CCINP Mathématiques 2 PC 2010

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, la précision et à la concision de la rédaction ; si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

On note l'ensemble des nombres réels qui ne sont pas des nombres entiers strictement négatifs.
On considère la série de fonctions d'une variable réelle de terme général défini par :

I.1. Montrer que cette série de fonctions converge simplement sur .

On notera désormais la somme de cette série de fonctions, et, pour tout , la somme partielle d'ordre et le reste correspondant. On a donc pour tout .
I.2.
I.2.1. Soit donné. Pour tout , soit la dérivée de à l'ordre . Calculer pour tout .
I.2.2. Soient et deux nombres réels tels que .

Montrer que la série de fonctions de terme général converge normalement sur .
I.2.3. Déduire de ce qui précède que est de classe sur .
I.3.
I.3.1. Soit donné. Pour tout , exprimer à l'aide de et .
I.3.2. En déduire que est de classe sur , puis sur .
I.3.3. Soit donné, .

Pour tout , établir une expression de à l'aide de et de .
I.4. Soit donné. Donner un équivalent de lorsque tend vers .
I.5.
I.5.1. Montrer que est strictement décroissante sur .
I.5.2. Montrer que pour tout on a .

En déduire un équivalent de lorsque tend vers .
I.6. Montrer que pour tout on a .

II.1. Pour tout on note la fonction définie sur par :

II.1.1. Déterminer selon les valeurs de .

On notera désormais la fonction prolongée par continuité à tout entier.
II.1.2. Déterminer un équivalent de lorsque tend vers .
II.2. Soit la fonction d'une variable réelle définie par :

II.2.1. Montrer que le domaine de définition de est .
II.2.2. Soient et donnés.

Vérifier que pour tout et tout on a .
Montrer que la fonction est intégrable sur .
II.2.3. Déduire de ce qui précède que est de classe sur .
II.2.4. Déterminer .
II.3.
II.3.1. Montrer que pour tout .
II.3.2. En déduire que pour tout .
II.3.3. Soit donné, .

Pour tout , exprimer à l'aide de et de .

Soit la fonction d'une variable réelle , périodique de période , telle que :

Soit la somme de la série de Fourier de .
III.1. Préciser pourquoi est égale en tout point de à la somme de sa série de Fourier.

III.2.1. Calculer pour tout .
III.2.2. Calculer pour tout .

III.3.1. Calculer .
III.3.2. En déduire la valeur de , puis celle de .
III.4. Calculer . En déduire la valeur de la somme .
III.5. On note la primitive de telle que .
III.5.1. Montrer que est impaire, périodique de période .
III.5.2. Calculer les coefficients de Fourier de .

Préciser pourquoi est égale en tout point de à la somme de sa série de Fourier.
III.5.3. Calculer les sommes et .