CCINP Mathématiques 2 PC 2000

I. 1 On considère la série entière de la variable complexe .
I.1.1 Déterminer son rayon de convergence.
I.1.2 Calculer sa somme . On distinguera les cas et .
I. 2 Soit la fonction de la variable complexe définie sur par:

Nous admettrons qu'il existe une série entière de rayon de convergence dont la somme sur son disque ouvert de convergence est égale à .
I.2.1 Montrer que . Nous admettrons que .
I.2.2 Calculer .
I.2.3 Donner pour tout l'expression de en fonction de (on pourra remarquer que pour , on a l'égalité ). En déduire que est un nombre rationnel pour tout .
I.2.4 Calculer .
I.2.5 Calculer . En déduire que pour tout .

I.3.1 Exprimer en fonction de .
I.3.2 En déduire l'expression en fonction des des développements en série entière des fonctions thx et de la variable réelle . Quel est le rayon de convergence des séries entières obtenues?
I.4 On considère la fonction des deux variables complexes et définie par:

I.4.1 Montrer qu'il existe une suite de polynômes à coefficients rationnels telle que, pour tout couple de nombres complexes tel que , on ait:

Déterminer le degré de .
Exprimer en fonction de .
I.4.2 Calculer pour . En déduire une expression de la somme en fonction de et .
I.4.3 Comparer à . En déduire que l'on a pour tout . Exprimer en fonction de .
I.4.4 On suppose dorénavant que est réel. On admettra que l'on peut alors dériver terme à terme le deuxième membre de l'égalité (1) par rapport à .

Montrer que pour tout on a .
En déduire que pour tout .

Les résultats de la question I. 4 permettent de définir la suite de polynômes introduite à la question I.4.1 par la récurrence suivante:

Pour tout nombre entier , on note la fonction -périodique de la variable réelle qui coïncide avec sur l'intervalle .
II. 1 Calculer et . On vérifiera en particulier que .

II.2.1 Vérifier que est paire et continue sur .
II.2.2 Développer en série de Fourier réelle.

II.3.1 Montrer que pour tout la fonction est de classe sur , et que :

II.3.2 En déduire le développement en série de Fourier réelle de pour entier supérieur ou égal à 1 .
II.3.3 Exprimer, pour entier supérieur ou égal à 1 , la somme en fonction de et .

On considère l'intégrale , où est un nombre réel.
III. 1 Montrer que la fonction est intégrable sur pour tout .
III. 2 Montrer que la fonction est de classe sur .
III. 3 On suppose fixé, strictement supérieur à 1 .
III.3.1 Vérifier que pour tout on peut écrire .
III.3.2 Montrer que la fonction est intégrable sur pour tout .

On pose et, pour tout .
III.3.3 Calculer, pour tout en fonction de et .
III.3.4 En déduire que pour tout on a .
III. 4 Soit un nombre entier supérieur ou égal à 2 .
III.4.1 Exprimer en fonction de et .
III.4.2 En déduire la valeur de et l'expression de en fonction de et .