Centrale Mathématiques 1 PC 2002

La première partie de ce problème est consacrée à la description d'une procédure géométrique qui aboutit naturellement à la construction d'une fonction continue que l'on étudie sommairement à la Partie II. La troisième partie concerne les propriétés de dérivabilité des fonctions continues -périodiques ayant une série de Fourier lacunaire. Enfin, à la Partie IV on combine les résultats des parties I et III pour montrer que la fonction n'est dérivable en aucun point de .
On note et et on désigne par l'espace des fonctions de dans qui sont continues et -périodiques.
Si on rappelle que ses coefficients de Fourier sont donnés pour par , la série de Fourier (formelle) de étant .

I.A - On suppose l'espace muni de sa structure euclidienne canonique. On définit par :

I.A.1) On suppose et l'on pose , où .
Que représentent les points par rapport au triangle ?
I.A.2) Montrer que si alors

I.B - Pour on pose et on définit par récurrence pour la suite par .
I.B.1) Soit . Montrer que, si l'on a , alors et .

Soit ; on suppose que est tel que si .
a) Montrer que, pour ces valeurs de ,

b) On suppose de plus à présent que . Montrer que :

I.B.2) Montrer que

I.B.3) En déduire :

I.B.4) On pose pour . Montrer que la suite ( ) converge simplement vers une fonction continue sur . En déduire que la suite ( ) converge simplement vers une fonction continue sur .
I.B.5) Montrer que la fonction se prolonge en une fonction paire (que l'on appellera encore ) de dont on déterminera la série de Fourier.
I.B.6) Calculer pour et étudier la limite simple de cette suite de fonctions sur .

II.A - Calculer ; montrer que .

II.B.1) On pose pour ,

Montrer que, pour ,

II.B.2) Montrer que la suite ( ) converge simplement sur vers une fonction de classe .

II.C.1) Montrer que les suites

déterminer leurs limites puis une valeur approchée de celles-ci à près.
II.C.2) Montrer que et qu'il existe une suite de nombres convergeant vers 0 telle que .

Soit . On pose et .

III.A.1) Montrer que: .
III.A.2) Montrer que:
et en déduire l'existence d'une constante telle que .
Dans toute la suite de la Partie III, est une suite de nombres complexes telle que .

III.B.1) Pour on pose .

Montrer que la série converge simplement sur vers une fonction dont on déterminera la série de Fourier.

Désormais désigne cette fonction (associée à la suite ) et un réel tel que est dérivable en (on suppose l'existence d'un tel ).

III.B.2) Montrer que et que est dérivable en 0 . Calculer et .
III.B.3) Calculer à l'aide de la suite et montrer que

III.C - On suppose désormais . Soit et .
III.C.1) Montrer que pour tout nombre entier tel que , il existe tel que :

III.C.2) Calculer

III.D - On pose si si ou (noter que la fonction ne dépend pas de ).
III.D.1) Montrer que est bornée sur . Étudier sa limite en 0 .
III.D.2) Montrer qu'il existe telle que

III.D.3) Étudier la limite de la suite .

Utiliser les résultats des parties I et III pour montrer que la fonction définie en Partie I n'est dérivable en aucun point de .