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CCINP Mathématiques 1 MP 2021

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Algèbre généraleIntégrales généraliséesSéries et familles sommablesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités finies, discrètes et dénombrement
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Mathématiques
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Abstract

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème.

EXERCICE I

On note la fonction définie sur par :
Q1. Soit . Justifier l'existence puis calculer l'intégrale
Q2. Justifier que la fonction est intégrable sur , puis démontrer que :
On pourra utiliser librement que :

EXERCICE II

Q3. Justifier que la fonction ln est concave sur et en déduire que :
On note la fonction définie sur par :
Q4. Démontrer que admet un unique point critique sur l'ouvert , puis démontrer que admet un extremum global que l'on déterminera.

PROBLÈME Un peu d'arithmétique avec la fonction zêta de Riemann

On note la fonction zêta de Riemann définie sur par :
Le problème est constitué de trois parties indépendantes dans une large mesure.

Partie I - Algorithmique : calcul de zêta aux entiers pairs

La suite des nombres de Bernoulli notée est définie par :
Leonhard Euler (1707-1783) a démontré la formule suivante qui exprime les nombres à l'aide des nombres de Bernoulli :
Dans cette partie (informatique pour tous), on se propose de programmer le calcul des nombres de Bernoulli afin d'obtenir des valeurs exactes de .
Les algorithmes demandés doivent être écrits en langage Python. On sera très attentif à la rédaction du code notamment à l'indentation.
Q5. Écrire une fonction factorielle(n) qui renvoie la factorielle d'un entier .
Q6. On considère la fonction Python suivante binom(n, p) qui renvoie le coefficient binomial :
def binom(n, p):
    if not(0<= p <= n):
        return 0
    return factorielle(n)//(factorielle(p)*factorielle(n-p))
Combien de multiplications sont effectuées lorsque l'on exécute binom ?
Expliquer pourquoi il est possible de réduire ce nombre de multiplications à 20 ? Quel serait le type du résultat renvoyé si l'on remplaçait la dernière ligne de la fonction binom par return factorielle(n)/(factorielle(p)*factorielle(n-p))?
Q7. Démontrer que, pour , on a
En déduire une fonction récursive binom_rec (n,p) qui renvoie le coefficient binomial .
Q8. Écrire une fonction non récursive bernoulli(n) qui renvoie une valeur approchée du nombre rationnel . On pourra utiliser librement une fonction binomial ( ) qui renvoie le coefficient binomial .
Par exemple bernoulli(10) renvoie 0,07575757575757576 qui est une valeur approchée de .

Partie II - Généralités sur la fonction zêta

Pour tout , on note la fonction définie sur par :
Q9. Pour tout réel, démontrer que la série converge.
Q10. Démontrer que la fonction est de classe sur , puis qu'elle est décroissante.
Q11. La série de fonctions converge-t-elle uniformément sur ?
Q12. Déterminer la limite de en .
Q13. Soit . On pose :
Démontrer que :
En déduire un équivalent de au voisinage de 1 .
Q14. Un premier lien avec l'arithmétique : pour tout , on note le nombre de diviseurs de l'entier . On pose et on prend . Justifier que la famille est sommable et que sa somme vaut . En déduire que:
On pourra considérer la réunion où .

Partie III - Produit eulérien

Soit un réel fixé. On définit une variable aléatoire à valeurs dans sur un espace probabilisé ( ) par :
On rappelle qu'un entier divise un entier s'il existe un entier tel que . On note alors .
Q15. Soit . Démontrer que .
Q16. Soient dans des entiers premiers entre eux deux à deux et .
Démontrer par récurrence sur que :
Le résultat persiste-t-il si les entiers sont seulement supposés premiers dans leur ensemble, c'est-à-dire lorsque leur PGCD vaut 1 ?
Q17. En déduire que si sont des entiers de premiers entre eux deux à deux, alors les événements sont mutuellement indépendants.
On pourra noter ( ) une sous-famille de la famille ( ).
On note la suite croissante des nombres premiers.
Pour tout entier , on note l'ensemble des tels que n'est divisible par aucun des nombres premiers .
Q18. Soit . Déduire des questions précédentes que :
Q19. Soit dans . Que vaut ? En déduire que :
On se propose, en application, de prouver que la série des inverses des nombres premiers diverge. On raisonne pour cela par l'absurde en supposant que la série converge.
On pose pour tout ,
Q20. Justifier que la suite ( ) converge vers un réel et que l'on a pour tout réel . Conclure.

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