CCINP Mathématiques 2 PSI 2012Sujet, corrigé et rapport du jury

Durée : 4 heures
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet comporte 6 pages.
Le sujet comporte deux parties indépendantes.

On désigne par ℝ l'ensemble des nombres réels et par ℂ l'ensemble des nombres complexes. Étant donné un entier naturel n ≥ 2, pour 𝕂 = ℝ ou ℂ, on note M_n(𝕂) (respectivement M_(n, 1)(𝕂) ) le 𝕂-espace vectoriel des matrices carrées à n lignes (respectivement le 𝕂-espace vectoriel des matrices colonnes à n lignes), à coefficients dans 𝕂. La notation A = (a_(i, j)) signifie que a_(i, j) est le coefficient de la ligne i et de la colonne j de la matrice A. On note ^t A la transposée d'une matrice A.
Pour A dans M_n(𝕂), on note det(A) le déterminant de A, tr(A) la trace de A; on note Sp_ℂ(A) le spectre complexe de A et, si λ ∈ Sp_ℂ(A), on note E_λ(A) le sous-espace propre des vecteurs X ∈ M_(n, 1)(ℂ) qui vérifient AX = λX. Soit I_n la matrice diagonale de M_n(𝕂) dont les coefficients diagonaux sont égaux à 1 .
On note [ [1, n] ] l'ensemble des nombres entiers naturels k qui vérifient 1 ≤ k ≤ n.
Pour tout nombre complexe z, on note |z| le module de z.
On dit qu'une matrice A = (a_(i, j)) ∈ M_n(ℝ) vérifie la propriété (ST > 0) lorsque

Dans ce problème, on considère les matrices de M_n(ℝ) qui vérifient la propriété ( ST > 0 ). Dans la première partie, on démontre une caractérisation géométrique d’une classe de matrices vérifiant la propriété (ST > 0).
Dans la deuxième partie, on fait établir des propriétés sur les éléments propres des matrices vérifiant la propriété (ST > 0).

Dans cette partie, on suppose n = 3. Étant donné un nombre complexe z, on note M(z) le point du plan complexe d'affixe z = x + iy, c'est-à-dire le point de coordonnées ( x, y ). On considère le triangle du plan complexe dont les sommets sont les points P(1), Q(j), R(j^2), où j = e^((2iπ)/3). On note T l'intérieur de ce triangle, bords non compris. Soit D le disque ouvert du plan complexe de centre O (origine du repère) et de rayon 1, c'est-à-dire l'ensemble des points M(z) tels que |z| < 1.
I. 1 Dessiner les ensembles T et D sur un même dessin. En notant x et y l'abscisse et l'ordonnée d'un point du plan complexe, donner les équations cartésiennes des côtés du triangle PQR. Déterminer les équations cartésiennes des droites (PQ), (QR) et (RP). Montrer qu'un point M(x + iy) appartient à T si et seulement si x et y vérifient les trois inégalités :

I. 2 Dans cette question, on considère une matrice A = (a_(i, j)) ∈ M_3(ℝ) qui vérifie la propriété (ST > 0).
I.2.1 Montrer que 1 est valeur propre de A.

Dans la suite de la question I.2, on suppose que les autres valeurs propres de A sont des nombres complexes conjugués distincts, λ et λ¯, avec 0 < |λ| < 1. On note λ = a + ib.
I.2.2 Exprimer tr(A) et tr(A^2) en fonction de λ et λ¯, puis en fonction de a et b.
I.2.3 Montrer les inégalités tr(A) > 0 et tr(A^2) > a_(1, 1)^2 + a_(2, 2)^2 + a_(3, 3)^2. En déduire l'inégalité (tr(A))^2 < 3tr(A^2) (on pourra utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée aux vecteurs u = (a_(1, 1), a_(2, 2), a_(3, 3)) et v = (1, 1, 1) de ℝ^3 ).
I.2.4 Déduire de I.2.2 et I.2.3 les inégalités :

I.2.5 Déduire des questions précédentes que le point M(λ) appartient à T (on pourra considérer les régions de D délimitées par les côtés du triangle PQR ).
I. 3 Dans cette question, on note λ = re^(iθ) avec 0 < r < 1 et 0 < θ < π et on suppose que le point M(λ) appartient à T.
On note α = (1 + 2rcos(θ))/3, β = (1 + 2rcos(θ + (2π)/3))/3, γ = (1 − 2rcos(θ + π/3))/3.
I.3.1 Montrer les égalités : α = (1 + λ + λ¯)/3, β = (1 + jλ + j^2 λ¯)/3, γ = (1 + j^2 λ + jλ¯)/3.

Dans la suite de la question I.3, on considère la matrice A = (α, β, γ; γ, α, β; β, γ, α).
I.3.2 Montrer que la matrice A vérifie la propriété (ST > 0).
I.3.3 Soit J = (0, 1, 0; 0, 0, 1; 1, 0, 0). Calculer J^2 et J^3. Déterminer les valeurs propres, réelles ou complexes, de la matrice J.
I.3.4 Exprimer la matrice A en fonction des matrices I_3, J et J^2. Déterminer un polynôme P de degré ≤ 2 tel que A = P(J). En déduire que 1, λ et λ¯ sont les valeurs propres de A.

Soit A = (a_(i, j)) une matrice de M_n(ℝ) qui vérifie la propriété ( ST > 0 ).
II. 1 Soit U = (1; ⋮; 1) ∈ M_(n, 1)(ℝ) le vecteur colonne dont tous les coefficients valent 1. Calculer AU, en déduire que 1 est valeur propre de A.

II.2.1 Soient une matrice B = (b_(i, j)) ∈ M_n(ℂ) telle que det(B) = 0 et un vecteur colonne X = (x_1; ⋮; x_n) ∈ M_(n, 1)(ℂ), X ≠ 0, tel que BX = 0. Soit k ∈ [ [1, n] ] tel que |x_k| = max_(i ∈ [ [1, n] ])|x_i|. Justifier l'inégalité :

II.2.2 Soit λ ∈ Sp_ℂ(A). En appliquant II.2.1 à la matrice B = A − λI_n, montrer que |a_(k, k) − λ| ≤ 1 − a_(k, k), où k est l'entier défini dans II.2.1. En déduire |λ| ≤ 1.
II.2.3 On suppose que λ ∈ Sp_ℂ(A) vérifie |λ| = 1 et on note λ = e^(iθ) avec θ ∈ ℝ. Déduire de l'inégalité |a_(k, k) − e^(iθ)| ≤ 1 − a_(k, k) de II.2.2 que cos(θ) = 1, puis en déduire λ.

II.3.1 Montrer que 1 ∈ Sp_ℂ(^t A). En comparant le rang de A − I_n et celui de ^t A − I_n, montrer que les sous-espaces E_1(A) et E_1(^t A) ont même dimension.
II.3.2 Soit V = (v_1; ⋮; v_n) ∈ M_(n, 1)(ℂ), V ≠ 0, tel que t^t AV = V. Montrer que pour tout i ∈ [ [1, n] ], on a |v_i| ≤ ∑_(j ∈ [ [1, n] ])a_(j, i)|v_j|. En calculant ∑_(i ∈ [ [1, n] ])|v_i|, montrer que toutes ces inégalités sont en fait des égalités.

On note |V| = (|v_1|; ⋮; |v_n|) le vecteur dont les coefficients sont les modules des coefficients de V. Montrer que ^t A|V| = |V|, puis que pour tout i ∈ [ [1, n] ], on a |v_i| > 0.
II.3.3 Soient X = (x_1; ⋮; x_n) et Y = (y_1; ⋮; y_n) des matrices non nulles de M_(n, 1)(ℂ) qui appartiennent à E_1(^t A). En considérant la matrice X − (x_1)/(y_1)Y, déterminer la dimension de E_1(^t A). Justifier qu'il existe un vecteur unique Ω = (ω_1; ⋮; ω_n) qui engendre E_1(^t A), tel que pour tout i ∈ [ [1, n] ], on ait ω_i > 0 et ∑_(i = 1)^n ω_i = 1.
Montrer que, pour tout i ∈ [ [1, n] ], on a ∑_(j = 1)^n a_(j, i)ω_j = ω_i.

Citer les propriétés des vecteurs propres et des sous-espaces propres de A et de ^t A, qui ont été démontrées dans les questions précédentes de la deuxième partie.
II. 4 À l'aide de la matrice Ω = (ω_1; ⋮; ω_n) définie en II.3.3, on considère l'application N : M_(n, 1)(ℂ) → ℝ, définie par :

Montrer que N est une norme sur M_(n, 1)(ℂ). Montrer que pour tout X ∈ M_(n, 1)(ℂ) on a N(AX) ≤ N(X). Retrouver le résultat de II.2.2 : tout λ ∈ Sp_ℂ(A) vérifie |λ| ≤ 1.

À l'aide de la matrice colonne Ω = (ω_1; ⋮; ω_n), on considère la forme linéaire Φ : M_(n, 1)(ℂ) → ℂ définie par :

On note Ker(Φ) le noyau de Φ.
II.5.1 Montrer que pour tout X ∈ M_(n, 1)(ℂ), on a Φ(AX) = Φ(X).
II.5.2 Justifier que M_(n, 1)(ℂ) = E_1(A) ⊕ Ker(Φ).
II.5.3 Soit X ∈ E_λ(A) avec λ ≠ 1. Montrer que X ∈ Ker(Φ).
II.5.4 En utilisant les résultats précédents, déterminer l'ordre de multiplicité de la valeur propre 1 de la matrice A.

Fin de l'énoncé