CCINP Mathématiques 1 PC 2004

Soit l'ensemble des entiers naturels, et . Si et sont des entiers supérieurs ou égaux à 1 , on note le -espace vectoriel des matrices à coefficients dans ayant lignes et colonnes. Lorsque est noté plus simplement et est muni de sa structure d'algèbre, représentant la matrice identité. désigne l'ensemble des matrices inversibles de , l'ensemble des matrices symétriques de et l'ensemble des matrices orthogonales de .

Pour appartenant à désigne la matrice transposée de : c'est un élément de , est le noyau de défini par : et est l'image de définie par
est muni de son produit scalaire canonique noté et de la norme associée notée et on identifiera selon l'usage à .

Une matrice de est dite positive si :

et définie positive si :

On note l'ensemble des matrices symétriques réelles positives d'ordre et l'ensemble des matrices symétriques réelles définies positives d'ordre .

I. 1 Soit la matrice de donnée par :

a) Déterminer une base de chacun des sous-espaces vectoriels et . Existe-t-il une relation d'inclusion entre les noyaux et ?
b) Déterminer une base de chacun des sous-espaces vectoriels et . Existe-t-il une relation d'inclusion entre les images et ?
I. 2 Soit .
a) Montrer que et .
b) Montrer que .
c) Montrer que et .
I. 3 Soit un entier naturel non nul et un système de vecteurs de . On note le sous-espace vectoriel engendré par et la matrice de définie par pour tout . Le déterminant de est appelé déterminant de Gram du système et sera noté . Soit une base orthonormale de , on note pour tout de et la matrice de de terme général .
a) Montrer que et en déduire .
b) Montrer que est diagonalisable et que ses valeurs propres sont toutes positives.
c) En déduire que et que si et seulement si la famille ( ) est liée.
d) Montrer que l'inégalité de Cauchy-Schwarz avec sa condition nécessaire et suffisante d'égalité est un cas particulier de ce résultat.
I. 4 Montrer que reste invariant si l'on ajoute à l'un des vecteurs une combinaison linéaire des autres.
I. 5 Dans cette question est supérieur ou égal à 2 .
a) On note le sous-espace vectoriel engendré par ( ) et la projection orthogonale de sur , puis on pose . Montrer que :

b) En déduire successivement :
i) avec égalité si et seulement si est orthogonal à .
ii) avec égalité si et seulement si les vecteurs sont deux à deux orthogonaux.
I. 6 Soit et ses vecteurs colonnes.
a) Montrer que :

avec égalité si et seulement si les vecteurs sont deux à deux orthogonaux.
b) On suppose de plus: . Montrer que :

avec égalité si et seulement si est une matrice à coefficients dans et dont les vecteurs colonnes sont deux à deux orthogonaux.

On note :

où désigne le symbole de Kronecker :

Soit une permutation de et .
a) Donner le terme général de la matrice . Comment obtient-on cette matrice à partir de ?
b) Donner le terme général de la matrice . Comment obtient-on cette matrice à partir de ?
c) Montrer que si appartient à , il en est de même de , des matrices et pour toute permutation ainsi que des matrices et pour toute matrice de .
II. 4 Si et , on définit le produit direct de et par :

a) Montrer que si et , alors .
b) En déduire que contient toutes les puissances de 2 .
c) Montrer que l'ensemble est strictement inclus dans .
II. 5 Soit .
a) Montrer qu'il existe un élément de dont tous les coefficients de la première colonne valent 1 . Déduire alors de l'orthogonalité des vecteurs colonnes 1 et 2 d'une telle matrice que est pair. On pose .
b) Montrer qu'il existe un élément de dont tous les coefficients de la première colonne valent 1 et dont la deuxième colonne est constituée de coefficients égaux à 1 suivis de coefficients égaux à -1 . Déduire alors de l'orthogonalité du troisième vecteur colonne avec les vecteurs colonnes 1 et 2 que est un multiple de 4 .

III. 1 Soit . Montrer que si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives.
III. 2 Soit . On souhaite montrer l'existence de orthogonale et symétrique définie positive telle que .
a) Montrer que la matrice est symétrique définie positive.
b) En déduire qu'il existe tel que .
c) Montrer que est inversible et que est orthogonale.
d) Conclure. Dans toute la suite du problème on admettra l'unicité d'une telle factorisation.
III. 3 Soit ses valeurs propres non nécessairement distinctes, la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont et .
a) Montrer que .
b) Montrer qu'il existe une matrice orthogonale telle que et en déduire:

c) Montrer que .
III. 4 Soit . Pour toute matrice de , on pose :

a) Montrer que l'application ainsi définie de dans admet une borne supérieure que l'on notera .
b) Soit la matrice triangulaire inférieure d'ordre définie par si et si . Montrer que .
c) D'après la question III.2, on sait que avec orthogonale et symétrique définie positive. Montrer alors que , puis que .
d) Lorsque , évaluer et .