CCINP Mathématiques 1 PSI 2006
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Séries et familles sommablesSéries entières (et Fourier)Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales à paramètresEquations différentielles
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N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Le sujet comporte 6 pages.
Notations:
On note :
-
: l'ensemble des entiers naturels, -
: l'ensemble des nombres réels, -
: l'ensemble des nombres complexes.
Pour
Pour tout entier naturel
Pour tout entier naturel
-
la factorielle de avec la convention , -
l'ensemble des entiers naturels vérifiant ,
-
le nombre de parties ayant éléments d'un ensemble de éléments, pour .
On rappelle :
- la valeur de
pour , - la formule du binôme: si
et sont des nombres complexes et un entier naturel, alors : .
Enfin si
Objectifs :
Dans les parties I et II on étudie un procédé de sommation, la partie III est consacrée à l'étude de diverses fonctions et en particulier une fonction
Étude d'un procédé de sommation
Dans les parties I et II les notations utilisées sont les suivantes :
Toute application de
Á toute suite complexe
L'objet des parties I et II est de comparer les propriétés de la série
Toute application de
Á toute suite complexe
L'objet des parties I et II est de comparer les propriétés de la série
PARTIE I
Deux exemples
I.1/ Cas d'une suite constante.
Soit
I.1.1/Expliciter
I.1.2/Expliciter
I.1.3/La série
I.1.1/Expliciter
I.1.2/Expliciter
I.1.3/La série
I.2/ Cas d'une suite géométrique.
Soit
I.2.1/Exprimer
I.2.2/On suppose que
I.2.2.1/ Justifier la convergence de la série
I.2.2.2/ Justifier la convergence de la série
I.2.3/On suppose que
I.2.3.1 Quelle est la nature (convergente ou divergente) de la série
I.2.3.2/ Quelle est la nature de
I.2.3.3/ On suppose que
I.2.1/Exprimer
I.2.2/On suppose que
I.2.2.1/ Justifier la convergence de la série
I.2.2.2/ Justifier la convergence de la série
I.2.3/On suppose que
I.2.3.1 Quelle est la nature (convergente ou divergente) de la série
I.2.3.2/ Quelle est la nature de
I.2.3.3/ On suppose que
PARTIE II
Étude du procédé de sommation
Dans cette partie, et pour simplifier, on suppose que la suite
II.1/ Comparaison des convergences des deux suites.
II.1.1/ Soit
II.1.1.1/ Préciser un équivalent de
II.1.1.2/ En déduire la limite de
II.1.2/ Soient
II.1.1.1/ Préciser un équivalent de
II.1.1.2/ En déduire la limite de
II.1.2/ Soient
On considère pour
Quelle est la limite de
II.1.3/ On suppose que
II.1.4 On suppose que
II.1.5/ La convergence de la suite
Quelle est la limite de
II.1.3/ On suppose que
II.1.4 On suppose que
II.1.5/ La convergence de la suite
II.2/ Comparaison des convergences des séries
Pour
II.2.1/ Pour
II.2.2/ On se propose de déterminer l'expression explicite de
II.2.1/ Pour
II.2.2/ On se propose de déterminer l'expression explicite de
II.2.2.1/ A quelle expression des coefficients
II.2.2.2/ Etablir la formule
II.2.3/ On suppose que la série
II.2.2.2/ Etablir la formule
II.2.3/ On suppose que la série
Montrer que la série
II.2.4/La convergence de la série
II.2.4/La convergence de la série
PARTIE III
Une étude de fonctions
On rappelle que :
Pour
Pour
III.1/ Étude de
III.1.1/ Vérifier que
III.1.2/ Expliciter
III.1.3/ Expliciter
III.1.2/ Expliciter
III.1.3/ Expliciter
III.2/ Étude de
III.2.1/ Montrer que
III.2.2/ On désigne par
III.2.3/ Montrer que pour tout
III.2.2/ On désigne par
III.2.3/ Montrer que pour tout
III.3/ La fonction
On considère la fonction
III.3.1/ Montrer que la fonction
III.3.2/ Pour
III.3.2/ Pour
Exprimer
III.4/ La série
III.4/ La série
Pour
III.4.1/ Soit
III.4.1.1/ Montrer que la série
III.4.1.2/ En déduire que la suite de terme général
III.4.2/ Pour
III.4.3/ Montrer en utilisant III.4.1 et III.4.2 que la série
III.4.1/ Soit
III.4.1.1/ Montrer que la série
III.4.1.2/ En déduire que la suite de terme général
III.4.2/ Pour
III.4.3/ Montrer en utilisant III.4.1 et III.4.2 que la série
III.5/ Étude de la fonction
On rappelle que pour
III.5.1/ Déterminer le rayon de convergence
III.5.2/ Préciser l'ensemble de définition
III.5.3/ Valeur de
III.5.1/ Déterminer le rayon de convergence
III.5.2/ Préciser l'ensemble de définition
III.5.3/ Valeur de
En utilisant les résultats de la partie II et de la question III.4.3 expliciter la valeur de
III.5.4/ Expliciter
III.5.4/ Expliciter
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