CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, la précision et à la concision de la rédaction ; si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Dans tout ce problème, on note la fonction sur à valeurs dans définie par :

et la fonction sur à valeurs dans définie par :

I.1. Soit un nombre complexe fixé, quelconque.
I.1.1. Ecrire les développements en série entière de la variable réelle des fonctions et . On précisera les rayons de convergence des séries entières obtenues.
I.1.2. A l'aide d'un produit de Cauchy, montrer que l'on peut écrire, pour tout :

où est une fonction polynomiale de degré .
Pour tout on définit la fonction polynomiale par .
Donner les expressions de et de en fonction de .
I.1.3. Calculer la dérivée de la fonction à l'aide de .

En déduire que pour tout et tout on a .
Donner les expressions de et en fonction de .

I.2.1. Montrer que pour tout on a .

En déduire que pour tout et tout on a .
I.2.2. Pour tout on pose .

Montrer que pour tout et tout on a .
Exprimer et pour tout . En déduire que pour tout .

I.3.1. Montrer que pour tout et tout on a .
I.3.2. En déduire que pour tout et tout on a .
I.4. Pour tout on définit la fonction de la variable réelle par :

Montrer que pour tout on a , où est un nombre réel que l'on déterminera.
I.5. Pour tout couple on pose :

I.5.1. Montrer que l'intégrale est bien définie pour tout couple .

On admettra désormais que .
I.5.2. Soit un couple de nombres entiers. A l'aide d'une intégration par parties dûment justifiée, montrer que .
En déduire la valeur de pour tout couple . On distinguera les cas et .

Soit la fonction de la variable réelle définie par :

II.1. Montrer que est définie et continue sur .
II.2. Montrer que est de classe sur .

II.3.1. Montrer que pour tout .

On pourra par exemple, entre autres méthodes, utiliser l'égalité .
II.3.2. Calculer . En déduire l'expression de en fonction de .

On considère la série de fonctions de terme général défini par :

Pour tout , soit la fonction définie par .
On remarquera que pour tout on a .
III.1. Soit un nombre réel strictement positif.
III.1.1. Soit tel que . Etudier les variations sur le segment des fonctions et .
En déduire que pour tout , on a .
III.1.2. Montrer que la série de fonctions converge normalement sur .

III.2.1. Déduire de la question précédente que la série de fonctions converge simplement sur tout entier. On note sa somme.
III.2.2. Montrer que est continue sur . On admettra que est de classe sur .
III.2.3. Montrer que est paire.
III.2.4. Exprimer, pour tout au moyen de et . En déduire que est périodique de période .
III.3. Soit la série de Fourier de .
III.3.1. Justifier l'égalité de avec la somme de sa série de Fourier.
III.3.2. Montrer que l'on a pour tout et tout .
III.3.3. Pour tout , justifier l'égalité . En déduire que .
III.3.4. Déduire de ce qui précède une expression de , pour tout , à l'aide de et de , puis exprimer en fonction de .