CCINP Mathématiques 2 PSI 2005

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

désigne l'ensemble des nombres réels, désigne l'ensemble des nombres complexes. Pour , on note le module de .
désigne l'espace des matrices à deux lignes et à deux colonnes, à coefficients complexes.
étant une matrice à coefficients complexes, on note la matrice dont les coefficients sont les conjugués des coefficients de . La matrice transposée de est notée .

Pour , on note le déterminant de et la trace de . On note .

Le problème porte sur l'étude de sous-ensembles de matrices de et conduit à définir, par des matrices de , des rotations d'un espace euclidien de dimension 3 .

Dans la première partie, on définit un produit scalaire sur l'espace vectoriel complexe .
Dans la deuxième et la troisième partie, on étudie des sous-ensembles de matrices de .

Dans la quatrième partie, on définit une structure euclidienne sur un sous-ensemble de matrices de et on étudie des automorphismes de cet espace euclidien.

Dans tout le problème, des questions de calcul peuvent être traitées indépendamment des autres questions.

On note le -espace vectoriel des couples de nombres complexes. Les deux vecteurs de forment une base de , appelée base canonique.

Étant donné deux vecteurs de , de matrices , relativement à la base canonique, on définit le produit scalaire ; la norme est définie par .
est un espace vectoriel préhilbertien complexe pour ce produit scalaire et est une base orthonormale de .
I.1. Soient deux vecteurs de et deux scalaires complexes. Exprimer les produits scalaires en fonction du produit scalaire .
I.2. Soient deux vecteurs de .
I.2.1 À quelle condition sur le nombre complexe , les vecteurs et forment-ils une base de ?
I.2.2 À quelle condition cette base est-elle orthogonale ? Dans ce cas, calculer la norme de .
I.3. Soit .
I.3.1 Déterminer les valeurs propres (complexes) et les sous-espaces propres de .
I.3.2 En déduire qu'il existe une base orthonormale de vecteurs propres de , que l'on explicitera.
I.4. Soit . On note les vecteurs colonnes de . Exprimer le produit matriciel en fonction de et .

On note .
II.1. Soit avec . À quelle condition sur les vecteurs colonnes et de a-t-on ?
II.2. Soit . Calculer , le module .
II.3. Soit .
II.3.1. Montrer que est inversible et que appartient à .
II.3.2. Montrer que appartient à et que appartient à .
II.3.3. Soit . Montrer que le produit appartient à .
II.4. Soit un élément de et soit une valeur propre complexe de . Déterminer .

On note .

Pour élément de , on définit la matrice par: .
III.1. Soit .
III.1.1. Donner les quatre relations portant sur les scalaires , qui caractérisent l'appartenance de à su .
III.1.2. On suppose que appartient à SU . Montrer que et .
III.1.3. En déduire que appartient à su si et seulement si avec .
III.2. Soit , avec une matrice de su .
III.2.1 Déterminer le polynôme caractéristique de . En déduire qu'il existe un réel tel que les valeurs propres de sont et .

Etant donné une matrice , on admet que est semblable à une matrice diagonale avec une matrice de passage , c'est à dire qu'il existe et tels que . La démonstration de ce résultat fera l'objet de la question IV.7.
III.2.2. Vérifier que la matrice définie à la question appartient à SU . Déterminer un réel et une matrice appartenant à SU , tels que .

Rappel : étant un espace euclidien orienté de dimension 3, rapporté à la base orthonormale directe étant un réel, on note la matrice, relativement à cette base, de la rotation de d'axe dirigé par le vecteur et dont une mesure de l'angle est le réel .

On note et .
IV.1. Soit .
IV.1.1. Montrer que est de la forme avec réels. En déduire que est un espace vectoriel réel dont une base est formée par les matrices .
IV.1.2. Montrer que l'application définie sur par : définit un produit scalaire sur l'espace vectoriel réel V. En notant la norme de , exprimer en fonction .
IV.1.3. Pour et appartenant à l'ensemble , calculer les produits scalaires . Que peut-on en déduire?

Dans la suite, on considère comme un espace euclidien, pour le produit scalaire défini ci-dessus.
IV.2. Soit . On note l'application définie sur par : pour tout .
IV.2.1 Montrer que est un automorphisme orthogonal de l'espace euclidien (c'est-àdire un endomorphisme de qui conserve la norme).
IV.2.2. Soient et dans SU . Montrer que le produit appartient à SU et montrer que la composée o vérifie o .

IV.3 Caractérisation de .
IV.3.1. Pour , exprimer dans la base .
IV.3.2. En déduire que est une rotation de l'espace euclidien , dont on donnera un vecteur qui dirige l'axe et une mesure de l'angle.
IV.4. Soit . En utilisant le résultat admis dans III.2., déterminer une base orthonormale de l'espace euclidien V , relativement à laquelle la matrice de est une matrice de rotation. Préciser un vecteur qui dirige l'axe et une mesure de l'angle de cette rotation.
IV.5. Soit . En notant , on écrit avec .
IV.5.1. Montrer que appartient à .
IV.5.2 Déterminer .
IV.5.3. En notant , déterminer par ses composantes relativement à la base ( ), un vecteur de l'axe de la rotation .
IV.6. On considère la rotation de , définie par la matrice de de la question ; donner un vecteur qui dirige l'axe et une mesure de l'angle de cette rotation.
IV.7. Soit . Démonstration du résultat admis dans III.2.
IV.7.1 On suppose que a une valeur propre double ; quelles sont les matrices possibles?
IV.7.2 Dans le cas où a deux valeurs propres distinctes, montrer que les sous espaces propres correspondants sont orthogonaux dans . En déduire le résultat admis dans III.2.