CCINP Mathématiques 2 PSI 2012

Durée : 4 heures
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet comporte 6 pages.
Le sujet comporte deux parties indépendantes.

On désigne par l'ensemble des nombres réels et par l'ensemble des nombres complexes. Étant donné un entier naturel , pour ou , on note (respectivement ) le -espace vectoriel des matrices carrées à lignes (respectivement le -espace vectoriel des matrices colonnes à lignes), à coefficients dans . La notation signifie que est le coefficient de la ligne et de la colonne de la matrice . On note la transposée d'une matrice .
Pour dans , on note le déterminant de la trace de on note le spectre complexe de et, si , on note le sous-espace propre des vecteurs qui vérifient . Soit la matrice diagonale de dont les coefficients diagonaux sont égaux à 1 .
On note l'ensemble des nombres entiers naturels qui vérifient .
Pour tout nombre complexe , on note le module de .
On dit qu'une matrice vérifie la propriété lorsque

Dans ce problème, on considère les matrices de qui vérifient la propriété ( ). Dans la première partie, on démontre une caractérisation géométrique d’une classe de matrices vérifiant la propriété .
Dans la deuxième partie, on fait établir des propriétés sur les éléments propres des matrices vérifiant la propriété .

Dans cette partie, on suppose . Étant donné un nombre complexe , on note le point du plan complexe d'affixe , c'est-à-dire le point de coordonnées ( ). On considère le triangle du plan complexe dont les sommets sont les points , où . On note l'intérieur de ce triangle, bords non compris. Soit le disque ouvert du plan complexe de centre (origine du repère) et de rayon 1, c'est-à-dire l'ensemble des points tels que .
I. 1 Dessiner les ensembles et sur un même dessin. En notant et l'abscisse et l'ordonnée d'un point du plan complexe, donner les équations cartésiennes des côtés du triangle . Déterminer les équations cartésiennes des droites et . Montrer qu'un point appartient à si et seulement si et vérifient les trois inégalités :

I. 2 Dans cette question, on considère une matrice qui vérifie la propriété .
I.2.1 Montrer que 1 est valeur propre de .

Dans la suite de la question I.2, on suppose que les autres valeurs propres de sont des nombres complexes conjugués distincts, et , avec . On note .
I.2.2 Exprimer et en fonction de et , puis en fonction de et .
I.2.3 Montrer les inégalités et . En déduire l'inégalité (on pourra utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée aux vecteurs et de ).
I.2.4 Déduire de I.2.2 et I.2.3 les inégalités :

I.2.5 Déduire des questions précédentes que le point appartient à (on pourra considérer les régions de délimitées par les côtés du triangle ).
I. 3 Dans cette question, on note avec et et on suppose que le point appartient à .
On note .
I.3.1 Montrer les égalités : .

Dans la suite de la question I.3, on considère la matrice .
I.3.2 Montrer que la matrice vérifie la propriété .
I.3.3 Soit . Calculer et . Déterminer les valeurs propres, réelles ou complexes, de la matrice .
I.3.4 Exprimer la matrice en fonction des matrices et . Déterminer un polynôme de degré tel que . En déduire que et sont les valeurs propres de .

Soit une matrice de qui vérifie la propriété ( ).
II. 1 Soit le vecteur colonne dont tous les coefficients valent 1. Calculer , en déduire que 1 est valeur propre de .

II.2.1 Soient une matrice telle que et un vecteur colonne , tel que . Soit tel que . Justifier l'inégalité :

II.2.2 Soit . En appliquant II.2.1 à la matrice , montrer que , où est l'entier défini dans II.2.1. En déduire .
II.2.3 On suppose que vérifie et on note avec . Déduire de l'inégalité de II.2.2 que , puis en déduire .

II.3.1 Montrer que . En comparant le rang de et celui de , montrer que les sous-espaces et ont même dimension.
II.3.2 Soit , tel que . Montrer que pour tout , on a . En calculant , montrer que toutes ces inégalités sont en fait des égalités.

On note le vecteur dont les coefficients sont les modules des coefficients de . Montrer que , puis que pour tout , on a .
II.3.3 Soient et des matrices non nulles de qui appartiennent à . En considérant la matrice , déterminer la dimension de . Justifier qu'il existe un vecteur unique qui engendre , tel que pour tout , on ait et .
Montrer que, pour tout , on a .

Citer les propriétés des vecteurs propres et des sous-espaces propres de et de , qui ont été démontrées dans les questions précédentes de la deuxième partie.
II. 4 À l'aide de la matrice définie en II.3.3, on considère l'application , définie par :

Montrer que est une norme sur . Montrer que pour tout on a . Retrouver le résultat de II.2.2 : tout vérifie .

À l'aide de la matrice colonne , on considère la forme linéaire définie par :

On note le noyau de .
II.5.1 Montrer que pour tout , on a .
II.5.2 Justifier que .
II.5.3 Soit avec . Montrer que .
II.5.4 En utilisant les résultats précédents, déterminer l'ordre de multiplicité de la valeur propre 1 de la matrice .

Fin de l'énoncé