CCINP Mathématiques 2 PC 2000Sujet et corrigé

I. 1 On considère la série entière ∑_(n = 0)^(+ ∞)(z^n)/((n + 1)!) de la variable complexe z.
I.1.1 Déterminer son rayon de convergence.
I.1.2 Calculer sa somme S(z). On distinguera les cas z = 0 et z ≠ 0.
I. 2 Soit la fonction f de la variable complexe z définie sur ℂ − {2kiπ/k ∈ ℤ^∗} par:

Nous admettrons qu'il existe une série entière ∑_(n = 0)^(+ ∞)B_n(z^n)/(n!) de rayon de convergence R > 0 dont la somme sur son disque ouvert de convergence est égale à f(z).
I.2.1 Montrer que R ≤ 2π. Nous admettrons que R = 2π.
I.2.2 Calculer B_0.
I.2.3 Donner pour tout n ≥ 1 l'expression de B_n en fonction de B_0, …, B_(n − 1) (on pourra remarquer que pour |z| < 2π, on a l'égalité S(z)f(z) = 1 ). En déduire que B_n est un nombre rationnel pour tout n ∈ ℕ.
I.2.4 Calculer B_1, B_2, B_3, B_4.
I.2.5 Calculer f(z) − f(− z). En déduire que B_(2k + 1) = 0 pour tout k ≥ 1.

I.3.1 Exprimer 1 + (f(4z) − f(2z))/z en fonction de e^(2z).
I.3.2 En déduire l'expression en fonction des B_n des développements en série entière des fonctions thx et tanx de la variable réelle x. Quel est le rayon de convergence des séries entières obtenues?
I.4 On considère la fonction h des deux variables complexes x et z définie par:

I.4.1 Montrer qu'il existe une suite (β_n(x))_(n ∈ ℕ) de polynômes à coefficients rationnels telle que, pour tout couple (x, z) de nombres complexes tel que |z| < 2π, on ait:

Déterminer le degré de β_n(x), n ∈ ℕ.
Exprimer β_n(0) en fonction de B_n.
I.4.2 Calculer β_(k + 1)(x + 1) − β_(k + 1)(x) pour k ≥ 0. En déduire une expression de la somme 1^k + 2^k + 3^k + … + N^k en fonction de β_(k + 1)(N + 1), β_(k + 1)(0) et k.
I.4.3 Comparer h(1 − x, − z) à h(x, z). En déduire que l'on a β_n(1 − x) = (− 1)^n β_n(x) pour tout n ∈ ℕ. Exprimer β_n(1) en fonction de B_n.
I.4.4 On suppose dorénavant que x est réel. On admettra que l'on peut alors dériver terme à terme le deuxième membre de l'égalité (1) par rapport à x.

Montrer que pour tout n ∈ ℕ on a β_(n + 1)^′(x) = (n + 1)β_n(x).
En déduire que ∫_0^1 β_n(x)dx = 0 pour tout n ≥ 1.

Les résultats de la question I. 4 permettent de définir la suite de polynômes (β_k)_(k ∈ ℕ) introduite à la question I.4.1 par la récurrence suivante:

Pour tout nombre entier k ≥ 0, on note φ_k(x) la fonction 2π-périodique de la variable réelle x qui coïncide avec β_k(x/(2π)) sur l'intervalle [0, 2π[.
II. 1 Calculer β_1(x), β_2(x) et β_3(x). On vérifiera en particulier que β_2(x) = x^2 − x + 1/6.

II.2.1 Vérifier que φ_2 est paire et continue sur ℝ.
II.2.2 Développer φ_2 en série de Fourier réelle.

II.3.1 Montrer que pour tout k ≥ 3 la fonction φ_k est de classe C^(k − 2) sur ℝ, et que :

II.3.2 En déduire le développement en série de Fourier réelle de φ_(2p) pour p entier supérieur ou égal à 1 .
II.3.3 Exprimer, pour p entier supérieur ou égal à 1 , la somme ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^(2p)) en fonction de β_(2p)(0) et p.

On considère l'intégrale ∫_0^(+ ∞)(t^(x − 1))/(e^t − 1)dt, où x est un nombre réel.
III. 1 Montrer que la fonction t ↦ (t^(x − 1))/(e^t − 1) est intégrable sur ]0, + ∞[ pour tout x > 1.
III. 2 Montrer que la fonction F(x) = ∫_0^(+ ∞)(t^(x − 1))/(e^t − 1)dt est de classe C^∞ sur ]1, + ∞[.
III. 3 On suppose x fixé, strictement supérieur à 1 .
III.3.1 Vérifier que pour tout t > 0 on peut écrire (t^(x − 1))/(e^t − 1) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)t^(x − 1)e^(− nt).
III.3.2 Montrer que la fonction t ↦ t^(x − 1)e^(− nt) est intégrable sur [0, + ∞[ pour tout n ≥ 1.

On pose Γ(x) = ∫_0^(+ ∞)t^(x − 1)e^(− t)dt et, pour tout n ≥ 2, Γ_n(x) = ∫_0^(+ ∞)t^(x − 1)e^(− nt)dt.
III.3.3 Calculer, pour tout n ≥ 2, Γ_n(x) en fonction de n, x et Γ(x).
III.3.4 En déduire que pour tout x > 1 on a ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^x) = (F(x))/(Γ(x)).
III. 4 Soit k un nombre entier supérieur ou égal à 2 .
III.4.1 Exprimer Γ(k) en fonction de k et Γ(k − 1).
III.4.2 En déduire la valeur de Γ(k) et l'expression de ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^k) en fonction de k et F(k).