CCINP Mathématiques 1 PSI 2008

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

On note :

Pour tout nombre réel tel que la série converge (resp. la série converge), on note (resp ) la somme de cette série.

On se propose d'étudier quelques propriétés des fonctions et .
Dans la partie I , on calcule trois valeurs exactes et une valeur approchée de pour quatre entiers naturels . La partie II est consacrée à une étude de la fonction en liaison avec . Dans la partie III, on étudie de façon plus précise la continuité et le caractère de la fonction .

I.1.1/ Préciser, selon la valeur du nombre réel , la limite de lorsque l'entier tend vers .
I.1.2/ Montrer que l'ensemble de définition de la fonction est .
I.1.3 Pour tout entier naturel , on pose .
I.1.3.1 Préciser une primitive de la fonction et calculer .
I.1.3.2/ Montrer que la suite est convergente et préciser sa limite.
I.1.3.3/ Calculer pour tout entier naturel .
I.1.3.4/ En utilisant le résultat obtenu en I.1.3.3/, établir (par exemple par récurrence), pour tout entier naturel non nul, la relation : .
I.1.3.5/ En déduire la valeur de .
I.2/ Une valeur approchée de .

Pour tout entier naturel non nul, on pose .
I.2.1 Décrire, en français, un algorithme de calcul de . pour entier naturel non nul donné.
I.2.2/ En utilisant l'algorithme précédent et la calculatrice, donner la valeur décimale approchée par défaut de à la précision .
I.2.3/ Montrer que est aussi la valeur décimale approchée par défaut de à la précision .
I.3/ Calcul de et .

On considère la fonction définie sur , à valeurs réelles, -périodique et vérifiant :

Pour tout entier naturel , on pose .
I.3.1 Calculer pour tout entier naturel .
I.3.2/ Expliciter les coefficients de Fourier réels et de la fonction . On rappelle que pour tout entier naturel :

I.3.3 Justifier la convergence, pour tout réel, de la série et expliciter sa somme pour tout .
I.3.4 En déduire la valeur de .
I.3.5 Justifier la convergence de la série et calculer la valeur de sa somme .
I.3.6/ En utilisant le résultat obtenu en I.3.3/, établir la convergence de la série et expliciter sa somme pour .
I.3.7/ Justifier, pour tout réel, la convergence de la série et calculer śa somme pour en fonction de et .
I.3.8/ En déduire la valeur de .

Pour tout entier naturel et tout nombre réel , on note .
Pour tout nombre réel tel que la série converge, on note la somme de cette série. On se propose d'étudier quelques propriétés de la fonction en utilisant en particulier .
II.1/ Montrer que la fonction est définie sur .

On note désormais l'image par de l'intervalle .
II.2/ Montrer que la fonction est continue sur .
II.3/ Montrer que la fonction est strictement monotone sur .
II.4/ Justifier l'affirmation : est un intervalle de .
II.5/ Montrer que la fonction admet une limite finie (que l'on précisera) en .
II.6/ Pour tout nombre réel strictement positif, on désigne par la fonction définie sur par :

II.6.1/ Justifier la convergence de l'intégrale .
II.6.2/ Etablir, pour tout nombre réel , la double inégalité :

II.6.3/ Montrer l'existence de l'intégrale et exprimer sa valeur en fonction de .
II.6.4/ Montrer qu'il existe une constante (que l'on précisera) telle que pour tout nombre réel strictement positif, on ait la double inégalité :

II.6.5/ En déduire la limite de lorsque tend vers 0 et préciser l'intervalle .

Propriétés de la fonction

III.1/ Montrer que pour tout nombre réel de , on a la double inégalité

III.2/ En déduire que la fonction est bornée sur et qu'elle admet une limite finie en ; on précisera cette limite.

III.3.1/ En utilisant la notion de convergence normale, montrer que la fonction est continue sur l'intervalle .
III.3.2/ Montrer que la fonction est continue sur .

III.4.1/ Soit un nombre réel fixé strictement positif, on désigne par la fonction définie sur l'intervalle par .
Etudier les variations de la fonction sur l'intervalle [ ; on précisera l'étude dans les deux cas :
III.4.1.1/ lorsque .
III.4.1.2/ lorsque .
III.4.2/ Démontrer de façon rigoureuse que la fonction est de classe
III.4.2.1/ sur l'intervalle ,
III.4.2.2/ sur l'intervalle .
III.4.3/ Déterminer le signe
III.4.3.1/ de ,
III.4.3.2/ de .

Fin de l'énoncé.