CCINP Mathématiques 1 PSI 2008Sujet et rapport du jury
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Difficulté moyenneÉtude de deux fonctions θ et f définies comme sommes de séries de fonctionsAfficher ou masquer la section
Présentation du sujet
Difficulté moyenneÉtude de deux fonctions θ et f définies comme sommes de séries de fonctions
Le sujet étudie deux fonctions θ et f définies comme sommes de séries de fonctions. La partie I calcule des valeurs exactes et une valeur approchée de θ(1), θ(2), θ(3) et θ(4), notamment à l'aide des séries de Fourier. La partie II étudie la fonction f en liaison avec θ(2), et la partie III étudie précisément la continuité et le caractère C1 de θ.
- 1Partie I : quelques valeurs de la fonction θCalculer θ(1) par un procédé élémentaire, une valeur approchée de θ(3), puis θ(2) et θ(4) à l'aide des séries de Fourier.
- 2Partie II : étude d'une fonctionÉtudier la convergence, la continuité et les intégrales liées à la fonction f, en lien avec θ(2).
- 3Partie III : continuité et caractère C1 de la fonction θÉtablir un encadrement de θ(x) puis étudier précisément sa continuité et sa dérivabilité.
Difficulté moyenne. Le rapport indique que les trois parties ont été largement abordées par les candidats, qui n'ont pas hésité à abandonner certaines questions jugées, souvent à tort, trop difficiles pour progresser dans le sujet.
Ce qu'a observé le jury
4 erreurs relevéesConvergence affirmée sans preuve valable · Hypothèses du théorème de Dirichlet non données · Convergence normale sur un ensemble non préciséAfficher ou masquer la section
Ce qu'a observé le jury
4 erreurs relevéesConvergence affirmée sans preuve valable · Hypothèses du théorème de Dirichlet non données · Convergence normale sur un ensemble non précisé
Le sujet a permis de tester les connaissances des candidats dans plusieurs secteurs de l'analyse ainsi que leur aisance dans des techniques classiques et un calcul approché. Les correcteurs souhaiteraient que les candidats exploitent mieux, par la réflexion et le raisonnement, les connaissances dont beaucoup ne manquent pas.
Les erreurs les plus sanctionnées
- 1Convergence affirmée sans preuve valableI.1
Si tous les candidats sont persuadés qu'une suite tend vers zéro, assez peu en fournissent une preuve valable.
- 2Hypothèses du théorème de Dirichlet non donnéesI.3
De nombreux candidats sont incapables de donner les hypothèses permettant l'application du théorème de Dirichlet.
- 3Convergence normale sur un ensemble non préciséPartie II
De nombreux candidats parlent de convergence normale ou uniforme sans préciser sur quel ensemble, et écrivent à tort que la convergence normale sur tout segment de ]0;+∞[ entraîne la convergence normale sur ]0;+∞[.
- 4Minorant de θ trouvé sans preuve valablePartie III
Trouver, avec preuve, un minorant pour θ ne semble pas chose facile ; certains proposent un minorant incorrect.
Ce qui a été bien réussi
- Les questions suivant le calcul de Jn + Jn+2 sont bien traitées, notamment l'utilisation d'une récurrence.
- Les calculs des coefficients de Fourier sont souvent exacts.
- La comparaison entre série et intégrale est bien traitée en II.6.2.
Conseils du jury
- Justifier avec preuve la convergence d'une suite ou d'une série plutôt que de l'affirmer.
- Préciser systématiquement l'ensemble sur lequel une convergence normale ou uniforme est établie.
- Vérifier soigneusement les hypothèses d'un théorème (Dirichlet, échange série-intégrale) avant de l'appliquer.
- Ne pas abandonner trop vite une question jugée difficile, les correcteurs notant que les candidats sous-estiment souvent leurs capacités.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
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CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI
MATHEMATIQUES 1
Durée : 4 heures
Les calculatrices sont autorisées.
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Notations:
On note :
-
ℝ : l'ensemble des nombres réels, - In : la fonction logarithme népérien.
Pour tout nombre réel
x tel que la série
∑_(n ≥ 1)((− 1)^(n + 1))/(n^x) converge (resp. la série
∑_(n ≥ 0)ln(1 + e^(− nx)) converge), on note
θ(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)((− 1)^(n + 1))/(n^x) (resp
f(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)ln(1 + e^(− nx)) ) la somme de cette série.
Objectifs:
On se propose d'étudier quelques propriétés des fonctions
θ et
f .
Dans la partie I , on calcule trois valeurs exactes et une valeur approchée deθ(n) pour quatre entiers naturels
n . La partie II est consacrée à une étude de la fonction
f en liaison avec
θ(2) . Dans la partie III, on étudie de façon plus précise la continuité et le caractère
C^1 de la fonction
θ .
Dans la partie I , on calcule trois valeurs exactes et une valeur approchée de
PARTIE I
Quelques valeurs de la fonction
θ
I.1/ Calcul de
θ(1) .
I.1.1/ Préciser, selon la valeur du nombre réel
x , la limite de
1/(n^x) lorsque l'entier
n tend vers
+ ∞ .
I.1.2/ Montrer que l'ensemble de définition de la fonctionθ est
E = ]0; + ∞[ .
I.1.3 Pour tout entier natureln , on pose
J_n = ∫_0^(π/4)(tant)^n dt .
I.1.3.1 Préciser une primitive de la fonctiont ↦ tant et calculer
J_1 .
I.1.3.2/ Montrer que la suiteJ_n est convergente et préciser sa limite.
I.1.3.3/ CalculerJ_n + J_(n + 2) pour tout entier naturel
n .
I.1.3.4/ En utilisant le résultat obtenu en I.1.3.3/, établir (par exemple par récurrence), pour tout entier natureln non nul, la relation :
∑_(k = 1)^n((− 1)^(k + 1))/(2k) = J_1 + (− 1)^(n + 1)J_(2n + 1) .
I.1.3.5/ En déduire la valeur deθ(1) .
I.2/ Une valeur approchée deθ(3) .
I.1.2/ Montrer que l'ensemble de définition de la fonction
I.1.3 Pour tout entier naturel
I.1.3.1 Préciser une primitive de la fonction
I.1.3.2/ Montrer que la suite
I.1.3.3/ Calculer
I.1.3.4/ En utilisant le résultat obtenu en I.1.3.3/, établir (par exemple par récurrence), pour tout entier naturel
I.1.3.5/ En déduire la valeur de
I.2/ Une valeur approchée de
Pour tout entier naturel
n non nul, on pose
S_n = ∑_(k = 1)^n((− 1)^(k + 1))/(k^3) .
I.2.1 Décrire, en français, un algorithme de calcul deS_n . pour
n entier naturel non nul donné.
I.2.2/ En utilisant l'algorithme précédent et la calculatrice, donner la valeur décimale approchée par défautσ de
S_(30) à la précision
10^(− 4) .
I.2.3/ Montrer queσ est aussi la valeur décimale approchée par défaut de
θ(3) à la précision
10^(− 4) .
I.3/ Calcul deθ(2) et
θ(4) .
I.2.1 Décrire, en français, un algorithme de calcul de
I.2.2/ En utilisant l'algorithme précédent et la calculatrice, donner la valeur décimale approchée par défaut
I.2.3/ Montrer que
I.3/ Calcul de
On considère la fonction
g définie sur
ℝ , à valeurs réelles,
2π -périodique et vérifiant :
Pour tout entier naturel
n , on pose
α_n = ∫_0^π x^2 cos(nx)dx .
I.3.1 Calculerα_n pour tout entier naturel
n .
I.3.2/ Expliciter les coefficients de Fourier réelsa_n(g) et
b_n(g) de la fonction
g . On rappelle que pour tout entier naturel
n :
I.3.1 Calculer
I.3.2/ Expliciter les coefficients de Fourier réels
I.3.3 Justifier la convergence, pour tout
x réel, de la série
∑_(n ≥ 1)((− 1)^n)/(n^2)cos(nx) et expliciter sa somme
∑_(n = 1)^(+ ∞)((− 1)^n)/(n^2)cos(nx) pour tout
x ∈ ] − π; π] .
I.3.4 En déduire la valeur deθ(2) .
I.3.5 Justifier la convergence de la série∑_(n ≥ 1)1/(n^4) et calculer la valeur de sa somme
∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^4) .
I.3.6/ En utilisant le résultat obtenu en I.3.3/, établir la convergence de la série∑_(n ≥ 1)((− 1)^n)/(n^3)sin(nx) et expliciter sa somme
∑_(n = 1)^(+ ∞)((− 1)^n)/(n^3)sin(nx) pour
x ∈ ] − π; π] .
I.3.7/ Justifier, pour toutx réel, la convergence de la série
∑_(n ≥ 1)((− 1)^n)/(n^4)cos(nx) et calculer śa somme
∑_(n = 1)^(+ ∞)((− 1)^n)/(n^4)cos(nx) pour
x ∈ ] − π; π] en fonction de
x et
θ(4) .
I.3.8/ En déduire la valeur deθ(4) .
I.3.4 En déduire la valeur de
I.3.5 Justifier la convergence de la série
I.3.6/ En utilisant le résultat obtenu en I.3.3/, établir la convergence de la série
I.3.7/ Justifier, pour tout
I.3.8/ En déduire la valeur de
PARTIE II
Etude d'une fonction
Pour tout entier naturel
n et tout nombre réel
x , on note
u_n(x) = ln(1 + e^(− nx)) .
Pour tout nombre réelx tel que la série
∑_(n ≥ 0)u_n(x) converge, on note
f(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)u_n(x) la somme de cette série. On se propose d'étudier quelques propriétés de la fonction
f en utilisant en particulier
θ(2) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)((− 1)^(n + 1))/(n^2) .
II.1/ Montrer que la fonctionf est définie sur
]0; + ∞[ .
Pour tout nombre réel
II.1/ Montrer que la fonction
On note désormais
𝒞 l'image par
f de l'intervalle
]0; + ∞[ .
II.2/ Montrer que la fonctionf est continue sur
]0; + ∞[ .
II.3/ Montrer que la fonctionf est strictement monotone sur
]0; + ∞[ .
II.4/ Justifier l'affirmation :𝒞 est un intervalle de
ℝ .
II.5/ Montrer que la fonctionf admet une limite finie
λ (que l'on précisera) en
+ ∞ .
II.6/ Pour tout nombre réelx strictement positif, on désigne par
ψ_x la fonction définie sur
ℝ_+ par :
II.2/ Montrer que la fonction
II.3/ Montrer que la fonction
II.4/ Justifier l'affirmation :
II.5/ Montrer que la fonction
II.6/ Pour tout nombre réel
II.6.1/ Justifier la convergence de l'intégrale
∫_0^(+ ∞)ψ_x(t)dt .
II.6.2/ Etablir, pour tout nombre réelx > 0 , la double inégalité :
II.6.2/ Etablir, pour tout nombre réel
II.6.3/ Montrer l'existence de l'intégrale
∫_0^1(ln(1 + y))/ydy et exprimer sa valeur en fonction de
θ(2) .
II.6.4/ Montrer qu'il existe une constanteμ (que l'on précisera) telle que pour tout nombre réel
x strictement positif, on ait la double inégalité :
II.6.4/ Montrer qu'il existe une constante
II.6.5/ En déduire la limite de
xf(x) lorsque
x tend vers 0 et préciser l'intervalle
𝒞 .
PARTIE III
Propriétés de la fonction
θ
III.1/ Montrer que pour tout nombre réel
x de
E = ]0; + ∞[ , on a la double inégalité
III.2/ En déduire que la fonction
θ est bornée sur
E et qu'elle admet une limite finie en
+ ∞ ; on précisera cette limite.
III.3/ Continuité de la fonction
θ .
III.3.1/ En utilisant la notion de convergence normale, montrer que la fonction
θ est continue sur l'intervalle
]1; + ∞[ .
III.3.2/ Montrer que la fonctionθ est continue sur
E .
III.3.2/ Montrer que la fonction
III.4/ Caractère
C^1 de la fonction
θ .
III.4.1/ Soit
x un nombre réel fixé strictement positif, on désigne par
φ_x la fonction définie sur l'intervalle
[2; + ∞[ par
φ_x(t) = (ln(t))/(t^x) .
Etudier les variations de la fonctionφ_x sur l'intervalle [
2; + ∞[ ; on précisera l'étude dans les deux cas :
III.4.1.1/ lorsquex ≥ 1/(ln2) .
III.4.1.2/ lorsquex ∈ ]0; 1/(ln2)[ .
III.4.2/ Démontrer de façon rigoureuse que la fonctionθ est de classe
C^1
III.4.2.1/ sur l'intervalle[1/(ln2); + ∞[ ,
III.4.2.2/ sur l'intervalle]0; + ∞[ .
III.4.3/ Déterminer le signe
III.4.3.1/ deθ^′(2) ,
III.4.3.2/ deθ^′(1) .
Etudier les variations de la fonction
III.4.1.1/ lorsque
III.4.1.2/ lorsque
III.4.2/ Démontrer de façon rigoureuse que la fonction
III.4.2.1/ sur l'intervalle
III.4.2.2/ sur l'intervalle
III.4.3/ Déterminer le signe
III.4.3.1/ de
III.4.3.2/ de
Fin de l'énoncé.
Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte le sujet de maths 1 CCINP PSI 2008 ?Afficher ou masquer la section
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Oui, la partie I s'appuie sur les séries de Fourier pour calculer θ(2) et θ(4), et le théorème de Dirichlet y est central.
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