Centrale Mathématiques 1 PC 2002Sujet, corrigé et rapport du jury

La première partie de ce problème est consacrée à la description d'une procédure géométrique qui aboutit naturellement à la construction d'une fonction continue x : ]0, π[ → ℝ que l'on étudie sommairement à la Partie II. La troisième partie concerne les propriétés de dérivabilité des fonctions continues 2π-périodiques ayant une série de Fourier lacunaire. Enfin, à la Partie IV on combine les résultats des parties I et III pour montrer que la fonction x n'est dérivable en aucun point de ]0, π[.
On note ℕ^∗ = ℕ∖{0} et ℤ^∗ = ℤ∖{0} et on désigne par C_(2π) l'espace des fonctions de ℝ dans ℂ qui sont continues et 2π-périodiques.
Si f ∈ C_(2π) on rappelle que ses coefficients de Fourier sont donnés pour n ∈ ℤ par f^(n) = 1/(2π)∫_(− π)^π f(t)e^(− int)dt, la série de Fourier (formelle) de f étant ∑_(n ∈ ℤ)f^(n)e^(int).

I.A - On suppose l'espace ℝ^2 muni de sa structure euclidienne canonique. On définit T : ℝ^3 → ℝ^3 par :

I.A.1) On suppose x ≠ y, z ≠ 0 et l'on pose A = (x, 0), B = (y, z), C = (y, − z), A^′ = (x^′, 0), B^′ = (y^′, − z^′), C^′ = (y^′, z^′) où (x^′, y^′, z^′) = T(x, y, z).
Que représentent les points A^′, B^′, C^′ par rapport au triangle ABC ?
I.A.2) Montrer que si (x, y, z) ≠ (x, x, 0) alors

I.B - Pour t ∈ ]0, π[ on pose X_0(t) = (0, 1, cotant) et on définit par récurrence pour n ∈ ℕ la suite X_n(t) = (x_n(t), y_n(t), z_n(t)) par X_(n + 1)(t) = T(X_n(t)).
I.B.1) Soit n ∈ ℕ, t ∈ ]0, π[. Montrer que, si l'on a z_n(t) = 0, alors z_(n + 1)(t) = 0 et y_(n + 1)(t) − x_(n + 1)(t) = 0.

Soit N ∈ ℕ^∗; on suppose que t ∈ ]0, π[ est tel que z_n(t) ≠ 0 si 0 ≤ n ≤ N − 1.
a) Montrer que, pour ces valeurs de n,

b) On suppose de plus à présent que z_N(t) = 0. Montrer que :

I.B.2) Montrer que

I.B.3) En déduire :

I.B.4) On pose pour n ≥ 0u_n(t) = sin^2(t)x_n(t). Montrer que la suite ( u_n ) converge simplement vers une fonction u continue sur ]0, π[. En déduire que la suite ( x_n ) converge simplement vers une fonction x continue sur ]0, π[.
I.B.5) Montrer que la fonction u se prolonge en une fonction paire (que l'on appellera encore u ) de C_(2π) dont on déterminera la série de Fourier.
I.B.6) Calculer z_n(t) pour n ≥ 0, t ∈ ]0, π[ et étudier la limite simple de cette suite de fonctions sur ]0, π[.

II.A - Calculer x(π/4), x(π/3), x(π/2); montrer que x(π − t) = x(t), t ∈ [0, π[.

II.B.1) On pose pour n ≥ 1, t ∈ ]0, π[,

Montrer que, pour n ≥ 1,

II.B.2) Montrer que la suite ( φ_n ) converge simplement sur ]0, π[ vers une fonction φ de classe C^1.

II.C.1) Montrer que les suites

déterminer leurs limites puis une valeur approchée de celles-ci à 10^(− 3) près.
II.C.2) Montrer que lim_(n → ∞)x(π/(2^(2n))) = − ∞, lim_(n → ∞)x(π/(2^(2n + 1))) = + ∞ et qu'il existe une suite de nombres t_n ∈ ]0, π[ convergeant vers 0 telle que x(t_n) = 0.

Soit N ∈ ℕ. On pose D_N(t) = ∑_(k = − N)^N e^(ikt) et I_N = 1/(2π)∫_(− π)^π D_N(t)^4 dt.

III.A.1) Montrer que: ∀t ∈ ] − π, π[∖{0}, D_N(t) = (sin(N + 1/2)t)/(sin(t/2)).
III.A.2) Montrer que: I_N ≥ 8/π∫_(− π)^π(sin^4(N + 1/2)t)/(t^4)dt
et en déduire l'existence d'une constante C > 0 telle que ∀N ≥ 0, I_N ≥ CN^3.
Dans toute la suite de la Partie III, a = (a_n)_(n ≥ 0) est une suite de nombres complexes telle que ∑_(n ≥ 0)|a_n| < + ∞.

III.B.1) Pour n ≥ 0, t ∈ ℝ on pose v_n(t) = 2a_n cos2^n t.

Montrer que la série ∑_(n ≥ 0)v_n converge simplement sur ℝ vers une fonction v ∈ C_(2π) dont on déterminera la série de Fourier.

Désormais v désigne cette fonction (associée à la suite a ) et t_0 un réel tel que v est dérivable en t_0 (on suppose l'existence d'un tel t_0 ).

III.B.2) Montrer que H_(n_0) ∈ C_(2π) et que H_(n_0) est dérivable en 0 . Calculer H_(n_0)(0) et H_(n_0)^′(0).
III.B.3) Calculer H^_(n_0)(0) à l'aide de la suite a et montrer que H^_(n_0)(k) = 0si

III.C - On suppose désormais n_0 ≥ 6. Soit N = 2^(n_0 − 4) et g_N(t) = I_N^(− 1)D_N(t)^4.
III.C.1) Montrer que pour tout nombre entier j tel que − 4N ≤ j ≤ 4N, il existe α_j tel que :

III.C.2) Calculer

III.D - On pose K(t) = |(H_(n_0)(t))/t| si t ∈ [ − π, π]∖{0}, K(t) = 0 si t = 0 ou |t| > π (noter que la fonction K ne dépend pas de n_0 ).
III.D.1) Montrer que K est bornée sur ℝ. Étudier sa limite en 0 .
III.D.2) Montrer qu'il existe C^′ > 0 telle que

III.D.3) Étudier la limite de la suite (2^n a_n)_(n ≥ 0).

Utiliser les résultats des parties I et III pour montrer que la fonction x définie en Partie I n'est dérivable en aucun point de ]0, π[.