Centrale Mathématiques 1 PC 2017Sujet, corrigé et rapport du jury

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Difficile

Nombres de Bell, partitions d'un ensemble fini et polynômes de Hilbert

Le sujet de mathématiques 1 de la filière PC au concours Centrale-Supélec 2017 définit la suite des nombres de Bell, qui compte les partitions d'un ensemble fini, puis explore ses propriétés en lien avec une suite de polynômes appelés polynômes de Hilbert. Il mobilise successivement le dénombrement, l'analyse (séries entières), l'algèbre linéaire et les probabilités, notamment la loi de Poisson via les fonctions génératrices.

1I. Nombre de partitions en k partiesÉtude du nombre S(n,k) de partitions d'un ensemble à n éléments en k parties, avec une relation de récurrence et l'écriture d'une fonction Python récursive.
2II. Nombres de BellDéfinition de la suite des nombres de Bell comme somme des S(n,k), étude de la série entière associée et calcul de sa somme.
3III. Une suite de polynômesConstruction d'une base de polynômes (H_k) liée aux nombres S(n,k) et étude d'une équation différentielle vérifiée par des fonctions associées.
4IV. Fonctions génératricesÉtude des moments d'une variable aléatoire à valeurs entières via sa fonction génératrice, avec application à la loi de Poisson.
5V. Somme de puissancesUtilisation d'un endomorphisme de différence finie sur les polynômes pour retrouver des formules de sommes de puissances d'entiers.

Difficile. Le rapport indique qu'en dehors du tiers supérieur des candidats, le niveau des copies est nettement insuffisant, avec de nombreuses questions classiques rarement bien traitées voire quasiment jamais abordées correctement (II.B, V.C, V.E).

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Confusion entre cardinal et dimension · Question facile mais taux de réussite décevant · Convergence d'une série entière confondue avec continuité de sa somme

Le jury souligne que ce sujet classique, de longueur raisonnable et couvrant largement le programme de PC, aurait dû favoriser les très bonnes notes, ce qui n'a pas été le cas. En dehors du tiers supérieur des candidats, le niveau est jugé nettement insuffisant : défaut de justifications, rédaction bâclée, théorèmes approximatifs et cas particuliers systématiquement oubliés.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion entre cardinal et dimensionI.A
Cette confusion, déjà présente en I.A, revient à plusieurs reprises dans le problème, de même que d'autres confusions entre termes proches comme appartenance et inclusion.
« À noter la confusion entre cardinal et dimension que l’on retrouve à d’autres moments dans le problème »
2
Question facile mais taux de réussite décevantII.D
La question II.D était très facile et aurait dû être réussie par la quasi-totalité des candidats, ce qui n'a pas été le cas : beaucoup majorent directement le terme général sans passer par les modules pour justifier la convergence.
« Question très facile dont le taux de réussite aurait dû voisiner les 100%. »
3
Convergence d'une série entière confondue avec continuité de sa sommeIV.B.1
De nombreux candidats pensent à tort que si une série entière converge en un point, sa somme y est automatiquement continue ou dérivable.
« beaucoup de candidats pensent que lorsqu’une série entière converge en un point, sa somme est continue ou dérivable en ce point »
4
Bases de l'algèbre linéaire mal maîtriséesV.B
Cette question facile, bien traitée sur seulement un tiers des copies, révèle que beaucoup de candidats ne maîtrisent pas les bases de l'algèbre linéaire, avec des confusions entre bases de départ et d'arrivée.
« cette question facile est la preuve qu’un trop grand nombre de candidats ne maitrise pas les bases de l’algèbre linéaire »
5
Injectivité confondue avec bijectivité en dimension finieV.D
En question V.D, de nombreuses copies affirment qu'en dimension finie l'injectivité équivaut à la bijectivité sans mentionner l'égalité des dimensions, et sans jamais vérifier l'inclusion nécessaire.
« On voit souvent qu’en dimension finie injective équivaut à bijective sans parler de l’égalité des dimensions »

Ce qui a été bien réussi

L'écriture d'une fonction récursive en langage Python a été bien traitée, ce qui est une bonne surprise pour le jury.
La question II.A, facile, a été bien traitée.
La question II.E, faisant appel au produit de Cauchy, a été dans l'ensemble bien réussie.
Le début de la partie V est très abordable et plutôt bien réussi, ce qui a permis à de nombreux candidats de se remettre en selle.

Conseils du jury

Accorder de l'importance à la rédaction et éviter les fautes d'orthographe et les phrases sans sens précis.
Ne pas confondre les concepts proches, comme cardinal et dimension, ou appartenance et inclusion.
Distinguer une fonction de sa valeur en un point : dire qu'une fonction est dérivable en un point plutôt que sa valeur.
Construire des raisonnements argumentés en citant les propriétés du cours, plutôt que d'aller vite vers un résultat souvent faux.
Bien connaître son cours avant tout, condition rappelée comme le dernier conseil du rapport.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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Soit

E

un ensemble non vide.
On appelle partition de

E

tout ensemble

U = {A_1, …, A_k}

de parties de

E

tel que

chaque $A_i$ , pour $i \in [ [1, k] ]$ est une partie non vide de $E$ ;
les parties $A_1, \dots, A_k$ sont deux à deux disjointes, c'est-à-dire que pour tous $i \neq j$ entre 1 et $k, A_i \cap A_j = \emptyset$ ;
la réunion des $A_i$ forme $E$ tout entier : $E = ⋃_(i = 1)^k A_i$ .

U

une partition de

E

et si

k

est le nombre d'éléments de

U

, on dit aussi que

U

une partition de

E

k

parties.

I Nombre de partitions en $k$ parties

I.A

- Soit

k

n

deux entiers strictement positifs. Montrer qu'il n'existe qu'un nombre fini de partitions de l'ensemble

[ [1, n] ]

k

parties.
Dans tout le problème, pour tout couple (

n, k

) d'entiers strictement positifs, on note

S(n, k)

le nombre de partitions de l'ensemble

[ [1, n] ]

k

parties.
On pose de plus

S(0, 0) = 1et

, pour tout

(n, k) \in ℕ^(*2), S(n, 0) = S(0, k) = 0

.
I.

B

- Exprimer

S(n, k)

en fonction de

n

ou de

k

dans les cas suivants :
I.B.1)

k > n

;
I.B.2)

k = 1

.
I.

C -

Montrer que pour tous

k

n

entiers strictement positifs, on a

S(n, k) = S(n - 1, k - 1) + kS(n - 1, k)

On pourra distinguer les partitions de

[ [1, n] ]

selon qu'elles contiennent ou non le singleton

{n}

.
I.D -
I.D.1) Rédiger une fonction Python récursive permettant de calculer le nombre

S(n, k)

, par application directe de la formule établie à la question I.C.
I.D.2) Montrer que, pour

n ⩾ 1

, le calcul de

S(n, k)

par cette fonction récursive nécessite au moins

(n/k)

opérations (sommes ou produits).

II Nombres de Bell

Dans toute la suite, on pose pour tout entier

n ⩾ 0

B_n = \sum_(k = 0)^n S(n, k)

II.A - Montrer que pour

n ⩾ 1, B_n

est égal au nombre total de partitions de l'ensemble

[ [1, n] ]

.
II.B - Démontrer la formule

\foralln \in ℕ, B_(n + 1) = \sum_(k = 0)^n(n/k)B_k

II.

C

- Montrer que la suite

((B_n)/(n!))_(n \in ℕ)

est majorée par 1.

IID

- En déduire une minoration du rayon de convergence

R

de la série entière

\sum_(n ⩾ 0)(B_n)/(n!)z^n

.
Pour

x \in ] - R, R[

, on pose

f(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)(B_n)/(n!)x^n

.
II.E - Montrer que pour tout

x \in ] - R, R[, f^'(x) = e^x f(x)

.
II.F - En déduire une expression de la fonction

f

sur

] - R, R[

III Une suite de polynômes

On définit la suite de polynômes

(H_k)_(k \in ℕ)

dans

ℝ[X]

par

H_0(X) = 1

et, pour tout

k \in ℕ^*

H_k(X) = X(X - 1)\dots(X - k + 1)

III.

A

- Montrer que la famille (

H_0, \dots, H_n

) est une base de l'espace

ℝ_n[X]

.
III.B -
III.B.1) Pour tout

k \in ℕ

, établir une expression simplifiée de

H_(k + 1)(X) + kH_k(X)

.
III.B.2) En déduire que, pour tout entier naturel

n

X^n = \sum_(k = 0)^n S(n, k)H_k(X)

III.

C

- Soit

k \in ℕ

.
III.C.1) Montrer que la fonction

f_k : x \mapsto \sum_(n = k)^(+ \infty)S(n, k)(x^n)/(n!)

est définie sur

] - 1, 1[

.
III.C.2) Pour

k \in ℕ

, on considère la fonction

g_k : x \mapsto ((e^x - 1)^k)/(k!)

Montrer que la fonction

g_k

vérifie l'équation différentielle

y^' = ((e^x - 1)^(k - 1))/((k - 1)!) + ky

III.C.3) En déduire que pour tout

k \in ℕ

et pour tout

x \in ] - 1, 1[

((e^x - 1)^k)/(k!) = \sum_(n = k)^(+ \infty)S(n, k)(x^n)/(n!)

III.D -

III.D.1) Pour

x \in ] - 1, 1[

α \in ℝ

, simplifier

\sum_(k = 0)^(+ \infty)H_k(α)(x^k)/(k!)

.
III.D.2) Montrer que pour

u < ln2

e^(uα) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)H_k(α)((e^u - 1)^k)/(k!)

IV Fonctions génératrices

On se donne dans la suite un espace probabilisé (

Ω, A, ℙ

).
Soit

m

un entier strictement positif. On dit qu'une variable aléatoire

Y : Ω \to ℕ

admet un moment d'ordre

m

fini si

Y

admet une espérance finie, c'est-à-dire si la série

\sumn^m P(Y = n)

converge. On appelle alors moment d'ordre

m

Y

le réel

𝔼(Y^m) = \sum_(n = 0)^\inftyn^m ℙ(Y = n)

IV.A - Montrer que si

Y : Ω \to ℕ

est une variable aléatoire associée à une fonction génératrice

G_Y

de rayon strictement supérieur à 1, alors

Y

admet à tout ordre un moment fini.
IV.B - Réciproquement, soit

Y : Ω \to ℕ

une variable aléatoire admettant à tout ordre un moment fini.
IV.B.1) Montrer que la fonction génératrice

G_Y

est de classe

C^\infty

sur

[ - 1, 1]

.
IV.B.2) Exprimer

G_Y^((k))(1)

à l'aide des polynômes

H_k(X)

et de la variable

Y

.
IV.B.3) La fonction génératrice

G_Y

a-t-elle nécessairement un rayon de convergence strictement supérieur à 1 ? On pourra utiliser la série entière

\sume^(- \sqrtn)x^n

.
IV.C - On suppose dans cette question que

Y

suit la loi de Poisson de paramètre 1.
IV.C.1) Montrer que pour tout

n \in ℕ, B_n = 𝔼(Y^n)

.
IV.C.2) En déduire que pour tout polynôme

Q(X)

à coefficients entiers, la série

\sum_(n = 0)^(+ \infty)(Q(n))/(n!)

est convergente et sa somme est de la forme

Ne

, où

N

est un entier.

V Somme de puissances

On fixe

n \in ℕ

. On pose l'application linéaire:

Δ : ℝ[X], \to ℝ[X]; P(X), \mapsto P(X + 1) - P(X)

V.A

- À l'aide d'un encadrement par des intégrales, déterminer un équivalent de

U_n(p) = \sum_(k = 0)^p k^n

, à

n ⩾ 1

fixé, lorsque

p

tend vers

+ \infty

V.B

- Soit

Δ_n

l'endomorphisme induit par

Δ

sur le sous-espace stable

ℝ_n[X]

. Déterminer la matrice

A

Δ_n

dans la base

(H_0, \dots, H_n)

V.C

- En déduire que

U_n(p) = \sum_(k = 0)^n(S(n, k))/(k + 1)H_(k + 1)(p + 1)

V.D -

On note

F = {P ∈ ℝ_n[X]|P(0) = 0}

, puis

G = Vect(X^(2k + 1); 0 ⩽ k ⩽ n - 1)

.
Soit

Q(X)

le polynôme tel que

\forallp \in ℕ, Q(p) = \sum_(k = 0)^p k

.
V.D.1) Rappeler l'expression explicite du polynôme

Q(X)

.
V.D.2) Montrer que l'application :

Φ : F, \to G; P(X), \mapsto Δ(P(Q(X - 1)))

est un isomorphisme.
V.D.3) En déduire que pour tout

r \in ℕ

, il existe un seul polynôme

P_r(X)

tel que

\forallp \in ℕ, \sum_(k = 1)^p k^(2r + 1) = P_r((p(p + 1))/2)

V.E -
V.E.1) Déterminer le terme dominant dans

P_r(X)

.
V.E.2) Montrer que pour

r ⩾ 1, X^2

divise

P_r(X)

.
V.E.3) Expliciter les polynômes

P_1(X)

P_2(X)

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 PC Centrale 2017 ?

Le sujet porte sur les nombres de Bell et le dénombrement des partitions d'un ensemble fini, avec des applications aux séries entières, à l'algèbre linéaire (via des polynômes de Hilbert) et aux fonctions génératrices en probabilités, notamment la loi de Poisson.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à ce sujet de mathématiques 1 PC 2017 ?

Le jury relève une confusion récurrente entre cardinal et dimension, une méconnaissance de la différence entre convergence d'une série entière et continuité de sa somme, ainsi que des bases d'algèbre linéaire mal maîtrisées même sur des questions faciles.

Ce sujet de mathématiques 1 PC 2017 est-il difficile ?

Le rapport le juge globalement décevant : en dehors du tiers supérieur des candidats, le niveau est jugé nettement insuffisant, avec plusieurs questions classiques rarement voire quasiment jamais bien traitées.

Le sujet de mathématiques 1 PC 2017 nécessite-t-il des probabilités ?

Oui, la partie IV aborde les probabilités par le biais des fonctions génératrices, avec une application à la loi de Poisson en question IV.C.

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Ce qui a été bien réussi

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I Nombre de partitions en k parties

II Nombres de Bell

III Une suite de polynômes

III.D -

IV Fonctions génératrices

V Somme de puissances

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Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à ce sujet de mathématiques 1 PC 2017 ?

Ce sujet de mathématiques 1 PC 2017 est-il difficile ?

Le sujet de mathématiques 1 PC 2017 nécessite-t-il des probabilités ?

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