CCINP Mathématiques 1 PSI 2004Sujet et corrigé

Pas encore noté

Explorer les annales

BanqueCCINP Année2004 FilièrePSI MatièreMathématiques

Annales CCINP PSI Mathématiques CCINP PSI 2004 PSI Mathématiques Mathématiques 2004

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé

Lire en ligne LaTeX Word

Rapport du jury : non disponible

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Les calculatrices sont autorisées.

N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Notation et but du problème

On désigne par :

$E_0$ : le $R$ - espace vectoriel des fonctions $f$ définies sur $R_+$ à valeurs réelles, de classe $C^1$ sur $R_+$ , et qui vérifient $f(0) = 0$ ;
$E_1$ : l'ensemble des fonctions $f$ appartenant à $E_0$ et telles que la fonction $t \mapsto ((f(t))/t)^2$ soit intégrable sur $R_+^*$ ;
$E_2$ : l'ensemble des fonctions $f$ appartenant à $E_0$ et telles que la fonction $t \mapsto (f^'(t))^2$ soit intégrable sur $R_+$ .

On note :

N_1(f) = [\int_(R_+^*)((f(t))/t)^2 dt]^(1/2) pour f \in E_1; N_2(f) = [\int_(R_+)(f^'(t))^2 dt]^(1/2) pour f \in E_2.

Le but de ce problème est de comparer les ensembles

E_1

E_2

d'une part, les fonctions

N_1

N_2

d'autre part.
Les parties I et II sont consacrées à deux exemples, la partie III aborde le problème de comparaison de façon plus générale.

PARTIE I - Exemple 1

Dans cette partie, on suppose que

f

est la fonction définie sur

R_+

par

f(t) = Arctant

(où Arctan désigne la fonction Arctangente).
I.1/ Montrer que

f

appartient à

E_1

.
I.

2/

Montrer que, pour tout

x \in R_+^*

, la fonction

H_x : t \mapsto 1/((t^2 + 1)(t^2 + x^2))

est intégrable sur

R_+

, et qu'en particulier

f

appartient à

E_2

.
I.3/ Calcul de

N_2(f)

Pour

x \in R_+^*

, on note

φ(x) = \int_(R_+)H_x(t)dt

.
I.3.1/ Montrer que la fonction

φ

est continue sur

R_+^*

.
I.3.2/ Soit

x \in R_+^*, x \neq 1

; décomposer en éléments simples la fraction rationnelle de la variable

T

1/((T + 1)(T + x^2))

I.3.3/ En déduire l'expression explicite de

φ(x)

pour

x \in R_+^*, x \neq 1

.
I.3.4/ Quelle est la valeur de

N_2(f)

?
I.4/ Etudier le signe de

u - Arctanu

, pour

u \in R_+

.
I.5/ Montrer que, pour tout

x \in R_+

, la fonction

G_x : t \mapsto (Arctan(xt))/(t(t^2 + 1))

est intégrable sur

R_+^*

.
I.6/ Calcul de

N_1(f)

Pour

x \in R_+

, on pose

θ(x) = \int_(R_+^*)G_x(t)dt

.
I.6.1/ Montrer que la fonction

θ

est continue sur

R_+

.
I.6.2/ Montrer que la fonction

θ

est de classe

C^1

sur

R_+

.
I.6.3/ Expliciter

θ^'(x)

pour

x \in R_+

.
I.6.4/Expliciter

θ(x)

pour

x \in R_+

.
I.6.5/ Etablir une relation entre

[N_1(f)]^2

θ(1)

.
I.6.6/ En déduire la valeur de

N_1(f)

et celle de

(N_1(f))/(N_2(f))

PARTIE II - Exemple 2

Dans cette partie, on suppose que

f

est la fonction définie sur

R_+

par

f(t) = ln(t + \sqrt(t^2 + 1))

(où ln désigne la fonction logarithme népérien).
II.1/ Calculer

f^'(t)

pour

t \in R_+

. En déduire que

f

appartient à

E_2

. Quelle est la valeur de

N_2(f)

?
II.2/ Déterminer un équivalent (simple !) de

f(t)

lorsque

t \to 0^+

(respectivement lorsque

t \to + \infty)

.
II.3/ Montrer que

f

appartient à

E_1

II.4/ Calcul d'une intégrale.

II.4.1/ Montrer que la fonction

t \mapsto (- lnt)/(1 - t^2)

est intégrable sur l'intervalle

]0, 1[

On note désormais

J = \int_(]0, 1[)(- lnt)/(1 - t^2)dt

.
II.4.2/ Montrer que, pour tout

k \in N

, la fonction

t \mapsto - t^(2k)lnt

est intégrable sur l'intervalle

]0, 1[;

expliciter la valeur de

: J_k = \int_(]0, 1[)(- t^(2k)lnt)dt

.
II.4.3/ Justifier avec soin l'égalité :

J = \sum_(k = 0)^(+ \infty)J_k = \sum_(k = 0)^(+ \infty)\int_(0, 1[)(- t^(2k)lnt)dt

.
II.4.4/ Déduire de ce qui précède la valeur de l'intégrale

J

, sachant que la série

\sum_(n \geq 1)1/(n^2)

converge et que

\sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^2) = (π^2)/6

II.5/ Calcul de $N_1(f)$ .

Pour simplifier, on note

I = (N_1(f))^2 = \int_(R_+)((f(t))/t)^2 dt

.
On rappelle que

shu = (e^u - e^(- u))/2, chu = (e^u + e^(- u))/2

pour (

u \in R

) et la relation

ch^2 u - sh^2 u = 1

.
II.5.1/ Montrer que

I = 2\int_(R_+^*)(f(t))/(t\sqrt(t^2 + 1))dt

.
II.5.2/ Justifier le changement de variable

u = f(t) = ln(t + \sqrt(t^2 + 1))

dans l'intégrale obtenue dans la question II.5.1 ; que devient

I

quand on effectue ce changement? Même question pour le changement de variable

v = e^(- u)

.
II.5.3/ En déduire la valeur de

N_1(f)

, puis celle de

(N_1(f))/(N_2(f))

PARTIE III

Le but de cette partie est de comparer, d'une part, les ensembles

E_1

E_2

, et, d'autre part, les fonctions

N_1

N_2

.
III.1/ Soit

f

une fonction quelconque appartenant à

E_0

(donc de classe

C^1

sur

R_+

et telle que

f(0) = 0)

. On associe à

f

deux fonctions

g

h

définies sur

R_+^*

par

g(t) = (f(t))/(\sqrtt)

h(t) = (f(t))/t

pour tout

t > 0

. On pose

α = f^'(0)

.
III.1.1/ Quelle est la limite de

h(t)

(respectivement de

g(t)

) lorsque

t \to 0^+

?
III.1.2/ Exprimer

f^'(t) - \sqrttg^'(t)

en fonction de

h(t)

lorsque

t \in R_+^*

.
III.1.3/ Quelle est la limite de

\sqrttg^'(t)

(respectivement de

g(t) \cdot g^'(t)

) lorsque

t \to 0^+

? (on exprimera les résultats en fonction de

α = f^'(0)

).
III.1.4/ Etablir, pour

x > 0

, la relation :

(R) \int_([0, x])(f^'(t))^2 dt = 1/2(g(x))^2 + \int_([0, x])(\sqrttg^'(t))^2 dt + 1/4\int_([0, x])(h(t))^2 dt.

(après avoir justifié l'intégrabilité sur []

_(0, x)]

de chacune des fonctions qui interviennent).

III.2/ Comparaison de $E_1$ et $E_2$ .

III.2.1/ Déduire de la relation ( R ) l'inclusion :

E_2 \subset E_1

.
III.2.2/ Les ensembles

E_1

E_2

sont-ils égaux ? (On pourra considérer la fonction

t \mapsto sint

) .
III.3/ Comparaison de

N_1

N_2

.
III.3.1/ Montrer que

E_2

est un sous-espace vectoriel du

R

- espace vectoriel

E_0

On admettra sans justification que

N_1

N_2

sont des normes sur l'espace vectoriel

E_2

.
III.3.2/ Justifier l'inégalité :

N_1(f) \leq 2N_2(f)

, pour

f \in E_2

.
III.3.3/ Pour

n \in N^*

, on définit sur

R_+

la fonction

f_n

par

f_n(t) = e^(- t)sin(nt)

. Vérifier que

f_n \in E_2

pour tout

n \in N^*

et calculer

N_2(f_n)

.
III.3.4/ Les normes

N_1

N_2

sont-elles équivalentes sur

E_2

?
III.4/ Soit

f

appartenant à

E_2

; en utilisant la relation ( R ), montrer que

g(t)

admet une limite lorsque

t \to + \infty

; quelle est cette limite ?

Fin de l'énoncé.

Pas de description pour le moment

Commentaires• CCINP Mathématiques 1 PSI 2004

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...

Explorer les annales

Téléchargements

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

Les calculatrices sont autorisées.

Notation et but du problème

PARTIE I - Exemple 1

PARTIE II - Exemple 2

II.4/ Calcul d'une intégrale.

II.5/ Calcul de N_1(f).

PARTIE III

III.2/ Comparaison de E_1 et E_2.

Commentaires• CCINP Mathématiques 1 PSI 2004

Commentaires• CCINP Mathématiques 1 PSI 2004

II.5/ Calcul de $N_1(f)$ .

III.2/ Comparaison de $E_1$ et $E_2$ .