Centrale Mathématiques 1 PC 2015Sujet, corrigé et rapport du jury

Sous-espaces stables par un endomorphisme

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Difficile

Sous-espaces vectoriels stables par un endomorphisme

Le problème étudie les sous-espaces vectoriels stables par un endomorphisme f d'un espace vectoriel E. Après des généralités sur les sous-espaces engendrés par des vecteurs propres, il traite le cas d'un endomorphisme diagonalisable à valeurs propres distinctes, puis celui des endomorphismes nilpotents d'ordre n, avant d'établir l'existence d'un plan stable pour un endomorphisme réel à valeur propre complexe, et de relier hyperplans et droites stables via la transposée d'une matrice.

1I. Première partieGénéralités sur les sous-espaces stables, cas des sous-espaces engendrés par des vecteurs propres.
2II. Deuxième partieEndomorphisme diagonalisable à valeurs propres deux à deux distinctes et dénombrement des sous-espaces stables.
3III. Troisième partieEndomorphismes nilpotents d'ordre n, parallèle avec l'endomorphisme de dérivation sur les polynômes.
4IV. Quatrième partieExistence d'un plan stable pour un endomorphisme réel admettant une valeur propre non réelle, application à un système différentiel.
5V. Cinquième partieLien entre hyperplans stables par f et droites stables par l'endomorphisme de matrice transposée.

Difficile. Le rapport indique que le sujet, bien que très proche du cours, s'est traduit par un relatif échec sur la démarche déductive en algèbre linéaire, avec une note ne signifiant plus grand-chose pour une partie importante des candidats.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Difficulté générale avec le raisonnement abstrait · Confusion entre supplémentaire et complémentaire · Contre-exemple de la rotation quasiment jamais cité

Le sujet, totalement conforme au programme d'algèbre linéaire de PC, nécessitait une bonne compréhension des définitions et de l'algèbre linéaire abstraite. Le jury constate un net recul par rapport aux années précédentes et une très forte dispersion des résultats, entre d'excellentes copies et un nombre important de candidats pour qui la notion même de sous-espace stable n'était pas comprise.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Difficulté générale avec le raisonnement abstrait
Pour une bonne partie des candidats, il est apparu impossible de produire une démonstration cohérente reposant sur des objets abstraits de l'algèbre linéaire.
« il semble que pour une moitié des candidats il soit impossible de produire »
2
Confusion entre supplémentaire et complémentaireI.D.1
L'utilisation du théorème de la base incomplète a été gênée par une confusion fréquente entre les mots supplémentaire et complémentaire.
« du mot « supplémentaire » qu’il ne faut pas confondre avec le mot « complémentaire ». »
3
Contre-exemple de la rotation quasiment jamais citéI.B.1
L'exemple géométrique le plus naturel pour une matrice réelle sans valeur propre réelle n'est presque jamais utilisé par les candidats, malgré son absence de calcul.
« sans doute une conséquence de la disparition de la géométrie »
4
Déterminant de Vandermonde non reconnuII.A.5
Très peu de candidats reconnaissent qu'il s'agit d'un déterminant de Vandermonde, alors que la question en découlait directement.
« moins de un candidat sur 10 a su y répondre en reconnaissant le déterminant. »
5
Facteur factoriel oublié dans le calculIII.B.3
Le facteur factoriel attendu dans le calcul n'apparaît que très rarement, remplacé le plus souvent par un simple facteur linéaire.
« n’apparait que très rarement, remplacé le »

Ce qui a été bien réussi

La partie III, sur les endomorphismes nilpotents, est la mieux réussie et a permis à de nombreux candidats de raccrocher au sujet à partir d'un exemple concret.
Les candidats sont clairement plus à l'aise sur les problèmes concrets, la matrice de la partie III étant souvent correctement établie.

Conseils du jury

Connaître précisément les définitions du cours (stabilité, somme directe, éléments propres) pour pouvoir les exploiter, sans se limiter au simple énoncé des théorèmes.
Éviter de redémontrer systématiquement des résultats de cours déjà connus (famille libre de vecteurs propres, déterminant de Vandermonde) : cela fait perdre du temps sans être demandé.
Bien justifier chaque affirmation plutôt que de proposer un raisonnement intuitif non prouvé.
Soigner la présentation, l'orthographe et la grammaire, des critères pris en compte dans l'évaluation.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Dans ce problème,

𝕂

désigne le corps

ℝ

ou le corps

ℂ

E

est un

𝕂

-espace vectoriel non nul.
Si

f

est un endomorphisme de

E

, pour tout sous-espace

F

E

stable par

f

on note

f_F

l'endomorphisme de

F

induit par

f

, c'est-à-dire défini sur

F

par

f_F(x) = f(x)

pour tout

x

dans

F

.
Pour tout endomorphisme

f

d'un

𝕂

-espace vectoriel

E

on définit la suite

(f^k)_(k \in ℕ)

des puissances de

f

par

{f^0 = Id_E; f^(k + 1) = f ∘ f^k = f^k ∘ f pour tout k dans ℕ

On note

𝕂[X]

l'espace vectoriel sur

𝕂

des polynômes à coefficients dans

𝕂

et, pour tout

n

ℕ, 𝕂_n[X]

le sous-espace de

𝕂[X]

des polynômes de degré au plus égal à

n

.
Pour

n ⩾ 1, M_n(𝕂)

est l'espace des matrices carrées à

n

lignes et à éléments dans

𝕂

M_(n, 1)(𝕂)

est l'espace des matrices colonnes à

n

lignes et à éléments dans

𝕂

I Première partie

Dans cette partie,

f

est un endomorphisme d'un

𝕂

-espace vectoriel

E

IA

- Montrer qu'une droite

F

engendrée par un vecteur

u

est stable par

f

si et seulement si

u

est un vecteur propre de

f

.
I.B -
I.B.1) Montrer qu'il existe au moins deux sous-espaces de

E

stables par

f

et donner un exemple d'un endomorphisme de

ℝ^2

qui n'admet que deux sous-espaces stables.
I.B.2) Montrer que si

E

est de dimension finie

n ⩾ 2

et si

f

est non nul et non injectif, alors il existe au moins trois sous-espaces de

E

stables par

f

et au moins quatre lorsque

n

est impair.
Donner un exemple d'endomorphisme de

ℝ^2

qui n'admet que trois sous-espaces stables.
I.

C

-
I.C.1) Montrer que tout sous-espace engendré par une famille de vecteurs propres de

f

est stable par

f

. Préciser l'endomorphisme induit par

f

sur tout sous-espace propre de

f

.
I.C.2) Montrer que si

f

admet un sous-espace propre de dimension au moins égale à 2 alors il existe une infinité de droites de

E

stables par

f

.
I.C.3) Que dire de

f

si tous les sous-espaces de

E

sont stables par

f

?
I.

D

- Dans cette sous-partie,

E

est un espace de dimension finie.
I.D.1) Montrer que si

f

est diagonalisable alors tout sous-espace de

E

admet un supplémentaire dans

E

stable par

f

On pourra partir d'une base de

F

et d'une base de

E

constituée de vecteurs propres de

f

.
I.D.2) Montrer que si

𝕂 = ℂ

et si tout sous-espace de

E

stable par

f

admet un supplémentaire dans

E

stable par

f

, alors

f

est diagonalisable.
Qu'en est-il si

𝕂 = ℝ

II Deuxième partie

Dans cette partie,

n

p

sont deux entiers naturels au moins égaux à

2, f

est un endomorphisme diagonalisable d'un

𝕂

-espace vectoriel

E

de dimension

n

, qui admet

p

valeurs propres distinctes

{λ_1, …, λ_p}

et, pour tout

i

dans

[ [1, p] ]

, on note

E_i

le sous-espace propre de

f

associé à la valeur propre

λ_i

.
II.

A

- Il s'agit ici de montrer qu'un sous-espace

F

E

est stable par

f

si et seulement si

F = ⨁_(i = 1)^p(F \cap E_i)

.
II.A.1) Montrer que tout sous-espace

F

E

tel que

F = ⨁_(i = 1)^p(F \cap E_i)

est stable par

f

.
II.A.2) Soit

F

un sous-espace de

E

stable par

f

x

un vecteur non nul de

F

Justifier l'existence et l'unicité de

(x_i)_(1 ⩽ i ⩽ p)

dans

E_1 \times \dots \times E_p

tel que

x = \sum_(i = 1)^p x_i

.
II.A.3) Si on note

H_x = {i ∈ [ [1, p] ]|x_i ≠ 0}, H_x

est non vide et, quitte à renuméroter les valeurs propres (et les sous-espaces propres), on peut supposer que

H_x = [ [1, r] ]

avec

1 ⩽ r ⩽ p

. Ainsi on a

x = \sum_(i = 1)^r x_i

avec

x_i ∈ E_i∖{0}

pour tout

i

[ [1, r] ]

.
On note

V_x = Vect(x_1, \dots, x_r)

.
Montrer que

B_x = (x_1, \dots, x_r)

est une base de

V_x

.
II.A.4) Montrer que pour tout

j

[ [1, r] ], f^(j - 1)(x)

appartient à

V_x

et donner la matrice de la famille

(f^(j - 1)(x))_(1 ⩽ j ⩽ r)

dans la base

B_x

.
II.A.5) Montrer que

(f^(j - 1)(x))_(1 ⩽ j ⩽ r)

est une base de

V_x

.
II.A.6) En déduire que pour tout

i

[ [1, p] ], x_i

appartient à

F

et conclure.
II.B - Dans cette sous-partie, on se place dans le cas où

p = n

.
II.B.1) Préciser la dimension de

E_i

pour tout

i

dans

[ [1, p] ]

.
II.B.2) Combien y a-t-il de droites de

E

stables par

f

?
II.B.3) Si

n ⩾ 3

k \in [ [2, n - 1] ]

, combien y a-t-il de sous-espaces de

E

de dimension

k

et stables par

f

?
II.B.4) Combien y a-t-il de sous-espaces de

E

stables par

f

dans ce cas ? Les donner tous.

III Troisième partie

III.

A

- On considère l'endomorphisme

D

de dérivation sur

𝕂[X]

défini par

D(P) = P^'

pour tout

P

dans

𝕂[X]

.
III.A.1) Vérifier que pour tout

n

ℕ, 𝕂_n[X]

est stable par

D

et donner la matrice

A_n

de l'endomorphisme induit par

D

sur

𝕂_n[X]

dans la base canonique de

𝕂_n[X]

.
III.A.2) Soit

F

un sous-espace de

𝕂[X]

, de dimension finie non nulle, stable par

D

.
a) Justifier l'existence d'un entier naturel

n

et d'un polynôme

R

de degré

n

tels que

R \in F

F \subset 𝕂_n[X]

.
b) Montrer que la famille

(D^i(R))_(0 ⩽ i ⩽ n)

est une famille libre de

F

.
c) En déduire que

F = 𝕂_n[X]

.
III.A.3) Donner tous les sous-espaces de

𝕂[X]

stables par

D

.
III. B - On considère un endomorphisme

f

d'un

𝕂

-espace vectoriel

E

de dimension

n ⩾ 2

tel que

f^n = 0

f^(n - 1) \neq 0

.
III.B.1) Déterminer l'ensemble des vecteurs

u

E

tels que la famille

B_(f, u) = (f^(n - i)(u))_(1 ⩽ i ⩽ n)

soit une base de

E

.
III.B.2) Dans le cas où

B_(f, u)

est une base de

E

, quelle est la matrice de

f

dans

B_(f, u)

?
III.B.3) Déterminer une base de

E

telle que la matrice de

f

dans cette base soit

A_(n - 1)

.
III.B.4) Donner tous les sous-espaces de

E

stables par

f

. Combien y en a-t-il ? Donner une relation simple entre ces sous-espaces stables et les noyaux

ker(f^i)

pour

i

dans

[ [0, n] ]

IV Quatrième partie

Dans cette partie,

n

est un entier naturel non nul,

M

est dans

M_n(ℝ)

f

est l'endomorphisme de

E = M_(n, 1)(ℝ)

défini par

f(X) = MX

pour tout

X

E

IV \cdot A -

Si on note

X_i = (δ_(1, i); ⋮; δ_(n, i))

où

δ_(k, l) = {1, si k = l; 0, si k ≠ l

B_n = (X_i)_(1 ⩽ i ⩽ n)

la base canonique de

E

, quelle est la matrice de

f

dans

B_n

?
IV.B - Montrer que si

n

est impair, alors

f

admet au moins une valeur propre réelle.
IV.

C

- Dans cette question,

λ = α + iβ

, avec (

α, β

) dans

ℝ^2

, est une valeur propre non réelle de

M

Z

M_(n, 1)(ℂ)

, non nul est tel que

MZ = λZ

.
Si

M = (m_(i, j))_(1 ⩽ i ⩽ n; 1 ⩽ j ⩽ n)

on note

M¯ = (m_(i, j)^')_(1 ⩽ i ⩽ n; 1 ⩽ j ⩽ n)

avec

m_(i, j)^' = m¯_(i, j)

(conjugué du nombre complexe

m_(i, j)

) pour tout

(i, j)

[ [1, n] ]^2

et si

Z = (z_1; ⋮; z_n)

on note

Z¯ = (z_1^'; ⋮; z_n^')

avec

z_i^' = z¯_i

pour tout

i

[ [1, n] ]

.
On pose

X = 1/2(Z + Z¯)

Y = 1/(2i)(Z - Z¯)

.
IV.C.1) Vérifier que

X

Y

sont dans

E

et montrer que la famille (

X, Y

) est libre dans

E

.
IV.C.2) Montrer que le plan vectoriel

F

engendré par

X

Y

est stable par

f

et donner la matrice de

f_F

dans la base

(X, Y)

.
IV.D - Que penser de l'affirmation : « tout endomorphisme d'un espace vectoriel réel de dimension finie admet au moins une droite ou un plan stable »?
IV.E - Existe-t-il un endomorphisme de

ℝ[X]

n'admettant ni droite ni plan stable ?
IV.F - Dans cette question on considère le système différentiel linéaire

S : X^' = AX

associé à la matrice

A = (1, - 4, 0; 1, - 2, - 1; 1, 1, 0)

.
On appelle trajectoires de

S

les arcs de l'espace

ℝ^3

paramétrés par les solutions de

S

. On veut déterminer les trajectoires rectilignes et les trajectoires planes de

S

.
IV.F.1) Construire une matrice

P

inversible et une matrice

T = (α, β, 0; - β, α, 0; 0, 0, γ)

avec

(α, β, γ)

dans

(ℝ^*)^3

telles que

P^(- 1)AP = T

et déterminer un plan

F

et une droite

G

stables par l'endomorphisme de

ℝ^3

canoniquement associé à

A

et supplémentaires dans

ℝ^3

.
IV.F.2) Déterminer l'unique solution du problème de Cauchy

P_U : {X^′ = AX; X(0) = U

lorsque

U

appartient à

G

.
IV.F.3) Pour tout

σ = (a, b)

ℝ^2

, on considère le problème de Cauchy

C_σ : {x^′ = − x + 2y; y^′ = − 2x − y; x(0) = a, y(0) = b

φ = (x, y)

dans

C^1(ℝ, ℝ^2)

l'unique solution de

C_σ

.
Préciser

x^'(0)

y^'(0)

; montrer que

x

y

sont solutions d'une même équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants et ainsi en déduire

φ

en fonction de

a

et de

b

.
IV.F.4) Déterminer les trajectoires rectilignes et les trajectoires planes du système différentiel

X^' = AX

V Cinquième partie

Dans cette partie

E

est un espace vectoriel réel de dimension

n

muni d'une base

B = (ε_i)_(1 ⩽ i ⩽ n)

.
On considère un endomorphisme

f

E

et on note

A

sa matrice dans la base

B

$V.A -$

V.A.1) Montrer qu'il existe un unique produit scalaire sur

E

pour lequel

B

est orthonormée.

Ce produit scalaire est noté de manière usuelle par

⟨u, v⟩

ou plus simplement

u \cdot v

pour tout (

u, v

) de

E^2

.
V.A.2) Si

u

v

sont représentés par les matrices colonnes respectives

U

V

dans la base

B

, quelle relation simple existe-t-il entre

u \cdot v

et le produit matriciel

^t UV

(où

^t U

est la transposée de

U

) ?

V.B

- Soit

H

un hyperplan de

E

D

son supplémentaire orthogonal.
Si (u) est une base de

D

et si

U

est la matrice colonne de

u

dans

B

, montrer que

H

est stable par

f

si et seulement si

U

est un vecteur propre de la transposée de

A

V.C

- Déterminer ainsi le(s) plan(s) stable(s) de

f

lorsque

n = 3

A

est la matrice considérée en IV.F.

V.D

- Dans cette question,

E

est un espace vectoriel réel de dimension

n

f

est un endomorphisme de

E

.
V.D.1) Montrer que si

f

est diagonalisable alors il existe

n

hyperplans de

E, (H_i)_(1 ⩽ i ⩽ n)

, tous stables par

f

tels que

⋂_(i = 1)^n H_i = {0}

.
V.D.2) Un endomorphisme

f

E

pour lequel il existe

n

hyperplans de

E

stables par

f

et d'intersection réduite au vecteur nul est-il nécessairement diagonalisable ?

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 PC Centrale 2015 ?

Le sujet porte sur les sous-espaces vectoriels stables par un endomorphisme : réduction, diagonalisation, endomorphismes nilpotents et systèmes différentiels linéaires.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 1 PC Centrale 2015 ?

Le jury relève une difficulté générale à produire un raisonnement abstrait rigoureux, une confusion entre supplémentaire et complémentaire, un contre-exemple géométrique presque jamais utilisé et un déterminant de Vandermonde rarement reconnu.

Ce sujet de maths 1 PC Centrale 2015 est-il difficile ?

Oui, le rapport décrit un relatif échec sur la démarche déductive en algèbre linéaire malgré un sujet très proche du cours, avec une très forte dispersion des résultats.

Quelle partie du sujet de Centrale PC 2015 est la mieux réussie ?

La partie III, sur les endomorphismes nilpotents, est la mieux réussie selon le rapport, les candidats étant plus à l'aise avec les problèmes concrets.

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III Troisième partie

IV Quatrième partie

V Cinquième partie

V.A −

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 PC Centrale 2015 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 1 PC Centrale 2015 ?

Ce sujet de maths 1 PC Centrale 2015 est-il difficile ?

Quelle partie du sujet de Centrale PC 2015 est la mieux réussie ?

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