Centrale Mathématiques 1 PC 2015

Dans ce problème, désigne le corps ou le corps et est un -espace vectoriel non nul.
Si est un endomorphisme de , pour tout sous-espace de stable par on note l'endomorphisme de induit par , c'est-à-dire défini sur par pour tout dans .
Pour tout endomorphisme d'un -espace vectoriel on définit la suite des puissances de par

On note l'espace vectoriel sur des polynômes à coefficients dans et, pour tout de le sous-espace de des polynômes de degré au plus égal à .
Pour est l'espace des matrices carrées à lignes et à éléments dans et est l'espace des matrices colonnes à lignes et à éléments dans .

Dans cette partie, est un endomorphisme d'un -espace vectoriel .
- Montrer qu'une droite engendrée par un vecteur est stable par si et seulement si est un vecteur propre de .
I.B -
I.B.1) Montrer qu'il existe au moins deux sous-espaces de stables par et donner un exemple d'un endomorphisme de qui n'admet que deux sous-espaces stables.
I.B.2) Montrer que si est de dimension finie et si est non nul et non injectif, alors il existe au moins trois sous-espaces de stables par et au moins quatre lorsque est impair.
Donner un exemple d'endomorphisme de qui n'admet que trois sous-espaces stables.
I. -
I.C.1) Montrer que tout sous-espace engendré par une famille de vecteurs propres de est stable par . Préciser l'endomorphisme induit par sur tout sous-espace propre de .
I.C.2) Montrer que si admet un sous-espace propre de dimension au moins égale à 2 alors il existe une infinité de droites de stables par .
I.C.3) Que dire de si tous les sous-espaces de sont stables par ?
I. - Dans cette sous-partie, est un espace de dimension finie.
I.D.1) Montrer que si est diagonalisable alors tout sous-espace de admet un supplémentaire dans stable par .

On pourra partir d'une base de et d'une base de constituée de vecteurs propres de .
I.D.2) Montrer que si et si tout sous-espace de stable par admet un supplémentaire dans stable par , alors est diagonalisable.
Qu'en est-il si ?

Dans cette partie, et sont deux entiers naturels au moins égaux à est un endomorphisme diagonalisable d'un -espace vectoriel de dimension , qui admet valeurs propres distinctes et, pour tout dans , on note le sous-espace propre de associé à la valeur propre .
II. - Il s'agit ici de montrer qu'un sous-espace de est stable par si et seulement si .
II.A.1) Montrer que tout sous-espace de tel que est stable par .
II.A.2) Soit un sous-espace de stable par et un vecteur non nul de .

Justifier l'existence et l'unicité de dans tel que .
II.A.3) Si on note est non vide et, quitte à renuméroter les valeurs propres (et les sous-espaces propres), on peut supposer que avec . Ainsi on a avec pour tout de .
On note .
Montrer que est une base de .
II.A.4) Montrer que pour tout de appartient à et donner la matrice de la famille dans la base .
II.A.5) Montrer que est une base de .
II.A.6) En déduire que pour tout de appartient à et conclure.
II.B - Dans cette sous-partie, on se place dans le cas où .
II.B.1) Préciser la dimension de pour tout dans .
II.B.2) Combien y a-t-il de droites de stables par ?
II.B.3) Si et , combien y a-t-il de sous-espaces de de dimension et stables par ?
II.B.4) Combien y a-t-il de sous-espaces de stables par dans ce cas ? Les donner tous.

III. - On considère l'endomorphisme de dérivation sur défini par pour tout dans .
III.A.1) Vérifier que pour tout de est stable par et donner la matrice de l'endomorphisme induit par sur dans la base canonique de .
III.A.2) Soit un sous-espace de , de dimension finie non nulle, stable par .
a) Justifier l'existence d'un entier naturel et d'un polynôme de degré tels que et .
b) Montrer que la famille est une famille libre de .
c) En déduire que .
III.A.3) Donner tous les sous-espaces de stables par .
III. B - On considère un endomorphisme d'un -espace vectoriel de dimension tel que et .
III.B.1) Déterminer l'ensemble des vecteurs de tels que la famille soit une base de .
III.B.2) Dans le cas où est une base de , quelle est la matrice de dans ?
III.B.3) Déterminer une base de telle que la matrice de dans cette base soit .
III.B.4) Donner tous les sous-espaces de stables par . Combien y en a-t-il ? Donner une relation simple entre ces sous-espaces stables et les noyaux pour dans .

Dans cette partie, est un entier naturel non nul, est dans et est l'endomorphisme de défini par pour tout de .
Si on note où et la base canonique de , quelle est la matrice de dans ?
IV.B - Montrer que si est impair, alors admet au moins une valeur propre réelle.
IV. - Dans cette question, , avec ( ) dans , est une valeur propre non réelle de et de , non nul est tel que .
Si on note avec (conjugué du nombre complexe ) pour tout
de et si on note avec pour tout de .
On pose et .
IV.C.1) Vérifier que et sont dans et montrer que la famille ( ) est libre dans .
IV.C.2) Montrer que le plan vectoriel engendré par et est stable par et donner la matrice de dans la base .
IV.D - Que penser de l'affirmation : « tout endomorphisme d'un espace vectoriel réel de dimension finie admet au moins une droite ou un plan stable »?
IV.E - Existe-t-il un endomorphisme de n'admettant ni droite ni plan stable ?
IV.F - Dans cette question on considère le système différentiel linéaire associé à la matrice .
On appelle trajectoires de les arcs de l'espace paramétrés par les solutions de . On veut déterminer les trajectoires rectilignes et les trajectoires planes de .
IV.F.1) Construire une matrice inversible et une matrice avec dans telles que et déterminer un plan et une droite stables par l'endomorphisme de canoniquement associé à et supplémentaires dans .
IV.F.2) Déterminer l'unique solution du problème de Cauchy lorsque appartient à .
IV.F.3) Pour tout de , on considère le problème de Cauchy et dans l'unique solution de .
Préciser et ; montrer que et sont solutions d'une même équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants et ainsi en déduire en fonction de et de .
IV.F.4) Déterminer les trajectoires rectilignes et les trajectoires planes du système différentiel .

Dans cette partie est un espace vectoriel réel de dimension muni d'une base .
On considère un endomorphisme de et on note sa matrice dans la base .

V.A.1) Montrer qu'il existe un unique produit scalaire sur pour lequel est orthonormée.

Ce produit scalaire est noté de manière usuelle par ou plus simplement pour tout ( ) de .
V.A.2) Si et sont représentés par les matrices colonnes respectives et dans la base , quelle relation simple existe-t-il entre et le produit matriciel (où est la transposée de ) ?
- Soit un hyperplan de et son supplémentaire orthogonal.
Si (u) est une base de et si est la matrice colonne de dans , montrer que est stable par si et seulement si est un vecteur propre de la transposée de .
- Déterminer ainsi le(s) plan(s) stable(s) de lorsque et est la matrice considérée en IV.F.
- Dans cette question, est un espace vectoriel réel de dimension et est un endomorphisme de .
V.D.1) Montrer que si est diagonalisable alors il existe hyperplans de , tous stables par tels que .
V.D.2) Un endomorphisme de pour lequel il existe hyperplans de stables par et d'intersection réduite au vecteur nul est-il nécessairement diagonalisable ?