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CCINP Mathématiques 1 PSI 2005Sujet, corrigé et rapport du jury

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N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Notation et Objectifs :

On note :
  • ℕ : l'ensemble des nombres entiers naturels,
  • ℝ : l'ensemble des nombres réels,
  • ℂ : l'ensemble des nombres complexes,
  • c^0 : le ℝ - espace vectoriel des fonctions continues de ℝ dans ℝ,
  • c_1^0 : le sous-espace vectoriel de c^0 des fonctions f 1-périodique (c'est-à-dire telles que f(x + 1) = f(x), pour tout x ∈ ℝ ).
Dans tout ce problème, on désigne par θ l'application de c^0 dans c^0, définie par : pour tout f ∈ c^0, θ(f) = F où F est la fonction de ℝ dans ℝ qui à x, associe ∫_x^(x + 1)f(t)dt.
On admet que θ est un endomorphisme de c^0.
L'objet de ce problème est l'étude de quelques propriétés de la fonction F et de l'endomorphisme θ.

PARTIE I

Quelques propriétés de F = θ(f)

I.1/ Exemples.

I.1.1/ Expliciter F(x), si f est définie sur ℝ par f(t) = 1.
I.1.2/ Expliciter F(x), si f est définie sur ℝ par f(t) = t^k (où k est fixé dans ℕ^∗ ).

I.2/ Variation de F = θ(f).

On désigne maintenant par f une fonction arbitraire de c^0.
I.2.1/ Montrer que la fonction F est de classe c^1 sur ℝ. Expliciter F^′(x) en fonction de f et de x.
I.2.2/ Montrer que si la fonction f est croissante (respectivement décroissante) sur un intervalle J_(x_0) = [x_0, + ∞[, alors la fonction F est croissante (respectivement décroissante) sur J_(x_0).
I.2.3/ Montrer que la fonction F = θ(f) est constante sur ℝ si et seulement si f appartient à c_1^0.
I.2.4/ Expliciter F(x), si f est définie sur ℝ par f(t) = |sin(πt)|.

On suppose de nouveau que f désigne une fonction arbitraire de c^0.

I.2.5/ On suppose que la fonction f admet une limite finie L_1 en + ∞.
Montrer que la fonction F admet une limite L_2 (que l'on explicitera) en + ∞; on pourra étudier d'abord le cas où L_1 = 0.

I.3/ Propriétés du graphe de F.

Soient f ∈ c^0 et F = θ(f).
On considère la fonction Ψ définie sur ℝ par Ψ(u) = F◻ − 1/2◻ = ∫_(u − 1/2)^(u + 1/2)f(t)dt.
I.3.1/ Comparer Ψ(− u) et Ψ(u), si la fonction f est impaire (respectivement paire).
I.3.2/ Quelle propriété géométrique de a représentation graphique de la fonction F peut-on déduire des résultats obtenus en I.3.1, si la fonction f est impaire (respectivement paire) ?

I.4/ Étude d'un exemple.

Soit f(t) = ∑_(k = 1)^(+ ∞)(e^(− kt^2))/(k^2 + 1), pour t réel.
I.4.1/ Montrer que la fonction f est définie et continue sur ℝ.
I.4.2/ La fonction f est-elle de classe c^1 sur ℝ ?
I.4.3/ La fonction f admet-elle une limite en + ∞ ? Si oui, laquelle?
I.4.4/ Indiquer l'allure de la représentation graphique de la fonction f (on ne cherchera pas à préciser f(0) ).
I.4.5/ La fonction f est-elle intégrable sur ℝ ?
I.4.6/ Soit F = θ(f).
I.4.6.1/ Indiquer l'allure de la représentation graphique de la fonction F.
I.4.6.2/ La fonction F est-elle intégrable sur ℝ ?
(on pourra comparer F(x) et f(x) pour x appartenant à ℝ_+).

PARTIE II

L'endomorphisme θ

II.1/ L'endomorphisme θ est-il surjectif ?

II.2/ Sur le noyau de ? .

On note désormais Ker? le noyau de l'endomorphisme θ.
II.2.1/ Montrer que f ∈ Ker? ⇔ [f ∈ c_1 et ∫_0^1 f(t)dt = 0].
II.2.2/ Soit (f, g) ∈ (c^∘_1)^2. On note ⟨f|g⟩ = ∫_0^1 f(t)g(t)dt.
On admettra, sans justification, que ⟨.|. ⟩estunproduitscalairesurc_1^0.
Soit k ∈ ℕ^∗. On note C_k la fonction définie sur ℝ par C_k(t) = cos(2πkt).
II.2.2.1/ Vérifier que C_k appartient à c_1^0 pour tout k ∈ ℕ^∗ et calculer ⟨C_j|C_k⟩ pour (j, k) ∈ (ℕ^∗)^2.
II.2.2.2/ Ker? est-il de dimension finie?
II.2.3/ Soit f ∈ c^0_1.
Soit n ∈ ℕ. On note : φ_n(x) = ∫_1^x f(t)dt pour x ∈ [n, n + 1].
Soit n ∈ ℕ^∗. On pose w_n = ∫_n^(n + 1)(f(t))/tdt.
II.2.3.1/ Établir, pour tout n ∈ ℕ^∗, la relation : W_n = (Φ_0(1))/(n + 1) + ∫_n^(n + 1)(Φ_n(t))/(t^2)dt.
II.2.3.2/ Si on suppose que f appartient à Ker?, quelle est la nature de la série ∑_(n ≥ 1)W_n?
II.2.3.3/ Si on suppose que f n'appartient pas à Ker ?, quelle est la nature de la série ∑_(n ≥)W_n ?

II.3/ Sur le spectre de θ.

On note Sp(θ) l'ensemble des valeurs propres réelles de l'endomorphisme θ.
Si a est un nombre réel fixé, on note h_a la fonction définie sur ℝ par h_a(t) = e^(at).
II.3.1/ Montrer que chaque h_a est un vecteur propre de l'endomorphisme θ.
II.3.2/ Étudier les variations de la fonction u ↦ (e^u − 1)/u pour u ∈ ℝ^∗.
II.3.3/ Expliciter l'ensemble ESp(θ) ∈ ∩ ℝ_+.

PARTIE III
Une suite de fonctions propres de l'endomorphisme θ

Soit λ une valeur propre de l'endomorphisme θ.
On note E_λ le sous-espace propre associé à la valeur propre λ qui est fixée dans toute cette partie.
On suppose λ > 0.
III.1/ Soit k ∈ ℕ^∗. On note I_k l'intervalle E2kπ, (2k + 1)πE.
On pose, pour tout t de l'intervalle I_k : g(t) = t = (cost)/(sint)◻ + ln◻, où ln désigne la fonction logarithme népérien.
III.1.1/ Soit ρ la fonction définie sur I_k, par: ρ(t) = tsin(2t) − t^2 − sin^2 t.
Étudier la fonction ρ sur I_k et préciser son signe.
III.1.2/Montrer que g définit une bijection de I_k sur un intervalle de ℝ à préciser.
On se propose de montrer l'existence, dans E_λ, d'une suite (non triviale) (f_k)_(k ∈ ℕ^∗) de fonctions propres.
III.2/ Soit γ = a + ib, où (a, b) ∈ ℝx]0, + ∞[.
III.2.1 Soit x ∈ ℝ. Calculer ∫_x^(x + 1)e^(γt)dt.
III.2.2/ À quelle condition nécessaire et suffisante la fonction h de ℝ dans ℝ définie par h(t) = e^(at)cos(bt) est-elle un vecteur propre de l'endomorphisme θ associé à la valeur propre λ ?
III.3/ En déduire une suite (f_k)_(k ∈ ℕ^∗) de fonctions propres de l'endomorphisme θ.

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