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Centrale Mathématiques 1 PC 2019Sujet, corrigé et rapport du jury

Réduction de sous-algèbres de L(E)

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Réduction de sous-algèbres de L(E)

Dans tout le problème, 𝕂 désigne ℝ ou ℂ et E est un 𝕂-espace vectoriel de dimension n ⩾ 1.
On note L(E) le 𝕂-espace vectoriel des endomorphismes de E et M_n(𝕂) le 𝕂-espace vectoriel des matrices carrées à n lignes et n colonnes et à coefficients dans 𝕂.
On note Mat_B(u) la matrice, dans la base B de E, de l'endomorphisme u de L(E).
La matrice transposée de toute matrice M de M_n(𝕂) est notée M^⊤.
On dit qu'un sous-ensemble A de L(E) est une sous-algèbre de L(E) si A est un sous-espace vectoriel de L(E), stable pour la composition, c'est-à-dire tel que u ∘ v appartient à A quels que soient les éléments u et v de A. (Remarquer qu'on ne demande pas que Id_E appartienne à A.)
On dit qu'une sous-algèbre A de L(E) est commutative si pour tous u et v dans A, u ∘ v = v ∘ u.
Une sous-algèbre A de L(E) est dite diagonalisable (respectivement trigonalisable) s'il existe une base B de E telle que Mat_B(u) soit diagonale (respectivement triangulaire supérieure) pour tout u de A.
On dit qu'une partie A de M_n(𝕂) est une sous-algèbre de M_n(𝕂) si A est un sous-espace vectoriel stable pour le produit matriciel. Elle est dite commutative si, pour toutes matrices A et B de A, AB = BA. Une sous-algèbre A de M_n(𝕂) est diagonalisable (respectivement trigonalisable) s'il existe P ∈ GL_n(𝕂) telle que pour toute matrice M de A, P^(− 1)MP soit diagonale (respectivement triangulaire supérieure).
Si B est une base de E, l'application Mat_B : L(E) → M_n(𝕂) est une bijection qui envoie une sous-algèbre (respectivement commutative, diagonalisable, trigonalisable) de L(E) sur une sous-algèbre de M_n(𝕂) (respectivement commutative, diagonalisable, trigonalisable).
Un sous-espace vectoriel F de E est strict si F est différent de E.
On désigne par S_n(𝕂) (respectivement A_n(𝕂) ) l'ensemble des matrices symétriques de M_n(𝕂) (respectivement antisymétriques). On désigne par T_n(𝕂) (respectivement T_n^+(𝕂) ) le sous-ensemble de M_n(𝕂) constitué des matrices triangulaires supérieures. (respectivement des matrices triangulaires supérieures à coefficients diagonaux nuls).

I Exemples de sous-algèbres

I.A - Exemples de sous-algèbres de M_n(𝕂)

Q 1. Les sous-ensembles T_n(𝕂) et T_n^+(𝕂) sont-ils des sous-algèbres de M_n(𝕂) ?
Q 2. Les sous-ensembles S_2(𝕂) et A_2(𝕂) sont-ils des sous-algèbres de M_2(𝕂) ?
Q 3. On suppose n ⩾ 3. Les sous-ensembles S_n(𝕂) et A_n(𝕂) sont-ils des sous-algèbres de M_n(𝕂) ?

I.B - Exemples de sous-algèbres de L(E)

Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension p et A_F l'ensemble des endomorphismes de E qui stabilisent F, c'est-à-dire A_F = {u ∈ L(E)|u(F) ⊂ F}.
Q 4. Montrer que A_F est une sous-algèbre de L(E).
Q 5. Montrer que dimA_F = n^2 − pn + p^2.
On pourra considérer une base de E dans laquelle la matrice de tout élément de A_F est triangulaire par blocs.
Q 6. Déterminer max_(1 ⩽ p ⩽ n − 1)(n^2 − pn + p^2).

I.C - Exemples de sous-algèbres de M_2(𝕂) diagonalisables et non diagonalisables

Soit Γ(𝕂) le sous-ensemble de M_2(𝕂) constitué des matrices de la forme (a, − b; b, a) où (a, b) ∈ 𝕂^2.
Q 7. Montrer que Γ(𝕂) est une sous-algèbre de M_2(𝕂).
Q 8. Montrer que Γ(ℝ) n'est pas une sous-algèbre diagonalisable de M_2(ℝ).
Q 9. Montrer que (0, − 1; 1, 0) est diagonalisable sur ℂ. En déduire que Γ(ℂ) est une sous-algèbre diagonalisable de M_2(ℂ).

II Une sous-algèbre commutative de M_n(ℝ)

Dans cette partie, on suppose n ⩾ 2.
Pour tout (a_0, …, a_(n − 1)) ∈ ℝ^n, on pose
J(a_0, …, a_(n − 1)) = (a_0, a_(n − 1), ⋯, a_1; a_1, a_0, ⋯, a_2; ⋮, ⋮, ⋮; a_(n − 1), a_(n − 2), ⋯, a_0)
Ainsi, le coefficient d'indice ( i, j ) de J(a_0, …, a_(n − 1)) est a_(i − j) si i ⩾ j et a_(i − j + n) si i < j.
Soit A l'ensemble des matrices de M_n(ℝ) de la forme J(a_0, …, a_(n − 1)) où (a_0, …, a_(n − 1)) ∈ ℝ^n.
Soit J ∈ M_n(ℝ) la matrice canoniquement associée à l'endomorphisme φ ∈ L(ℝ^n) défini par φ : e_j ↦ e_(j + 1) si j ∈ {1, …, n − 1} et φ(e_n) = e_1, où ( e_1, …, e_n ) est la base canonique de ℝ^n.

II.A - Calcul des puissances de J

Q 10. Préciser les matrices J et J^2. (On pourra distinguer les cas n = 2 et n > 2.)
Q 11. Préciser les matrices J^n et J^k pour 2 ⩽ k ⩽ n − 1.
Q 12. Quel est le lien entre la matrice J(a_0, …, a_(n − 1)) et les J^k, où 0 ⩽ k ⩽ n − 1 ?

II.B - Une base de A

Q 13. Montrer que (I_n, J, J^2, …, J^(n − 1)) est une base de A.
Q 14. Soit M ∈ M_n(ℝ). Montrer que M commute avec J si et seulement si M commute avec tout élément de A.
Q 15. Montrer que A est une sous-algèbre commutative de M_n(ℝ).

II.C - Diagonalisation de J

Q 16. Déterminer le polynôme caractéristique de J.
Q 17. Montrer que J est diagonalisable dans M_n(ℂ).
Q 18. La matrice J est-elle diagonalisable dans M_n(ℝ) ?
Q 19. Déterminer les valeurs propres complexes de J et les espaces propres associés.

II.D - Diagonalisation de A

Q 20. Le sous-ensemble A est-il une sous-algèbre de M_n(ℂ) ?
Q 21. Montrer qu'il existe P ∈ GL_n(ℂ) telle que, pour toute matrice A ∈ A, la matrice P^(− 1)AP est diagonale.
Soit (a_0, …, a_(n − 1)) ∈ ℝ^n. On note Q ∈ ℝ[X] le polynôme ∑_(k = 0)^(n − 1)a_k X^k.
Q 22. Quelles sont les valeurs propres complexes de la matrice J(a_0, …, a_(n − 1)) ?

III Sous-algèbres strictes de M_n(ℝ) de dimension maximale

On se propose de montrer dans cette partie que la dimension maximale d'une sous-algèbre stricte de M_n(ℝ) est égale à n^2 − n + 1.
Dans toute cette partie, A est une sous-algèbre de M_n(ℝ) strictement incluse dans M_n(ℝ) et on note d sa dimension. On a donc d < n^2.
III.A - Un produit scalaire sur M_n(ℝ)
La trace de toute matrice M de M_n(ℝ) est notée tr(M).
Q 23. Montrer que l'application définie sur M_n(ℝ) × M_n(ℝ)par(A, B) ↦ ⟨A|B⟩ = tr(A^⊤B) est un produit scalaire sur M_n(ℝ).
On désigne A^⊥ l'orthogonal de A dans M_n(ℝ) et on note r sa dimension.
Q 24. Quelle relation a-t-on entre d et r ?
Jusqu'à la fin de cette partie III, on fixe une base ( A_1, …, A_r ) de A^⊥.
Q 25. Soit M ∈ M_n(ℝ). Montrer que M appartient à A si et seulement si, pour tout i ∈ [ [1, r] ], ⟨A_i|M⟩ = 0.
Q 26. Montrer que pour toute matrice N ∈ A et tout i ∈ [ [1, r] ], on a N^⊤A_i ∈ A^⊥.

III.B - Conclusion

Soit A^⊤ = {M^⊤|M ∈ A}.
Q 27. Montrer que A^⊤ est une sous-algèbre de M_n(ℝ) de même dimension que A.
On note M_(n, 1)(ℝ) le ℝ-espace vectoriel des matrices colonnes à n lignes et à coefficients réels. On rappelle qu'à toute matrice M de M_n(ℝ) est associé canoniquement l'endomorphisme de M_(n, 1)(ℝ) défini par X ↦ MX.
Q 28. Soit X ∈ M_(n, 1)(ℝ) et soit F = Vect(A_1 X, …, A_r X). Montrer que F est stable par les endomorphismes de M_(n, 1)(ℝ) canoniquement associés aux éléments de A^⊤.
Q 29. Montrer que d ⩽ n^2 − n + 1 et conclure.

IV Réduction d'une algèbre nilpotente de M_n(ℂ)

Soit E un ℂ-espace vectoriel de dimension finie n ⩾ 1. Soit A une sous-algèbre de L(E) constituée d'endomorphismes nilpotents. On admet dans cette partie le théorème ci-dessous, qui sera démontré dans la partie V.

Théorème de Burnside

Soit E un ℂ-espace vectoriel de dimension n ⩾ 2. Soit A une sous-algèbre de L(E). Si les seuls sous-espaces vectoriels de E stables par tous les éléments de A sont {0} et E, alors A = L(E).
On se propose de démontrer par récurrence forte sur n ∈ ℕ^∗ que si tous les éléments de A sont nilpotents, alors A est trigonalisable.
Q 30. Montrer que le résultat est vrai si n = 1.
On suppose désormais que n ⩾ 2 et que le résultat est vrai pour tout entier naturel d ⩽ n − 1.
Q 31. Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel V de E distinct de E et {0} stable par tous les éléments de A.
On fixe dans la suite un tel sous-espace vectoriel et on note r sa dimension. Soit aussi s = n − r.
Q 32. Montrer qu'il existe une base B de E telle que pour tout u ∈ A,
Mat_B(u) = (A(u), B(u); 0, D(u))
où A(u) ∈ M_r(ℂ), B(u) ∈ M_(r, s)(ℂ) et D(u) ∈ M_s(ℂ).
Q 33. Montrer que {A(u)|u ∈ A} est une sous-algèbre de M_r(ℂ) constituée de matrices nilpotentes et que {D(u)|u ∈ A} est une sous-algèbre de M_s(ℂ) constituée de matrices nilpotentes.
Q 34. Montrer que A est trigonalisable.
Q 35. Montrer qu'il existe une base de E dans laquelle les matrices des éléments de A appartiennent à T_n^+(ℂ).

V Le théorème de Burnside

On se propose de démontrer dans cette partie le théorème de Burnside énoncé dans la partie IV.
On fixe un ℂ-espace vectoriel E de dimension n ⩾ 2.
On dira qu'une sous-algèbre A de L(E) est irréductible si les seuls sous-espaces vectoriels stables par tous les éléments de A sont {0} et E.
Soit A une sous-algèbre irréductible de L(E). Il s'agit donc de montrer que A = L(E).

V.A - Recherche d'un élément de rang 1

Q 36. Soient x et y deux éléments de E, x étant non nul. Montrer qu'il existe u ∈ A tel que u(x) = y.
On pourra considérer dans E le sous-espace vectoriel {u(x)|u ∈ A}.
Q 37. Soit v ∈ A de rang supérieur ou égal à 2 . Montrer qu'il existe u ∈ A et λ ∈ ℂ tel que
0 < rg(v ∘ u ∘ v − λv) < rgv.
Considérer x et y dans E tels que la famille (v(x), v(y)) soit libre, justifier l'existence de u ∈ A tel que u ∘ v(x) = y et considérer l'endomorphisme induit par v ∘ u sur Imv.
Q 38. En déduire l'existence d'un élément de rang 1 dans A.

V.B - Conclusion

Soit u_0 ∈ A de rang 1 . On peut donc choisir une base B = (ε_1, …, ε_n) de E telle que ( ε_2, …, ε_n ) soit une base de keru_0.
Q 39. Montrer qu'il existe u_1, …, u_n ∈ A de rang 1 tels que u_i(ε_1) = ε_i pour tout i ∈ [ [1, n] ].
Q 40. Conclure.

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