CCINP Mathématiques 2 PSI 2006

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

On désigne par l'ensemble des nombres réels, par l'ensemble des nombres entiers naturels et par l'ensemble des nombres rationnels. On note l'ensemble privé de 0 .
Etant donné un entier naturel non nul , on note l'ensemble des entiers naturels tels que .
Pour entier naturel non nul, on note (respectivement ) l'espace vectoriel des matrices carrées à lignes (respectivement l'espace vectoriel des matrices colonnes à lignes) à coefficients dans .
Etant donné une matrice , la notation signifie que est le coefficient de la ligne et de la colonne de la matrice .
On note la matrice unité de c'est-à-dire, telle que avec :
Pour tout et pour tout .
On note la matrice carrée de dont tous les coefficients sont égaux à 1 et la matrice colonne de dont tous les coefficients sont égaux à 1 .

L'espace vectoriel est rapporté à la base canonique ( ).

Le problème porte sur l'étude de matrices vérifiant une propriété ( ).
Dans la partie , on fait établir des résultats sur une matrice particulière vérifiant la propriété ( ).
La partie II conduit, à travers l'étude des matrices vérifiant la propriété ( ), à caractériser ces matrices à l'aide de matrices semblables.

Dans la partie III, on construit, à l'aide de produits scalaires, une matrice vérifiant la propriété ( ).
Les trois parties sont indépendantes les unes des autres.

I.1. Calculer la matrice .
I.2. Exprimer la matrice en fonction des matrices et .
I.3. Exprimer la matrice en fonction de la matrice .
I.4. Déduire des questions précédentes un polynôme annulateur de .
I.5. Quelles sont les valeurs propres possibles de la matrice ?
I.6. Montrer que possède une valeur propre entière (et une seule); déterminer cette valeur propre entière ainsi que le sous-espace propre associé.

Dans cette partie et sont des nombres entiers tels que .
On dit qu'une matrice vérifie la propriété lorsqu'elle vérifie les quatre conditions suivantes :
(1) est symétrique
(2) Pour tout
(3) Chaque ligne de comporte coefficients égaux à 1 et coefficients égaux à 0 .
(4) Pour tout avec , le coefficient , si et seulement si, il existe un entier tel que . L'entier est alors unique.

On pourra utiliser sans justification une conséquence de la propriété : si , alors pour tout entier on a le produit .

Soit . On suppose que la matrice vérifie la propriété .
II.1. Expression de . On note .
II.1.1. Pour , calculer les coefficients .
II.1.2. Pour avec , déterminer le coefficient selon la valeur de .
II.1.3. Montrer que où est un nombre entier que l'on déterminera.

Dans la suite, on note (respectivement ) l'endomorphisme de , de matrice (respectivement de matrice ), relativement à la base canonique ( ) de . On note id l'endomorphisme identité de .
Soit le vecteur de dont la matrice colonne des coordonnées relativement à la base canonique de est .
II.2. Relation entre et .
II.2.1 Déterminer , l'image de l'application linéaire .
II.2.2. Soit un vecteur du noyau de .

En calculant , montrer que est colinéaire à .
II.2.3 Montrer que est une valeur propre de et déterminer le sous-espace propre correspondant.
II.2.4. Déduire des questions précédentes l'égalité .
II.3. Valeurs propres de .

Dans la suite de cette question II.3, est une valeur propre de avec et un vecteur propre de associé à la valeur propre .
II.3.1 Justifier l'affirmation : il existe une base de formée de vecteurs propres de .
II.3.2. Justifier l'égalité . Que vaut ?
II.3.3. Montrer que est racine de l'équation .
II.3.4. On note et les deux racines de l'équation . On suppose qu'une seule de ces racines est valeur propre de , par exemple . En utilisant la trace de l'endomorphisme , exprimer en fonction de . En déduire une impossibilité.

Les deux racines et de l'équation ( ) sont donc des valeurs propres de . Dans la suite, on suppose .
II.4. Relations portant sur et .

On note la dimension du noyau de -aid et la dimension du noyau de -bid.
II.4.1. Exprimer en fonction de .
II.4.2. Exprimer le produit matriciel en fonction de .
II.4.3. En déduire en fonction de .
II.4.4. Pour quelle valeur de a-t-on ? Que valent alors et ?

Dans la suite, on caractérise la matrice par une matrice diagonale semblable à .
II.5. Premier cas. On suppose que .
II.5.1 Montrer que . En déduire et .
II.5.2 Déterminer et et donner une matrice diagonale semblable à .
II.6. Deuxième cas. On suppose que .
II.6.1. On écrit avec et dans . Montrer que tout nombre premier qui divise divise . En déduire que .
II.6.2. Montrer que est un entier impair supérieur ou égal à 3. En notant avec , exprimer en fonction de . En déduire et en fonction de .
II.6.3. On note . Montrer que divise . En déduire que .
II.6.4. Pour les différentes valeurs de , donner le tableau des valeurs de et .

On considère l'espace vectoriel euclidien rapporté à la base orthonormale . On note le produit scalaire de deux vecteurs et de .

On considère tous les vecteurs obtenus en ajoutant deux vecteurs distincts de : avec .
III.1. Justifier que l'on définit ainsi 10 vecteurs .

On indexe les vecteurs de façon arbitraire : .
III.2. Soit un endomorphisme de qui réalise une bijection de la base sur elle-même. Montrer que pour tout , on a .
III.3. Calcul des produits scalaires .
III.3.1. Pour , calculer .
III.3.2. On suppose que et que avec . Calculer .
III.3.3. On suppose que et que avec les quatre indices tous différents. Calculer .
III.4. Soit avec .
III.4.1. Écrire une combinaison linéaire de et susceptible de vérifier la propriété ( ) définie dans la partie II.
III.4.2. Justifier que cette matrice vérifie la propriété .

Fin de l'énoncé.