CCINP Mathématiques 2 PC 2009Sujet, corrigé et rapport du jury

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, la précision et à la concision de la rédaction ; si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Dans tout ce problème, on note F la fonction sur ℝ × ℂ à valeurs dans ℂ définie par :

et f la fonction sur ℝ à valeurs dans ℝ définie par :

I.1. Soit z ∈ ℂ un nombre complexe fixé, quelconque.
I.1.1. Ecrire les développements en série entière de la variable réelle x des fonctions x ↦ exp(− zx) et x ↦ exp(− (x^2)/2). On précisera les rayons de convergence des séries entières obtenues.
I.1.2. A l'aide d'un produit de Cauchy, montrer que l'on peut écrire, pour tout x ∈ ℝ :

où A_n est une fonction polynomiale de degré n.
Pour tout n ∈ ℕ on définit la fonction polynomiale H_n par H_n = (− 1)^n n!A_n.
Donner les expressions de H_0(z) et de H_1(z) en fonction de z.
I.1.3. Calculer la dérivée de la fonction x ↦ F(x, z) à l'aide de F.

En déduire que pour tout n ∈ ℕ et tout z ∈ ℂ on a H_(n + 2)(z) = zH_(n + 1)(z) − (n + 1)H_n(z).
Donner les expressions de H_2(z), H_3(z) et H_4(z) en fonction de z.

I.2.1. Montrer que pour tout x ∈ ℝ on a f^(′′)(x) + xf^′(x) + f(x) = 0.

En déduire que pour tout n ∈ ℕ et tout x ∈ ℝ on a (d^(n + 2)f)/(dx^(n + 2))(x) + x(d^(n + 1)f)/(dx^(n + 1))(x) + (n + 1)(d^n f)/(dx^n)(x) = 0.
I.2.2. Pour tout n ∈ ℕ on pose K_n = ((− 1)^n)/f((d^n f)/(dx^n)).

Montrer que pour tout n ∈ ℕ et tout x ∈ ℝ on a K_(n + 2)(x) − xK_(n + 1)(x) + (n + 1)K_n(x) = 0.
Exprimer K_0(x) et K_1(x) pour tout x ∈ ℝ. En déduire que H_n = K_n pour tout n ∈ ℕ.

I.3.1. Montrer que pour tout n ∈ ℕ et tout x ∈ ℝ on a H_(n + 1)^′(x) = (n + 1)H_n(x).
I.3.2. En déduire que pour tout n ∈ ℕ et tout x ∈ ℝ on a H_n^(′′)(x) − xH_n^′(x) + nH_n(x) = 0.
I.4. Pour tout n ∈ ℕ on définit la fonction φ_n de la variable réelle x par :

Montrer que pour tout x ∈ ℝ on a φ_n^(′′)(x) − (x^2)/4φ_n(x) = λ_n φ_n(x), où λ_n est un nombre réel que l'on déterminera.
I.5. Pour tout couple (p, q) ∈ ℕ^2 on pose :

I.5.1. Montrer que l'intégrale I_(p, q) est bien définie pour tout couple (p, q) ∈ ℕ^2.

On admettra désormais que I_(0, 0) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(x)dx = √(2π).
I.5.2. Soit (p, q) ∈ ℕ^2 un couple de nombres entiers. A l'aide d'une intégration par parties dûment justifiée, montrer que I_(p + 1, q + 1) = (p + 1)I_(p, q) = (q + 1)I_(p, q).
En déduire la valeur de I_(p, q) pour tout couple (p, q) ∈ ℕ^2. On distinguera les cas q ≠ p et q = p.

Soit f^ la fonction de la variable réelle ν définie par :

II.1. Montrer que f^ est définie et continue sur ℝ.
II.2. Montrer que f^ est de classe C^1 sur ℝ.

II.3.1. Montrer que f^^′(ν) = − 4π^2 νf^(ν) pour tout ν ∈ ℝ.

On pourra par exemple, entre autres méthodes, utiliser l'égalité − t = 2iπν + (− 2iπν − t).
II.3.2. Calculer f^(0). En déduire l'expression de f^(ν) en fonction de ν.

On considère la série de fonctions de terme général u_n défini par :

Pour tout n ∈ ℕ, soit U_n la fonction définie par U_n = ∑_(k = 0)^n u_k.
On remarquera que pour tout x ∈ ℝ on a U_n(x) = ∑_(k = − n)^n f(x − 2kπ).
III.1. Soit A un nombre réel strictement positif.
III.1.1. Soit n ∈ ℕ tel que n ≥ A/(2π). Etudier les variations sur le segment [ − A, + A] des fonctions x ↦ f(x − 2nπ) et x ↦ f(x + 2nπ).
En déduire que pour tout x ∈ [ − A, + A], on a 0 ≤ u_n(x) ≤ 2exp(− ((2nπ − A)^2)/2).
III.1.2. Montrer que la série de fonctions ∑_(n = 0)^(+ ∞)u_n converge normalement sur [ − A, + A].

III.2.1. Déduire de la question précédente que la série de fonctions ∑_(n = 0)^(+ ∞)u_n converge simplement sur ℝ tout entier. On note U sa somme.
III.2.2. Montrer que U est continue sur ℝ. On admettra que U est de classe C^1 sur ℝ.
III.2.3. Montrer que U est paire.
III.2.4. Exprimer, pour tout x ∈ ℝ, U_n(x + 2π) au moyen de U_n(x), f(x + 2(n + 1)π) et f(x − 2nπ). En déduire que U est périodique de période 2π.
III.3. Soit (a_0)/2 + ∑_(n = 1)^(+ ∞)a_n cosnx la série de Fourier de U.
III.3.1. Justifier l'égalité de U avec la somme de sa série de Fourier.
III.3.2. Montrer que l'on a ∫_(− π)^π U_k(x)cosnxdx = ∫_(− (2k + 1)π)^((2k + 1)π)f(x)cosnxdx pour tout n ∈ ℕ et tout k ∈ ℕ.
III.3.3. Pour tout n ∈ ℕ, justifier l'égalité ∫_(− π)^π U(x)cosnxdx = lim_(k → + ∞)∫_(− π)^π U_k(x)cosnxdx. En déduire que ∫_(− π)^π U(x)cosnxdx = ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(x)cosnxdx.
III.3.4. Déduire de ce qui précède une expression de a_n, pour tout n ∈ ℕ, à l'aide de f^ et de n, puis exprimer a_n en fonction de n.