CCINP Mathématiques 1 PC 2004Sujet, corrigé et rapport du jury

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N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Notations

Soit

ℕ

l'ensemble des entiers naturels,

ℕ^∗ = ℕ∖{0}

ℕ_n = {1, 2, …, n}

. Si

n

p

sont des entiers supérieurs ou égaux à 1 , on note

M_(n, p)(ℝ)

ℝ

-espace vectoriel des matrices à coefficients dans

ℝ

ayant

n

lignes et

p

colonnes. Lorsque

p = n, M_(n, n)(ℝ)

est noté plus simplement

M_n(ℝ)

et est muni de sa structure d'algèbre,

I_n

représentant la matrice identité.

GL_n(ℝ)

désigne l'ensemble des matrices inversibles de

M_n(ℝ)

S_n(ℝ)

l'ensemble des matrices symétriques de

M_n(ℝ)

O_n(ℝ)

l'ensemble des matrices orthogonales de

M_n(ℝ)

Pour

A = (a_(ij))_(1 < i < γ_n; 1 \leq j < p)

appartenant à

M_(n, p)(ℝ), ^i A

désigne la matrice transposée de

A

: c'est un élément de

M_(p, n)(ℝ)

Ker(A)

est le noyau de

A

défini par :

Ker(A) = {X ∈ M_(p, 1)(ℝ)|AX = 0}

Im(A)

est l'image de

A

définie par

: Im(A) = {Y ∈ M_(n, 1)(ℝ)|∃X ∈ M_(p, 1)(ℝ), Y = AX}

ℝ^n

est muni de son produit scalaire canonique noté

< \cdot, \cdot >

et de la norme associée notée

‖ \cdot ‖

et on identifiera selon l'usage

M_(n, 1)(ℝ)

ℝ^n

Une matrice

S

S_n(ℝ)

est dite positive si :

\forallX \in M_(r, 1)(ℝ), ^t XSX \geq 0

et définie positive si :

∀X ∈ M_(r, 1)(ℝ)∖{0}, ^t XSX > 0

On note

S_n^+(ℝ)

l'ensemble des matrices symétriques réelles positives d'ordre

n

S_n^(+ +)(ℝ)

l'ensemble des matrices symétriques réelles définies positives d'ordre

n

PARTIE I

I. 1 Soit

M

la matrice de

M_4(ℝ)

donnée par :

M = (1, 1, 1, - 2; 0, 0, 0, 2; 1, 1, 1, 0; 0, 0, 0, 2)

a) Déterminer une base de chacun des sous-espaces vectoriels

Ker(M)

Ker(^i M)

. Existe-t-il une relation d'inclusion entre les noyaux

Ker(M)

Ker(^i M)

?
b) Déterminer une base de chacun des sous-espaces vectoriels

Im(M)

Im(^i M)

. Existe-t-il une relation d'inclusion entre les images

Im(M)

Im(^i M)

?
I. 2 Soit

A \in M_(n, p)(ℝ)

.
a) Montrer que

Ker(^i AA) = Ker(A)

Ker(A^i A) = Ker(^i A)

.
b) Montrer que

rg(^t AA) = rg(A^t A) = rg(A)

.
c) Montrer que

Im(^t AA) = Im(^t A)

Im(A^t A) = Im(A)

.
I. 3 Soit

q

un entier naturel non nul et

S = (x_1, x_2, \dots, x_q)

un système de

q

vecteurs de

ℝ^n

. On note

F

le sous-espace vectoriel engendré par

S, r = dimF

G = (g_(ij))

la matrice de

M_q(ℝ)

définie par

g_(ij)=<x_i, x_j >

pour tout

(i, j) \in ℕ_q^2

. Le déterminant de

G

est appelé déterminant de Gram du système

S

et sera noté

γ(x_1, x_2, \dots, x_q)

. Soit

(e_1, e_2, \dots, e_r)

une base orthonormale de

F

, on note pour tout

j

ℕ_q, x_j = \sum_(i = 1)^r b_(ij)e_i

B

la matrice de

M_(r, q)(ℝ)

de terme général

b_(ij)

.
a) Montrer que

G = ^t BB

et en déduire

rg(G) = rg(S)

.
b) Montrer que

G

est diagonalisable et que ses valeurs propres sont toutes positives.
c) En déduire que

γ(x_1, x_2, \dots, x_q) \geq 0

et que

γ(x_1, x_2, \dots, x_q) = 0

si et seulement si la famille (

x_1, x_2, \dots, x_q

) est liée.
d) Montrer que l'inégalité de Cauchy-Schwarz avec sa condition nécessaire et suffisante d'égalité est un cas particulier de ce résultat.
I. 4 Montrer que

γ(x_1, x_2, \dots, x_q)

reste invariant si l'on ajoute à l'un des vecteurs

x_i

une combinaison linéaire des autres.
I. 5 Dans cette question

q

est supérieur ou égal à 2 .
a) On note

L

le sous-espace vectoriel engendré par (

x_2, x_3, \dots, x_q

) et

p_L(x_1)

la projection orthogonale de

x_1

sur

L

, puis on pose

h_1 = x_1 - p_L(x_1)

. Montrer que :

γ(x_1, x_2, \dots, x_q) = ‖h_1‖^2 γ(x_2, x_3, \dots, x_q)

b) En déduire successivement :
i)

γ(x_1, x_2, \dots, x_q) \leq γ(x_1)γ(x_2, x_3, \dots, x_q)

avec égalité si et seulement si

x_1

est orthogonal à

L

.
ii)

γ(x_1, x_2, \dots, x_q) \leq γ(x_1)γ(x_2)\dotsγ(x_q)

avec égalité si et seulement si les vecteurs

x_1, x_2, \dots, x_q

sont deux à deux orthogonaux.
I. 6 Soit

A = (a_(ij)) \in GL_n(ℝ)

c_1, c_2, \dotsc_n

ses vecteurs colonnes.
a) Montrer que :

|detA| \leq \prod_(k = 1)^n‖c_k‖

avec égalité si et seulement si les vecteurs

c_1, \dots, c_n

sont deux à deux orthogonaux.
b) On suppose de plus:

\forall(i, j) \in ℕ_r^2, |a_(ij)| \leq 1

. Montrer que :

|detA| \leq n^(n/2)

avec égalité si et seulement si

A

est une matrice à coefficients dans

{ - 1, + 1}

et dont les vecteurs colonnes sont deux à deux orthogonaux.

PARTIE II

On note :

$H_n$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $n$ à coefficients dans ${ - 1, + 1}$ dont les vecteurs colonnes sont deux à deux orthogonaux.
$D_n$ l'ensemble des matrices diagonales d'ordre $n$ à coefficients diagonaux dans ${ - 1, + 1}$ .
$E$ l'ensemble des entiers naturels $n$ pour lesquels $H_n$ est non vide.
II. 1 Déterminer explicitement toutes les matrices éléments de $H_2$ .
II. 2 a) Montrer que toute matrice $A$ de $H_(n_0)$ vérifie $^i AA = nI_n$ .
b) Réciproquement toute matrice carrée $A$ vérifiant $^i AA = nI_n$ est-elle dans $H_n$ ?
c) Montrer que si $A$ est à coefficients dans ${ - 1, + 1}$ et vérifie $^i AA = nI_n$ , alors $A$ est dans $H_n$ .
II. 3 On appelle permutation $σ$ de $ℕ_(γ_s)$ toute bijection de $ℕ_(γ_s)$ sur lui-même et matrice de permutation $P^((σ))$ associée à la permutation $σ$ , la matrice d'éléments $P_(ij)^((σ))$ donnés par :

\forall(i, j) \in ℕ_m^2, P_(ij)^((σ)) = δ_(iσ(j))

où

δ_(kl)

désigne le symbole de Kronecker :

δ_(kl) = {1, si, k = l; 0, si, k ≠ l

Soit

σ

une permutation de

ℕ_n

A \in M_n(ℝ)

.
a) Donner le terme général de la matrice

^i P^((σ))A

. Comment obtient-on cette matrice

^i P^((σ))A

à partir de

A

?
b) Donner le terme général de la matrice

AP^((σ))

. Comment obtient-on cette matrice

AP^((σ))

à partir de

A

?
c) Montrer que si

A

appartient à

H_n

, il en est de même de

^i A

, des matrices

^i P^((σ))A

AP^((σ))

pour toute permutation

σ

ainsi que des matrices

AΔ

ΔA

pour toute matrice

Δ

D_r

.
II. 4 Si

A = (a_(ij)) \in M_2(ℝ)

B \in M_r(ℝ)

, on définit le produit direct de

A

B

par :

A \otimes B = (a_(11)B, a_(12)B; a_(21)B, a_(22)B) \in M_(2n_2)(ℝ)

a) Montrer que si

A \in H_2

B \in H_n

, alors

A \otimes B \in H_(2n)

.
b) En déduire que

E

contient toutes les puissances de 2 .
c) Montrer que l'ensemble

{A ⊗ B|(A, B) ∈ H_2 × H_2}

est strictement inclus dans

H_4

.
II. 5 Soit

n \in E, n > 2

.
a) Montrer qu'il existe un élément de

H_n

dont tous les coefficients de la première colonne valent 1 . Déduire alors de l'orthogonalité des vecteurs colonnes 1 et 2 d'une telle matrice que

n

est pair. On pose

n = 2m

.
b) Montrer qu'il existe un élément de

H_(rs)

dont tous les coefficients de la première colonne valent 1 et dont la deuxième colonne est constituée de

m

coefficients égaux à 1 suivis de

m

coefficients égaux à -1 . Déduire alors de l'orthogonalité du troisième vecteur colonne avec les vecteurs colonnes 1 et 2 que

n

est un multiple de 4 .

PARTIE III

III. 1 Soit

S \in S_n(ℝ)

. Montrer que

S \in S_n^(+ +)(ℝ)

si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives.
III. 2 Soit

M \in GL_n(ℝ)

. On souhaite montrer l'existence de

R

orthogonale et

S

symétrique définie positive telle que

M = RS

.
a) Montrer que la matrice

^i MM

est symétrique définie positive.
b) En déduire qu'il existe

S \in S_(m^+)^(+ +)(ℝ)

tel que

^i MM = S^2

.
c) Montrer que

S

est inversible et que

MS^(- 1)

est orthogonale.
d) Conclure. Dans toute la suite du problème on admettra l'unicité d'une telle factorisation.
III. 3 Soit

Σ \in S_n^+(ℝ), λ_1, λ_2, \dots, λ_n

ses valeurs propres non nécessairement distinctes,

D

la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont

λ_1, λ_2, \dots, λ_n

Q \in O_n(ℝ)

.
a) Montrer que

Tr(Σ) = \sum_(i = 1)^(r_n)λ_i

.
b) Montrer qu'il existe une matrice orthogonale

Q_1

telle que

Tr(QΣ) = Tr(Q_1 D)

et en déduire:

Tr(QΣ) \leq Tr(Σ)

c) Montrer que

sup_(Q \in O_n(ℝ))[Tr(QΣ)] = Tr(Σ)

.
III. 4 Soit

n \in E

. Pour toute matrice

A = (a_(ij))

H_n

, on pose :

f(A) = \sum_(1 \leq i \leq j \leq n)a_(ij) = \sum_(i = 1)^n(\sum_(j = i)^n a_(ij))

a) Montrer que l'application

f

ainsi définie de

H_r

dans

ℝ

admet une borne supérieure que l'on notera

α_n

.
b) Soit

T = (t_(ij))

la matrice triangulaire inférieure d'ordre

n

définie par

t_(ij) = 1

i \geq j

t_(ij) = 0

i < j

. Montrer que

f(A) = Tr(AT)

.
c) D'après la question III.2, on sait que

T = RS

avec

R

orthogonale et

S

symétrique définie positive. Montrer alors que

f(A) \leq \sqrtnTr(S)

, puis que

α_n \leq \sqrtnTr(S)

.
d) Lorsque

n = 2

, évaluer

α_2

\sqrt2Tr(S)

Fin de l'énoncé

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