Centrale Mathématiques 1 PC 2017

Soit un ensemble non vide.
On appelle partition de tout ensemble de parties de tel que

Si une partition de et si est le nombre d'éléments de , on dit aussi que une partition de en parties.

- Soit et deux entiers strictement positifs. Montrer qu'il n'existe qu'un nombre fini de partitions de l'ensemble en parties.
Dans tout le problème, pour tout couple ( ) d'entiers strictement positifs, on note le nombre de partitions de l'ensemble en parties.
On pose de plus , pour tout .
I. - Exprimer en fonction de ou de dans les cas suivants :
I.B.1) ;
I.B.2) .
I. Montrer que pour tous et entiers strictement positifs, on a

On pourra distinguer les partitions de selon qu'elles contiennent ou non le singleton .
I.D -
I.D.1) Rédiger une fonction Python récursive permettant de calculer le nombre , par application directe de la formule établie à la question I.C.
I.D.2) Montrer que, pour , le calcul de par cette fonction récursive nécessite au moins opérations (sommes ou produits).

Dans toute la suite, on pose pour tout entier ,

II.A - Montrer que pour est égal au nombre total de partitions de l'ensemble .
II.B - Démontrer la formule

II. - Montrer que la suite est majorée par 1.
- En déduire une minoration du rayon de convergence de la série entière .
Pour , on pose .
II.E - Montrer que pour tout .
II.F - En déduire une expression de la fonction sur .

On définit la suite de polynômes dans par et, pour tout ,

III. - Montrer que la famille ( ) est une base de l'espace .
III.B -
III.B.1) Pour tout , établir une expression simplifiée de .
III.B.2) En déduire que, pour tout entier naturel

III. - Soit .
III.C.1) Montrer que la fonction est définie sur .
III.C.2) Pour , on considère la fonction .

Montrer que la fonction vérifie l'équation différentielle

III.C.3) En déduire que pour tout et pour tout ,

III.D.1) Pour et , simplifier .
III.D.2) Montrer que pour

On se donne dans la suite un espace probabilisé ( ).
Soit un entier strictement positif. On dit qu'une variable aléatoire admet un moment d'ordre fini si admet une espérance finie, c'est-à-dire si la série converge. On appelle alors moment d'ordre de le réel

IV.A - Montrer que si est une variable aléatoire associée à une fonction génératrice de rayon strictement supérieur à 1, alors admet à tout ordre un moment fini.
IV.B - Réciproquement, soit une variable aléatoire admettant à tout ordre un moment fini.
IV.B.1) Montrer que la fonction génératrice est de classe sur .
IV.B.2) Exprimer à l'aide des polynômes et de la variable .
IV.B.3) La fonction génératrice a-t-elle nécessairement un rayon de convergence strictement supérieur à 1 ? On pourra utiliser la série entière .
IV.C - On suppose dans cette question que suit la loi de Poisson de paramètre 1.
IV.C.1) Montrer que pour tout .
IV.C.2) En déduire que pour tout polynôme à coefficients entiers, la série est convergente et sa somme est de la forme , où est un entier.

On fixe . On pose l'application linéaire:

- À l'aide d'un encadrement par des intégrales, déterminer un équivalent de , à fixé, lorsque tend vers .
- Soit l'endomorphisme induit par sur le sous-espace stable . Déterminer la matrice de dans la base .
- En déduire que .
On note , puis .
Soit le polynôme tel que .
V.D.1) Rappeler l'expression explicite du polynôme .
V.D.2) Montrer que l'application :

est un isomorphisme.
V.D.3) En déduire que pour tout , il existe un seul polynôme tel que

V.E -
V.E.1) Déterminer le terme dominant dans .
V.E.2) Montrer que pour divise .
V.E.3) Expliciter les polynômes et .