CCINP Mathématiques 2 PSI 2005Sujet, corrigé et rapport du jury

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

ℝ désigne l'ensemble des nombres réels, ℂ désigne l'ensemble des nombres complexes. Pour λ ∈ ℂ, on note |λ| le module de λ.
M_2(ℂ) désigne l'espace des matrices à deux lignes et à deux colonnes, à coefficients complexes.
M = (m_(i, j)) étant une matrice à coefficients complexes, on note M¯ = (m¯_(i, j)) la matrice dont les coefficients sont les conjugués des coefficients de M. La matrice transposée de M est notée ^t M.

Pour M ∈ M_2(ℂ), on note det(M) le déterminant de M et tr(M) la trace de M. On note I_2 = (1, 0; 0, 1).

Le problème porte sur l'étude de sous-ensembles de matrices de M_2(ℂ) et conduit à définir, par des matrices de M_2(ℂ), des rotations d'un espace euclidien de dimension 3 .

Dans la première partie, on définit un produit scalaire sur l'espace vectoriel complexe ℂ^2.
Dans la deuxième et la troisième partie, on étudie des sous-ensembles de matrices de M_2(ℂ).

Dans la quatrième partie, on définit une structure euclidienne sur un sous-ensemble de matrices de M_2(ℂ) et on étudie des automorphismes de cet espace euclidien.

Dans tout le problème, des questions de calcul peuvent être traitées indépendamment des autres questions.

On note ℂ^2 le ℂ-espace vectoriel des couples de nombres complexes. Les deux vecteurs e_1 = (1, 0), e_2 = (0, 1) de ℂ^2 forment une base B = (e_1, e_2) de ℂ^2, appelée base canonique.

Étant donné deux vecteurs x = (a, b), y = (c, d) de ℂ^2, de matrices X = (a/b), Y = (c/d), relativement à la base canonique, on définit le produit scalaire (x|y) = a^–c + b^–d = ^t X^–Y; la norme est définie par ‖x‖ = √((x|x)) = √(|a|^2 + |b|^2).
ℂ^2 est un espace vectoriel préhilbertien complexe pour ce produit scalaire et B est une base orthonormale de ℂ^2.
I.1. Soient x = (a, b), y = (c, d) deux vecteurs de ℂ^2 et λ, μ deux scalaires complexes. Exprimer les produits scalaires (y|x), (λx|y), (x|μy) en fonction du produit scalaire (x|y).
I.2. Soient x = (a, 1 + 3i), y = (− 1 + 5i, 3 − 2i) deux vecteurs de ℂ^2.
I.2.1 À quelle condition sur le nombre complexe a, les vecteurs x et y forment-ils une base de ℂ^2 ?
I.2.2 À quelle condition cette base est-elle orthogonale ? Dans ce cas, calculer la norme de x.
I.3. Soit T = (i/2, (√3)/2; − (√3)/2, − i/2) ∈ M_2(ℂ).
I.3.1 Déterminer les valeurs propres (complexes) et les sous-espaces propres de T.
I.3.2 En déduire qu'il existe une base orthonormale de vecteurs propres de T, que l'on explicitera.
I.4. Soit U = (a, c; b, d) ∈ M_2(ℂ). On note x = (a, b), y = (c, d) les vecteurs colonnes de U. Exprimer le produit matriciel ^t U¯U en fonction de (x|y), ‖x‖ et ‖y‖.

On note U = {U ∈ M_2(ℂ); ^t U¯U = I_2}.
II.1. Soit U = (a, c; b, d) ∈ M_2(ℂ) avec x = (a, b), y = (c, d). À quelle condition sur les vecteurs colonnes x et y de U a-t-on U ∈ U ?
II.2. Soit U ∈ U. Calculer |det(U)|, le module dedet(U).
II.3. Soit U ∈ U.
II.3.1. Montrer que U est inversible et que U^(− 1) appartient à U.
II.3.2. Montrer que U¯ appartient à ∪ et que ^t U appartient à ∪.
II.3.3. Soit V ∈ U. Montrer que le produit UV appartient à U.
II.4. Soit U un élément de U et soit λ une valeur propre complexe de U. Déterminer |λ|.

On note su = {U ∈ U; det(U) = 1}.

Pour θ élément de ℝ, on définit la matrice D_θ ∈ SU par: D_θ = (e^(iθ), 0; 0, e^(− iθ)).
III.1. Soit U = (a, c; b, d) ∈ M_2(ℂ).
III.1.1. Donner les quatre relations portant sur les scalaires a, b, c, d, qui caractérisent l'appartenance de U à su .
III.1.2. On suppose que U appartient à SU . Montrer que c = − b¯ et d = a¯.
III.1.3. En déduire que U appartient à su si et seulement si U = (a, − b¯; b, a¯) avec |a|^2 + |b|^2 = 1.
III.2. Soit U = (a, − b¯; b, a¯), avec |a|^2 + |b|^2 = 1 une matrice de su .
III.2.1 Déterminer le polynôme caractéristique χ(λ) = det(U − λI_2) de U. En déduire qu'il existe un réel θ tel que les valeurs propres de U sont e^(iθ) et e^(− iθ).

Etant donné une matrice U ∈ SU, on admet que U est semblable à une matrice diagonale D_θ avec une matrice de passage P ∈ SU, c'est à dire qu'il existe θ ∈ ℝ et P ∈ SU tels que U = PD_θ P^(− 1). La démonstration de ce résultat fera l'objet de la question IV.7.
III.2.2. Vérifier que la matrice T définie à la question I.3 appartient à SU . Déterminer un réel θ et une matrice P appartenant à SU , tels que T = PD_θ P^(− 1).

Rappel : E étant un espace euclidien orienté de dimension 3, rapporté à la base orthonormale directe (ε_1, ε_2, ε_3), θ étant un réel, on note R_θ = (1, 0, 0; 0, cosθ, − sinθ; 0, sinθ, cosθ) la matrice, relativement à cette base, de la rotation de E d'axe dirigé par le vecteur ε_1 et dont une mesure de l'angle est le réel θ.

On note V = {A ∈ M_2(ℂ); A = ^t A¯ et tr(A) = 0}.
IV.1. Soit A = (a, c; b, d) ∈ V.
IV.1.1. Montrer que A est de la forme A = (a, r + is; r − is, − a) avec a, r, s réels. En déduire que ∨ est un espace vectoriel réel dont une base est formée par les matrices E_1 = (1, 0; 0, − 1), E_2 = (0, 1; 1, 0), E_3 = (0, i; − i, 0).
IV.1.2. Montrer que l'application définie sur ∨ XV par : (A, B)↦<A, B>=1/2tr(AB) définit un produit scalaire sur l'espace vectoriel réel V. En notant ‖A‖ = √(⟨A, A⟩) la norme de A, exprimer ‖A‖^2 en fonction dedet(A).
IV.1.3. Pour j et k appartenant à l'ensemble {1, 2, 3}, calculer les produits scalaires < E_j, E_k >. Que peut-on en déduire?

Dans la suite, on considère ∨ comme un espace euclidien, pour le produit scalaire défini ci-dessus.
IV.2. Soit P ∈ SU. On note l_P l'application définie sur ∨ par : pour tout A ∈ ∨, l_p(A) = PAP^(− 1).
IV.2.1 Montrer que l_P est un automorphisme orthogonal de l'espace euclidien ∨ (c'est-àdire un endomorphisme de ∨ qui conserve la norme).
IV.2.2. Soient P et Q dans SU . Montrer que le produit PQ appartient à SU et montrer que la composée l_P o l_Q vérifie l_P o l_Q = l_(PQ).

IV.3 Caractérisation de l_(D_θ).
IV.3.1. Pour j = 1, 2, 3, exprimer l_(D_θ)(E_j) dans la base (E_1, E_2, E_3).
IV.3.2. En déduire que l_(D_θ) est une rotation de l'espace euclidien ∨, dont on donnera un vecteur qui dirige l'axe et une mesure de l'angle.
IV.4. Soit U ∈ SU. En utilisant le résultat admis dans III.2., déterminer une base orthonormale de l'espace euclidien V , relativement à laquelle la matrice de l_U est une matrice de rotation. Préciser un vecteur qui dirige l'axe et une mesure de l'angle de cette rotation.
IV.5. Soit U = (a, − b¯; b, a¯) ∈ SU. En notant a = p + iq, (p, q) ∈ ℝ^2, on écrit U = pI_2 + iH avec H ∈ M_2(ℂ).
IV.5.1. Montrer que H appartient à ∨.
IV.5.2 Déterminer l_U(H).
IV.5.3. En notant b = r + is, (r, s) ∈ ℝ^2, déterminer par ses composantes relativement à la base ( E_1, E_2, E_3 ), un vecteur de l'axe de la rotation l_U.
IV.6. On considère la rotation l_T de ∨, définie par la matrice de T de la question I.3; donner un vecteur qui dirige l'axe et une mesure de l'angle de cette rotation.
IV.7. Soit U ∈ SU. Démonstration du résultat admis dans III.2.
IV.7.1 On suppose que U a une valeur propre double ; quelles sont les matrices U possibles?
IV.7.2 Dans le cas où U a deux valeurs propres distinctes, montrer que les sous espaces propres correspondants sont orthogonaux dans ℂ^2. En déduire le résultat admis dans III.2.