CCINP Mathématiques 2 PC 2014Sujet et rapport du jury

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les trois parties sont, dans une large mesure, indépendantes.

On s'intéresse à des opérateurs définis sur l'espace des fonctions continues et 2π-périodiques, en introduisant sur cet espace une loi dite produit de convolution.

I.1. Soit φ : ℝ → ℝ définie par :

I.1.a Donner l'allure de la représentation graphique de φ sur le segment [ − 2π, 2π].
I.1.b L'application φ est-elle continue sur ℝ ? De classe C^1 sur ℝ ? De classe C^1 par morceaux sur ℝ ? On justifiera brièvement les réponses.
I.2. Série de Fourier de φ.
I.2.a Déterminer les coefficients de Fourier (dits exponentiels) de φ : c_n(φ) pour tout n ∈ ℤ. Préciser la convergence de la série de Fourier de φ.
I.2.b Justifier la convergence et calculer les sommes ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(4n^2 − 1) et ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/((4n^2 − 1)^2).

Dans la suite de cette partie, ainsi que dans la partie suivante, on considère E l'espace vectoriel réel des applications de ℝ vers ℝ qui sont continues sur ℝ et 2π-périodiques.
I.3. Soient h ∈ E et H : ℝ → ℝ définie pour s ∈ ℝ par H(s) = ∫_s^(s + 2π)h(t)dt. Justifier que H est une application constante sur ℝ.
I.4. A toute fonction f ∈ E, on associe g = Φ(f) définie par :

I.4.a Montrer que g est définie sur ℝ et 2π-périodique.
I.4.b Montrer que g est continue sur ℝ.
I.4.c Justifier que l'application Φ ainsi définie est un endomorphisme de l'espace vectoriel réel E.
I.5. Soient f ∈ E et g = Φ(f).
I.5.a Montrer que pour tout x ∈ ℝ, on a : g(x) = ∫_(x − 2π)^x sin((x − t)/2)f(t)dt.

En déduire que l'on peut écrire : g(x) = sin(x/2)F(x) − cos(x/2)G(x) où l'on a posé : F(x) = ∫_(x − 2π)^x cos(t/2)f(t)dt et G(x) = ∫_(x − 2π)^x sin(t/2)f(t)dt.
I.5.b En déduire que g est de classe C^2 sur ℝ, avec : g^(′′) + g/4 = f.
I.5.c Soit n ∈ ℤ. En utilisant g^(′′), déterminer le coefficient de Fourier c_n(g) en fonction de c_n(f). Grâce au calcul de I.2.a, donner une relation entre c_n(g), c_n(f) et c_n(φ).
I.6. Isomorphisme.
I.6.a Soient f ∈ E, f de classe C^1 sur ℝ et g = Φ(f). Montrer que g^′ = Φ(f^′).
I.6.b Soit h ∈ E, h étant supposée de classe C^2 sur ℝ.

En utilisant g = Φ(h), montrer que : Φ(h^(′′) + h/4) = h.
I.6.c Montrer que Φ établit un isomorphisme (d'espaces vectoriels) entre E et son sousespace noté E_2 constitué des applications de classe C^2 sur ℝ (et 2π-périodiques).
I.7. Exemples de résolution.
I.7.a Déterminer les fonctions f dans E telles que Φ(f) = − 4/3f; pour cela, on justifiera que f ∈ E_2 et que f est solution d'une équation différentielle du deuxième ordre que l'on résoudra.
I.7.b Déterminer les fonctions f dans E telles que Φ(f) = f.

Soit r ∈ ]0, 1[ fixé.
II.1. Pour tout n ∈ ℕ^∗, on définit la fonction p_n par :

II.1.a Montrer la convergence normale sur ℝ de la série de fonctions de terme général p_n.
II.1.b Pour tout réel t, on pose alors P(t) = 1 + 2∑_(n = 1)^(+ ∞)p_n(t).

En remarquant que 2cos(nt) = e^(− int) + e^(int), justifier l'égalité P(t) = (1 − r^2)/(r^2 − 2rcos(t) + 1).
II.2. Soit f : ℝ → ℝ une application continue sur ℝ et 2π-périodique.
II.2.a Justifier que f est bornée sur ℝ.
II.2.b Soit x ∈ ℝ fixé. On définit alors g(x) = 1/(2π)∫_(− π)^π P(x − t)f(t)dt.

On note aussi g_0(x) = 1/(2π)∫_(− π)^π f(t)dt = c_0(f) et pour tout n ∈ ℕ^∗ :
a_n = 1/π∫_(− π)^π cos(nt)f(t)dt, b_n = 1/π∫_(− π)^(π^π)sin(nt)f(t)dt, g_n(x) = r^n(a_n cos(nx) + b_n sin(nx)).
Justifier alors l'égalité : g(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)g_n(x).
II.2.c Montrer que la fonction g ainsi définie est de classe C^1 sur ℝ : pour cela, on précisera l'usage du théorème du cours concernant la classe C^1 d'une fonction somme d'une série de fonctions.
II.2.d g étant 2π-périodique, on veut calculer ses coefficients de Fourier. Soit p ∈ ℤ.

Montrer que c_p(g) = r^(|p|)c_p(f), où c_p(g) et c_p(f) désignent les coefficients de Fourier (exponentiels) de f et g respectivement. Pour cela, on justifiera d'abord l'intégration terme-à-terme dans l'intégrale définissant c_p(g).
II.3. On considère E l'espace vectoriel réel des applications de ℝ vers ℝ, continues sur ℝ et qui sont 2π-périodiques. A toute fonction f ∈ E, on associe g = Π(f) définie par :

En procédant comme dans la question I.4, on montre que l'application Π ainsi définie est un endomorphisme de l'espace vectoriel réel E, ce que l'on admettra sans avoir à en faire la démonstration.
II.3.a Grâce à II.2.d, déterminer les réels λ tels qu'il existe f ∈ E non nulle, vérifiant Π(f) = λf.
II.3.b L'endomorphisme Π : E → E est-il injectif ? Est-il surjectif ?

On considère ici l'espace vectoriel complexe noté C_(2π) des applications continues de ℝ vers ℂ, qui sont 2π-périodiques.

On rappelle que l'on définit sur C_(2π) un produit scalaire noté ( ⋅ | ⋅ ) et la norme associée notée ici ‖ ⋅ ‖_2 par :

Par ailleurs, on considère la norme usuelle ‖.‖_∞, définie aussi sur C_(2π) par :

III.1. Pour f et g dans C_(2π), on définit h = f∗g (dit produit de convolution de f et g ), par :

Montrer que h ainsi définie est dans C_(2π).
III.2. Pour la suite de cette partie, on admettra sans démonstration la relation entre les coefficients de Fourier de f∗g et ceux de f et g :

III.2.a Montrer que pour f et g dans C_(2π), on a : f∗g = g∗f.
III.2.b Montrer qu'il ne peut pas exister ε ∈ C_(2π), telle que pour tout f ∈ C_(2π) on ait : f∗ε = f.
III.3. Soit ψ donnée dans C_(2π).

A toute fonction f ∈ C_(2π), on associe Θ(f) = ψ∗f.
III.3.a Montrer que l'application Θ ainsi définie est un endomorphisme de l'espace vectoriel complexe C_(2π).
III.3.b Montrer que S_ψ = {c_n(ψ), n ∈ ℤ} est borné, que M = sup{|c_n(ψ)|, n ∈ ℤ} existe et vérifie M ⩽ ‖ψ‖_∞.
III.3.c Justifier que :

Comment peut-on interpréter ce résultat?
III.3.d Montrer que S_ψ est exactement l'ensemble des nombres complexes λ tels qu'il existe f non nulle dans C_(2π), vérifiant Θ(f) = λf.
Comment peut-on interpréter ce résultat?
III.3.e Caractériser à l'aide de S_ψ l'injectivité de Θ.