CCINP Mathématiques 1 PSI 2006Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Étude d'un procédé de sommation et applications aux séries et aux équations différentielles

Le sujet étudie un procédé de sommation qui associe à une suite complexe une nouvelle suite définie par une moyenne pondérée de ses termes. Il compare la nature et la somme des deux séries associées, puis applique ce procédé à l'étude de plusieurs fonctions faisant intervenir séries entières et équations différentielles linéaires du premier ordre.

1Partie I : Deux exemplesÉtude du procédé de sommation dans le cas d'une suite constante puis d'une suite géométrique.
2Partie II : Étude du procédé de sommationComparaison des convergences des deux suites puis des deux séries associées par le procédé de sommation.
3Partie III : Une étude de fonctionsÉtude des fonctions f, g, F puis phi, avec une application du procédé de sommation et des équivalents.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que le sujet permettait de juger le degré de connaissance et le niveau de compréhension des candidats, avec des parties sans difficulté apparente qui ont pourtant gêné les candidats les plus fragiles.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Formule du binôme non reconnue · Utilisation hasardeuse des nombres complexes · Série entière confondue avec un polynôme

Le sujet permettait de juger le degré de connaissance et le niveau de compréhension de notions importantes d'analyse, ainsi que l'aptitude à concevoir une hypothèse et à mener une démonstration rigoureuse par récurrence. Les trois parties ont été assez largement abordées, mais le jury est surpris par le contraste entre des candidats capables de démonstrations fines et une méconnaissance de notions fondamentales comme les séries entières.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Formule du binôme non reconnueI.1.1
Un nombre non négligeable de candidats ne reconnaissent pas la formule du binôme à la question I.1.1, alors qu'elle figure dans les rappels en début d'énoncé.
2
Utilisation hasardeuse des nombres complexesPartie I
Le rapport relève plusieurs erreurs sur les nombres complexes, par exemple en confondant la partie réelle d'un produit avec un simple facteur.
« la partie réelle de »
3
Série entière confondue avec un polynômePartie III
Certains candidats ne reconnaissent pas les séries entières, allant jusqu'à assimiler une série entière à un polynôme.
« série entière = polynôme »
4
Caractère C-infini déduit à tort du seul rayon de convergencePartie III
Beaucoup de candidats pensent que trouver le rayon de convergence donne immédiatement le caractère indéfiniment dérivable de la somme, ce qui les conduit à des affirmations fausses sur la convergence normale.
5
Continuité d'une somme infinie affirmée sans justification
Certains candidats, par ailleurs compétents sur des points techniques fins, peuvent affirmer qu'une somme infinie de fonctions continues est continue, ce qui est faux en général.
« ce type de candida t peut affirmer qu'une somme (infinie) de fonctions continue est continue »

Ce qui a été bien réussi

L'étude de la fonction F en III.3, jugée un peu plus délicate, a pourtant reçu d'assez bonnes réponses.
Les bons candidats font une démonstration par récurrence claire et correcte pour la comparaison des convergences des deux séries en partie II.2.

Conseils du jury

Maîtriser précisément les notions d'équivalent, de petit o et grand O, et ne pas les manier sans discernement.
Ne pas conclure qu'un résultat est acquis après un calcul qui n'a aucune chance d'aboutir : privilégier une démonstration rigoureuse par récurrence.
Bien distinguer les propriétés qui découlent réellement du rayon de convergence d'une série entière de celles qui nécessitent une étude complémentaire.
Mettre en valeur ses connaissances par de la réflexion et du raisonnement plutôt que par des techniques isolées.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Les calculatrices sont autorisées.
N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet comporte 6 pages.

Notations:

On note :

$ℕ$ : l'ensemble des entiers naturels,
$ℝ$ : l'ensemble des nombres réels,
$ℂ$ : l'ensemble des nombres complexes.

Pour

z

appartenant à

ℂ

, on note

|z|

son module.
Pour tout entier naturel

n

, on note :

$n!$ la factorielle de $n$ avec la convention $0! = 1$ ,
$[ [0, n] ]$ l'ensemble des entiers naturels $k$ vérifiant $0 \leq k \leq n$ ,

$(n/k)$ le nombre de parties ayant $k$ éléments d'un ensemble de $n$ éléments, pour $k \in [ [0, n] ]$ .

On rappelle :

la valeur de $(n/k) : (n!)/(k!(n - k)!)$ pour $k \in [ [0, n] ]$ ,
la formule du binôme: si $z_1$ et $z_2$ sont des nombres complexes et $n$ un entier naturel, alors : $(z_1 + z_2)^n = \sum_(k = 0)^n(n/k)z_1^k z_2^(n - k)$ .

Enfin si

n

est un entier naturel non nul on note

σ_n

la somme

\sum_(k = 1)^n 1/k = 1 + 1/2 + \dots\dots + 1/n

et on pose

σ_0 = 0

Objectifs :

Dans les parties I et II on étudie un procédé de sommation, la partie III est consacrée à l'étude de diverses fonctions et en particulier une fonction

φ

à laquelle on applique ledit procédé de sommation.

Étude d'un procédé de sommation

Dans les parties I et II les notations utilisées sont les suivantes :
Toute application de

ℕ

dans

ℂ

étant une suite complexe, si a est une telle suite, on utilise la notation usuelle

a(n) = a_n

.
Á toute suite complexe

a

, on associe la suite

a^*

définie par : pour tout

n \in ℕ, a_n^* = 1/(2^n)\sum_(k = 0)^n(n/k)a_k

.
L'objet des parties I et II est de comparer les propriétés de la série

\sum_(n \geq 0)a_n^*

aux propriétés de la série

\sum_(n \geq 0)a_n

PARTIE I

Deux exemples

I.1/ Cas d'une suite constante.

Soit

α \in ℂ^*

; on suppose que la suite

a

est définie par : pour tout

n \in ℕ, a_n = α

.
I.1.1/Expliciter

\sum_(k = 0)^n(n/k)

pour

n \in ℕ

.
I.1.2/Expliciter

a_n^*

pour

n \in ℕ

.
I.1.3/La série

\sum_(n \geq 0)a_n

( resp.

\sum_(n \geq 0)a_n^*

) est -elle convergente?

I.2/ Cas d'une suite géométrique.

Soit

z \in ℂ

; on suppose que la suite

a

est définie par : pour tout

n \in ℕ, a_n = z^n

.
I.2.1/Exprimer

a_n^*

en fonction de

z

n

.
I.2.2/On suppose que

|z| < 1

.
I.2.2.1/ Justifier la convergence de la série

\sum_(n \geq 0)a_n

et expliciter sa somme

A(z) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n

.
I.2.2.2/ Justifier la convergence de la série

\sum_(n \geq 0)a_n^*

et expliciter sa somme

\sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n^*

en fonction de

A(z)

.
I.2.3/On suppose que

|z| \geq 1

.
I.2.3.1 Quelle est la nature (convergente ou divergente) de la série

\sum_(n \geq 0)a_n

?
I.2.3.2/ Quelle est la nature de

\sum_(n \geq 0)a_n^*

z = - 2

?
I.2.3.3/ On suppose que

z = e^(iθ)

, avec

θ

réel tel que

0 < |θ| < π

Montrer que la série

\sum_(n \geq 0)a_n^*

est convergente. Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de la somme

\sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n^*

PARTIE II

Étude du procédé de sommation

Dans cette partie, et pour simplifier, on suppose que la suite

a

est à valeurs réelles, la suite

a^*

étant toujours définie par : pour tout

n \in ℕ, a_n^* = 1/(2^n)\sum_(k = 0)^n(n/k)a_k

II.1/ Comparaison des convergences des deux suites.

II.1.1/ Soit

n \in ℕ^*

, on considère un entier

k

fixé,

k \in [ [0, n] ]

.
II.1.1.1/ Préciser un équivalent de

(n/k)

lorsque

n

tend vers

+ \infty

.
II.1.1.2/ En déduire la limite de

1/(2^n)(n/k)

lorsque

n

tend vers

+ \infty

.
II.1.2/ Soient

a

une suite réelle et

q

un entier naturel fixé.

On considère pour

n > q

la somme

S_q(n, a) = \sum_(k = 0)^q(n/k)(a_k)/(2^n)

.
Quelle est la limite de

S_q(n, a)

lorsque l'entier

n

tend vers

+ \infty

?
II.1.3/ On suppose que

a_n

tend vers 0 lorsque

n

tend vers

+ \infty

; Montrer que

a_n^*

tend vers 0 lorsque

n

tend vers

+ \infty

.
II.1.4 On suppose que

a_n

tend vers

l

(limite finie) lorsque

n

tend vers

+ \infty

. Quelle est la limite de

a_n^*

lorsque

n

tend vers

+ \infty

?
II.1.5/ La convergence de la suite

(a_n)_(n \in ℕ)

est-elle équivalente à la convergence de la suite

(a_n^*)_(n \in ℕ)?

II.2/ Comparaison des convergences des séries $\sum_(n \geq 0)a_n$ et $\sum_(n \geq 0)a_n^*$ .

Pour

n \in ℕ

, on note

S_n = \sum_(k = 0)^n a_k, T_n = \sum_(k = 0)^n a_k^*, U_n = 2^n T_n

.
II.2.1/ Pour

n \in [ [0, 3] ]

, exprimer

U_n

comme combinaison linéaire des sommes

S_k

, c'est à dire sous la forme

U_n = \sum_(k = 0)^n λ_(n, k)S_k

.
II.2.2/ On se propose de déterminer l'expression explicite de

U_n

comme combinaison linéaire des sommes

S_k

pour

k \in [ [0, n] ]

と (と) U_n = \sum_(k = 0)^n λ_(n, k)S_k pour n \in ℕ.

II.2.2.1/ A quelle expression des coefficients

λ_(n, k)

(en fonction de

n

k

) peut-on s'attendre compte tenu des résultats obtenus à la question II.2.1 ?
II.2.2.2/ Etablir la formule

(E)

par récurrence sur l'entier

n

(on pourra remarquer que pour tout

k \in [ [0, n] ] : a_k = S_k - S_(k - 1)

avec la convention

S_(- 1) = 0

).
II.2.3/ On suppose que la série

\sum_(n \geq 0)a_n

est convergente.

Montrer que la série

\sum_(n \geq 0)a_n^*

est convergente et exprimer la somme

\sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n^*

en fonction de la somme

\sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n

.
II.2.4/La convergence de la série

\sum_(n \geq 0)a_n

est-elle équivalente à la convergence de la série

\sum_(n \geq 0)a_n^*?

PARTIE III

Une étude de fonctions

On rappelle que :

σ_n = \sum_(k = 1)^n 1/k

pour

n \in ℕ^*

σ_0 = 0

.
Pour

x

réel, lorsque cela a du sens, on pose :

f(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)(x^n)/((n + 1)!); g(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)(σ_n x^n)/(n!); φ(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)σ_n x^n

III.1/ Étude de $f$ .

III.1.1/ Vérifier que

f

est définie et continue sur

ℝ

.
III.1.2/ Expliciter

xf(x)

pour tout

x

réel.
III.1.3/ Expliciter

e^(- x)f(x)

pour tout

x

réel.

III.2/ Étude de $g$ .

III.2.1/ Montrer que

g

est définie et de classe

ℓ^1

sur

ℝ

.
III.2.2/ On désigne par

g^'

la dérivée de la fonction

g

; exprimer

g^' - g

en fonction de

f

.
III.2.3/ Montrer que pour tout

x

réel :

g(x) = e^x\int_0^x e^(- t)f(t)dt

III.3/ La fonction $F$ .

On considère la fonction

F

définie sur

ℝ

par :

F(x) = \int_0^x e^(- t)f(t)dt

III.3.1/ Montrer que la fonction

F

est développable en série entière sur

ℝ

et expliciter son développement.
III.3.2/ Pour

n \in ℕ^*

, on note

γ_n = \sum_(k = 1)^n((- 1)^(k + 1))/(k(k!)(n - k)!)

Exprimer

γ_n

en fonction de

n

σ_n

.
III.4/ La série

\sum_(k \geq 1)((- 1)^(k + 1))/k

Pour

n \in ℕ^*

on note

ln(n)

le logarithme repérien de

n

.
III.4.1/ Soit

w_k = ln((k + 1)/k) - 1/(k + 1)

pour

k \in ℕ^*

III.4.1.1/ Montrer que la série

\sum_(k \geq 1)w_k

est convergente.
III.4.1.2/ En déduire que la suite de terme général

σ_n - ln(n)

admet une limite finie (que l'on ne demande pas de calculer) lorsque

n

tend vers

+ \infty

.
III.4.2/ Pour

n \in ℕ^*

, on pose

τ_n = \sum_(k = 1)^n((- 1)^(k + 1))/k

; exprimer

τ_(2n)

en fonction de

σ_(2n)

σ_n

.
III.4.3/ Montrer en utilisant III.4.1 et III.4.2 que la série

\sum_(k \geq 1)((- 1)^(k + 1))/k

est convergente et déterminer sa somme

\sum_(k = 1)^(+ \infty)((- 1)^(k + 1))/k

III.5/ Étude de la fonction $φ$ .

On rappelle que pour

x

réel

φ(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)σ_n x^n

.
III.5.1/ Déterminer le rayon de convergence

R

de la série entière

\sum_(n \geq 1)σ_n x^n

.
III.5.2/ Préciser l'ensemble de définition

Δ

de la fonction

φ

, et étudier ses variations sur

[0, R[

.
III.5.3/ Valeur de

φ(1/2)

En utilisant les résultats de la partie II et de la question III.4.3 expliciter la valeur de

φ(1/2)

.
III.5.4/ Expliciter

φ(x)

pour

x

appartenant à

Δ

et retrouver la valeur de

φ(1/2)

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 1 CCINP PSI 2006 ?

Le sujet porte sur les séries numériques, les nombres complexes, les séries entières et les équations différentielles linéaires du premier ordre, à travers l'étude d'un procédé de sommation.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées ?

Une méconnaissance de la formule du binôme, une utilisation hasardeuse des nombres complexes, la confusion entre série entière et polynôme, et l'affirmation à tort qu'une somme infinie de fonctions continues est continue.

Ce sujet de maths 1 CCINP PSI 2006 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme discriminant : des parties sans difficulté apparente ont gêné les candidats les plus fragiles, tandis que certaines questions plus délicates ont reçu d'assez bonnes réponses.

Le sujet CCINP maths 1 PSI 2006 porte-t-il sur les séries entières ?

Oui, la partie III applique le procédé de sommation à l'étude de plusieurs fonctions et fait notamment intervenir les séries entières, souvent source d'erreurs selon le rapport.

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Les erreurs les plus sanctionnées

Ce qui a été bien réussi

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Notations:

Objectifs :

Étude d'un procédé de sommation

PARTIE I

Deux exemples

I.1/ Cas d'une suite constante.

I.2/ Cas d'une suite géométrique.

PARTIE II

Étude du procédé de sommation

II.1/ Comparaison des convergences des deux suites.

II.2/ Comparaison des convergences des séries ∑_(n ≥ 0)a_n et ∑_(n ≥ 0)a_n^∗.

PARTIE III

Une étude de fonctions

III.1/ Étude de f.

III.2/ Étude de g.

III.3/ La fonction F.

III.5/ Étude de la fonction φ.

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 1 CCINP PSI 2006 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées ?

Ce sujet de maths 1 CCINP PSI 2006 est-il difficile ?

Le sujet CCINP maths 1 PSI 2006 porte-t-il sur les séries entières ?

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Commentaires• CCINP Mathématiques 1 PSI 2006

II.2/ Comparaison des convergences des séries $\sum_(n \geq 0)a_n$ et $\sum_(n \geq 0)a_n^*$ .

III.1/ Étude de $f$ .

III.2/ Étude de $g$ .

III.3/ La fonction $F$ .

III.5/ Étude de la fonction $φ$ .