CCINP Mathématiques 2 PSI 2006Sujet, corrigé et rapport du jury

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

On désigne par ℝ l'ensemble des nombres réels, par ℕ l'ensemble des nombres entiers naturels et par ℚ l'ensemble des nombres rationnels. On note ℕ^∗ l'ensemble ℕ privé de 0 .
Etant donné un entier naturel non nul n, on note [ [1, n] ] l'ensemble des entiers naturels k tels que 1 ≤ k ≤ n.
Pour n entier naturel non nul, on note M_n(ℝ) (respectivement M_(n, 1)(ℝ) ) l'espace vectoriel des matrices carrées à n lignes (respectivement l'espace vectoriel des matrices colonnes à n lignes) à coefficients dans ℝ.
Etant donné une matrice A, la notation A = (a_(i, j)) signifie que a_(i, j) est le coefficient de la ligne i et de la colonne j de la matrice A.
On note I_n la matrice unité de M_n(ℝ) c'est-à-dire, telle que I_n = (a_(i, j)) avec :
Pour tout i, a_(i, i) = 1 et pour tout i ≠ j, a_(i, j) = 0.
On note J_n la matrice carrée de M_n(ℝ) dont tous les coefficients sont égaux à 1 et K_n la matrice colonne de M_(n, 1)(ℝ) dont tous les coefficients sont égaux à 1 .

L'espace vectoriel ℝ^n est rapporté à la base canonique ( e_1, e_2, …, e_n ).

Le problème porte sur l'étude de matrices vérifiant une propriété ( 𝒫 ).
Dans la partie I, on fait établir des résultats sur une matrice particulière vérifiant la propriété ( 𝒫 ).
La partie II conduit, à travers l'étude des matrices vérifiant la propriété ( 𝒫 ), à caractériser ces matrices à l'aide de matrices semblables.

Dans la partie III, on construit, à l'aide de produits scalaires, une matrice vérifiant la propriété ( 𝒫 ).
Les trois parties sont indépendantes les unes des autres.

I.1. Calculer la matrice M^2.
I.2. Exprimer la matrice M^2 + M en fonction des matrices J_5 et I_5.
I.3. Exprimer la matrice J_5^2 en fonction de la matrice J_5.
I.4. Déduire des questions précédentes un polynôme annulateur de M.
I.5. Quelles sont les valeurs propres possibles de la matrice M ?
I.6. Montrer que M possède une valeur propre entière (et une seule); déterminer cette valeur propre entière ainsi que le sous-espace propre associé.

Dans cette partie n et δ sont des nombres entiers tels que 2 ≤ δ ≤ n − 1.
On dit qu'une matrice M = (m_(i, j)) ∈ M_n(ℝ) vérifie la propriété (P) lorsqu'elle vérifie les quatre conditions suivantes :
(1) M est symétrique
(2) Pour tout i ∈ [ [1, n] ], m_(i, i) = 0
(3) Chaque ligne de M comporte δ coefficients égaux à 1 et n − δ coefficients égaux à 0 .
(4) Pour tout (i, j) ∈ [ [1, n] ] × [ [1, n] ] avec i ≠ j, le coefficient m_(i, j) = 0, si et seulement si, il existe un entier k ∈ [ [1, n] ] tel que m_(i, k) = m_(j, k) = 1. L'entier k est alors unique.

On pourra utiliser sans justification une conséquence de la propriété (𝒫) : si m_(i, j) = 1, alors pour tout entier k ∈ [ [1, n] ] on a le produit m_(i, k)m_(j, k) = 0.

Soit M = (m_(i, j)) ∈ M_n(ℝ). On suppose que la matrice M vérifie la propriété (P).
II.1. Expression de M^2. On note M^2 = (a_(i, j)).
II.1.1. Pour i ∈ [ [1, n] ], calculer les coefficients a_(i, i).
II.1.2. Pour (i, j) ∈ [ [1, n] ] × [ [1, n] ] avec i ≠ j, déterminer le coefficient a_(i, j) selon la valeur de m_(i, j).
II.1.3. Montrer que M^2 = J_n − M + dI_n où d est un nombre entier que l'on déterminera.

Dans la suite, on note f (respectivement φ ) l'endomorphisme de ℝ^n, de matrice M (respectivement de matrice J_n ), relativement à la base canonique ( e_1, e_2, …, e_n ) de ℝ^n. On note id l'endomorphisme identité de ℝ^n.
Soit v le vecteur de ℝ^n dont la matrice colonne des coordonnées relativement à la base canonique de ℝ^n est K_n.
II.2. Relation entre n et δ.
II.2.1 Déterminer Im(φ), l'image de l'application linéaire φ.
II.2.2. Soit u un vecteur du noyau de f − δid.

En calculant (f ∘ f)(u), montrer que u est colinéaire à u.
II.2.3 Montrer que δ est une valeur propre de f et déterminer le sous-espace propre correspondant.
II.2.4. Déduire des questions précédentes l'égalité n = δ^2 + 1.
II.3. Valeurs propres de f.

Dans la suite de cette question II.3, λ est une valeur propre de f avec λ ≠ δ et u = ∑_(i = 1)^n x_i e_i un vecteur propre de f associé à la valeur propre λ.
II.3.1 Justifier l'affirmation : il existe une base de ℝ^n formée de vecteurs propres de f.
II.3.2. Justifier l'égalité ∑_(i = 1)^n x_i = 0. Que vaut φ(u) ?
II.3.3. Montrer que λ est racine de l'équation (E) : x^2 + x + 1 − δ = 0.
II.3.4. On note a et b les deux racines de l'équation (E). On suppose qu'une seule de ces racines est valeur propre de f, par exemple a. En utilisant la trace de l'endomorphisme f, exprimer a en fonction de δ. En déduire une impossibilité.

Les deux racines a et b de l'équation ( E ) sont donc des valeurs propres de f. Dans la suite, on suppose a > b.
II.4. Relations portant sur r, s, a, b et δ.

On note r la dimension du noyau de f-aid et s la dimension du noyau de f-bid.
II.4.1. Exprimer (a − b)^2 en fonction de δ.
II.4.2. Exprimer le produit matriciel (r, s; 1, 1)(a, 1; b, 1) en fonction de δ.
II.4.3. En déduire (r − s)(a − b) en fonction de δ.
II.4.4. Pour quelle valeur de δ a-t-on r = s ? Que valent alors r et s ?

Dans la suite, on caractérise la matrice M par une matrice diagonale semblable à M.
II.5. Premier cas. On suppose que a − b ∉ ℚ.
II.5.1 Montrer que r = s. En déduire δ et n.
II.5.2 Déterminer a et b et donner une matrice diagonale semblable à M.
II.6. Deuxième cas. On suppose que a − b ∈ ℚ.
II.6.1. On écrit a − b = m/q avec m et q dans ℕ^∗. Montrer que tout nombre premier qui divise q divise m. En déduire que a − b ∈ ℕ.
II.6.2. Montrer que a − b est un entier impair supérieur ou égal à 3. En notant a − b = 2p + 1 avec p ∈ ℕ^∗, exprimer δ en fonction de p. En déduire a et b en fonction de p.
II.6.3. On note c = a − b. Montrer que c divise (c^2 + 3)(c^2 − 5). En déduire que c ∈ {3, 5, 15}.
II.6.4. Pour les différentes valeurs de c, donner le tableau des valeurs de δ, n, a, b, r et s.

On considère l'espace vectoriel euclidien ℝ^5 rapporté à la base orthonormale ℬ = (e_1, e_2, e_3, e_4, e_5). On note (u|w) le produit scalaire de deux vecteurs u et w de ℝ^5.

On considère tous les vecteurs u_i obtenus en ajoutant deux vecteurs distincts de B : u_i = e_α + e_β avec α ≠ β.
III.1. Justifier que l'on définit ainsi 10 vecteurs u_i.

On indexe les vecteurs u_i de façon arbitraire : u_i, i ∈ [ [1, 10] ].
III.2. Soit ψ un endomorphisme de ℝ^5 qui réalise une bijection de la base ℬ sur elle-même. Montrer que pour tout (i, j) ∈ [ [1, 10] ]x[ [1, 10] ], on a (u_i|u_j) = (ψ(u_i)|ψ(u_j)).
III.3. Calcul des produits scalaires (u_i|u_j).
III.3.1. Pour i ∈ [ [1, 10] ], calculer (u_i|u_i).
III.3.2. On suppose que u_i = e_α + e_β et que u_j = e_α + e_γ avec β ≠ γ. Calculer (u_i|u_j).
III.3.3. On suppose que u_i = e_α + e_β et que u_j = e_γ + e_ε avec les quatre indices α, β, γ, ε tous différents. Calculer (u_i|u_j).
III.4. Soit A = (a_(i, j)) avec a_(i, j) = (u_i|u_j).
III.4.1. Écrire une combinaison linéaire M de A, I_(10) et J_(10) susceptible de vérifier la propriété ( 𝒫 ) définie dans la partie II.
III.4.2. Justifier que cette matrice M vérifie la propriété (𝒫).

Fin de l'énoncé.