CCINP Mathématiques 2 PC 2010Sujet, corrigé et rapport du jury

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, la précision et à la concision de la rédaction ; si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

On note D = ℝ∖(− ℕ^∗) l'ensemble des nombres réels qui ne sont pas des nombres entiers strictement négatifs.
On considère la série de fonctions d'une variable réelle de terme général u_n défini par :

I.1. Montrer que cette série de fonctions converge simplement sur D.

On notera désormais U = ∑_(n = 1)^(+ ∞)u_n la somme de cette série de fonctions, et, pour tout n ∈ ℕ^∗, U_n = ∑_(k = 1)^n u_k la somme partielle d'ordre n et R_n = ∑_(k = n + 1)^(+ ∞)u_k le reste correspondant. On a donc R_n = U − U_n pour tout n ∈ ℕ^∗.
I.2.
I.2.1. Soit p ∈ ℕ^∗ donné. Pour tout n ∈ ℕ^∗, soit u_n^((p)) la dérivée de u_n à l'ordre p. Calculer u_n^((p))(x) pour tout x ∈ ℝ, x ≠ − n.
I.2.2. Soient a et b deux nombres réels tels que − 1 < a < b.

Montrer que la série de fonctions de terme général u_n^((p)) converge normalement sur [a, b].
I.2.3. Déduire de ce qui précède que U est de classe C^∞ sur ] − 1, + ∞[.
I.3.
I.3.1. Soit N ∈ ℕ^∗ donné. Pour tout x ∈ D, exprimer U(x) à l'aide de U_N(x) et U(x + N).
I.3.2. En déduire que U est de classe C^∞ sur ] − N − 1, − N[, puis sur D.
I.3.3. Soit p ∈ ℕ donné, p ≥ 2.

Pour tout x ∈ D, établir une expression de ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/((n + x)^p) à l'aide de p et de U^((p − 2))(x).
I.4. Soit N ∈ ℕ^∗ donné. Donner un équivalent de U(x) lorsque x tend vers − N.
I.5.
I.5.1. Montrer que U est strictement décroissante sur ] − 1, + ∞[.
I.5.2. Montrer que pour tout x > 0 on a ∫_(x + 1)^(+ ∞)(dt)/(t^2) ≤ U(x) ≤ ∫_x^(+ ∞)(dt)/(t^2).

En déduire un équivalent de U(x) lorsque x tend vers + ∞.
I.6. Montrer que pour tout x ∈ D on a U(x) = 1/4[U(x/2) + U((x − 1)/2)].

II.1. Pour tout p ∈ ℕ on note f_p la fonction définie sur ℝ^∗ par :

II.1.1. Déterminer lim_(t → 0)f_p(t) selon les valeurs de p.

On notera désormais f_p la fonction f_p prolongée par continuité à ℝ tout entier.
II.1.2. Déterminer un équivalent de f_p(t) lorsque t tend vers + ∞.
II.2. Soit φ la fonction d'une variable réelle x définie par :

II.2.1. Montrer que le domaine de définition de φ est ] − 1, + ∞[.
II.2.2. Soient p ∈ ℕ et a ∈ ] − 1, + ∞[ donnés.

Vérifier que pour tout x ≥ a et tout t ≥ 0 on a 0 ≤ f_p(t)e^(− xt) ≤ f_p(t)e^(− at).
Montrer que la fonction t ↦ f_p(t)e^(− at) est intégrable sur [0, + ∞[.
II.2.3. Déduire de ce qui précède que φ est de classe C^∞ sur ] − 1, + ∞[.
II.2.4. Déterminer lim_(x → + ∞)φ(x).
II.3.
II.3.1. Montrer que φ(x) − φ(x + 1) = 1/((x + 1)^2) pour tout x > − 1.
II.3.2. En déduire que φ(x) = U(x) pour tout x > − 1.
II.3.3. Soit p ∈ ℕ donné, p ≥ 2.

Pour tout x > − 1, exprimer ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/((n + x)^p) à l'aide de p et de ∫_0^(+ ∞)(t^(p − 1)e^(− xt))/(e^t − 1)dt.

Soit g la fonction d'une variable réelle x, périodique de période 2π, telle que :

Soit 1/2a_0(g) + ∑_(n = 1)^(+ ∞)(a_n(g)cosnx + b_n(g)sinnx) la somme de la série de Fourier de g.
III.1. Préciser pourquoi g est égale en tout point de ℝ à la somme de sa série de Fourier.

III.2.1. Calculer b_n(g) pour tout n ∈ ℕ^∗.
III.2.2. Calculer a_n(g) pour tout n ∈ ℕ.

III.3.1. Calculer ∑_(k = 1)^(+ ∞)1/((2k − 1)^2).
III.3.2. En déduire la valeur de U(− 1/2), puis celle de U(0).
III.4. Calculer ∑_(k = 1)^(+ ∞)1/((2k − 1)^4). En déduire la valeur de la somme ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^4).
III.5. On note G la primitive de g telle que G(0) = 0.
III.5.1. Montrer que G est impaire, périodique de période 2π.
III.5.2. Calculer les coefficients de Fourier de G.

Préciser pourquoi G est égale en tout point de ℝ à la somme de sa série de Fourier.
III.5.3. Calculer les sommes ∑_(k = 1)^(+ ∞)1/((2k − 1)^6) et ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^6).