CCINP Mathématiques 2 PC 2014

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les trois parties sont, dans une large mesure, indépendantes.

On s'intéresse à des opérateurs définis sur l'espace des fonctions continues et -périodiques, en introduisant sur cet espace une loi dite produit de convolution.

I.1. Soit définie par :

I.1.a Donner l'allure de la représentation graphique de sur le segment .
I.1.b L'application est-elle continue sur ? De classe sur ? De classe par morceaux sur ? On justifiera brièvement les réponses.
I.2. Série de Fourier de .
I.2.a Déterminer les coefficients de Fourier (dits exponentiels) de pour tout . Préciser la convergence de la série de Fourier de .
I.2.b Justifier la convergence et calculer les sommes et .

Dans la suite de cette partie, ainsi que dans la partie suivante, on considère l'espace vectoriel réel des applications de vers qui sont continues sur et -périodiques.
I.3. Soient et définie pour par . Justifier que est une application constante sur .
I.4. A toute fonction , on associe définie par :

I.4.a Montrer que est définie sur et -périodique.
I.4.b Montrer que est continue sur .
I.4.c Justifier que l'application ainsi définie est un endomorphisme de l'espace vectoriel réel .
I.5. Soient et .
I.5.a Montrer que pour tout , on a : .

En déduire que l'on peut écrire : où l'on a posé : et .
I.5.b En déduire que est de classe sur , avec .
I.5.c Soit . En utilisant , déterminer le coefficient de Fourier en fonction de . Grâce au calcul de I.2.a, donner une relation entre et .
I.6. Isomorphisme.
I.6.a Soient de classe sur et . Montrer que .
I.6.b Soit , étant supposée de classe sur .

En utilisant , montrer que : .
I.6.c Montrer que établit un isomorphisme (d'espaces vectoriels) entre et son sousespace noté constitué des applications de classe sur (et -périodiques).
I.7. Exemples de résolution.
I.7.a Déterminer les fonctions dans telles que ; pour cela, on justifiera que et que est solution d'une équation différentielle du deuxième ordre que l'on résoudra.
I.7.b Déterminer les fonctions dans telles que .

Soit fixé.
II.1. Pour tout , on définit la fonction par :

II.1.a Montrer la convergence normale sur de la série de fonctions de terme général .
II.1.b Pour tout réel , on pose alors .

En remarquant que , justifier l'égalité .
II.2. Soit une application continue sur et -périodique.
II.2.a Justifier que est bornée sur .
II.2.b Soit fixé. On définit alors .

On note aussi et pour tout
.
Justifier alors l'égalité : .
II.2.c Montrer que la fonction ainsi définie est de classe sur : pour cela, on précisera l'usage du théorème du cours concernant la classe d'une fonction somme d'une série de fonctions.
II.2.d étant -périodique, on veut calculer ses coefficients de Fourier. Soit .

Montrer que , où et désignent les coefficients de Fourier (exponentiels) de et respectivement. Pour cela, on justifiera d'abord l'intégration terme-à-terme dans l'intégrale définissant .
II.3. On considère l'espace vectoriel réel des applications de vers , continues sur et qui sont -périodiques. A toute fonction , on associe définie par :

En procédant comme dans la question I.4, on montre que l'application ainsi définie est un endomorphisme de l'espace vectoriel réel , ce que l'on admettra sans avoir à en faire la démonstration.
II.3.a Grâce à II.2.d, déterminer les réels tels qu'il existe non nulle, vérifiant .
II.3.b L'endomorphisme est-il injectif ? Est-il surjectif ?

On considère ici l'espace vectoriel complexe noté des applications continues de vers , qui sont -périodiques.

On rappelle que l'on définit sur un produit scalaire noté ( ) et la norme associée notée ici par :

Par ailleurs, on considère la norme usuelle , définie aussi sur par :

III.1. Pour et dans , on définit (dit produit de convolution de et ), par :

Montrer que ainsi définie est dans .
III.2. Pour la suite de cette partie, on admettra sans démonstration la relation entre les coefficients de Fourier de et ceux de et :

III.2.a Montrer que pour et dans , on a : .
III.2.b Montrer qu'il ne peut pas exister , telle que pour tout on ait : .
III.3. Soit donnée dans .

A toute fonction , on associe .
III.3.a Montrer que l'application ainsi définie est un endomorphisme de l'espace vectoriel complexe .
III.3.b Montrer que est borné, que existe et vérifie .
III.3.c Justifier que :

Comment peut-on interpréter ce résultat?
III.3.d Montrer que est exactement l'ensemble des nombres complexes tels qu'il existe non nulle dans , vérifiant .
Comment peut-on interpréter ce résultat?
III.3.e Caractériser à l'aide de l'injectivité de .