ A, ab = n}

Partie III - Produit eulérien

Soit

s > 1

un réel fixé. On définit une variable aléatoire

X

à valeurs dans

ℕ^*

sur un espace probabilisé (

Ω, A, P

) par :

\forallk \in ℕ^*, P(X = k) = 1/(ζ(s)k^s)

On rappelle qu'un entier

a

divise un entier

b

s'il existe un entier

c

tel que

b = ac

. On note alors

a|b

.
Q15. Soit

a \in ℕ^*

. Démontrer que

P(X \in aℕ^*) = 1/(a^s)

.
Q16. Soient

a_1, a_2, \dots, a_n

dans

ℕ^*

des entiers premiers entre eux deux à deux et

N \in ℕ^*

.
Démontrer par récurrence sur

n

que :

(a_1|N, a_2|N, \dots, a_n|N) \Leftrightarrow a_1 \times a_2 \times \dots \times a_n|N.

Le résultat persiste-t-il si les entiers

a_1, a_2, \dots, a_n

sont seulement supposés premiers dans leur ensemble, c'est-à-dire lorsque leur PGCD vaut 1 ?

Q17. En déduire que si

a_1, a_2, \dots, a_n

sont des entiers de

ℕ^*

premiers entre eux deux à deux, alors les événements

[X \in a_1 ℕ^*], \dots, [X \in a_n ℕ^*]

sont mutuellement indépendants.
On pourra noter (

b_1, \dots, b_r

) une sous-famille de la famille (

a_1, \dots, a_n

On note

(p_n)_(n \in ℕ^*) = (2, 3, 5, 7, 11, \dots)

la suite croissante des nombres premiers.
Pour tout entier

n \in ℕ^*

, on note

B_n

l'ensemble des

ω \in Ω

tels que

X(ω)

n'est divisible par aucun des nombres premiers

p_1, p_2, \dots, p_n

Q18. Soit

n \in ℕ^*

. Déduire des questions précédentes que :

P(B_n) = \prod_(k = 1)^n(1 - 1/(p_k^s)).

Q19. Soit

ω

dans

⋂_(n \in ℕ^*)B_n

. Que vaut

X(ω)

? En déduire que :

ζ(s) = lim_(n \to + \infty)\prod_(k = 1)^n 1/(1 - 1/(p_k^s))

On se propose, en application, de prouver que la série

\sum1/(p_n)

des inverses des nombres premiers diverge. On raisonne pour cela par l'absurde en supposant que la série

\sum1/(p_n)

converge.
On pose pour tout

n \in ℕ^*

u_n = \prod_(k = 1)^n 1/(1 - 1/(p_k)).

Q20. Justifier que la suite (

u_n

) converge vers un réel

l

et que l'on a pour tout réel

s > 1, l \geq ζ(s)

. Conclure.

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