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Centrale Mathématiques 1 PC 2019

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Réduction de sous-algèbres de L(E)

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéduction
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Réduction de sous-algèbres de

Dans tout le problème, désigne ou et est un -espace vectoriel de dimension .
On note le -espace vectoriel des endomorphismes de et le -espace vectoriel des matrices carrées à lignes et colonnes et à coefficients dans .
On note la matrice, dans la base de , de l'endomorphisme de .
La matrice transposée de toute matrice de est notée .
On dit qu'un sous-ensemble de est une sous-algèbre de si est un sous-espace vectoriel de , stable pour la composition, c'est-à-dire tel que appartient à quels que soient les éléments et de . (Remarquer qu'on ne demande pas que appartienne à .)
On dit qu'une sous-algèbre de est commutative si pour tous et dans .
Une sous-algèbre de est dite diagonalisable (respectivement trigonalisable) s'il existe une base de telle que soit diagonale (respectivement triangulaire supérieure) pour tout de .
On dit qu'une partie de est une sous-algèbre de si est un sous-espace vectoriel stable pour le produit matriciel. Elle est dite commutative si, pour toutes matrices et de . Une sous-algèbre de est diagonalisable (respectivement trigonalisable) s'il existe telle que pour toute matrice de soit diagonale (respectivement triangulaire supérieure).
Si est une base de , l'application est une bijection qui envoie une sous-algèbre (respectivement commutative, diagonalisable, trigonalisable) de sur une sous-algèbre de (respectivement commutative, diagonalisable, trigonalisable).
Un sous-espace vectoriel de est strict si est différent de .
On désigne par (respectivement ) l'ensemble des matrices symétriques de (respectivement antisymétriques). On désigne par (respectivement ) le sous-ensemble de constitué des matrices triangulaires supérieures. (respectivement des matrices triangulaires supérieures à coefficients diagonaux nuls).

I Exemples de sous-algèbres

I.A - Exemples de sous-algèbres de

Q 1. Les sous-ensembles et sont-ils des sous-algèbres de ?
Q 2. Les sous-ensembles et sont-ils des sous-algèbres de ?
Q 3. On suppose . Les sous-ensembles et sont-ils des sous-algèbres de ?

I.B - Exemples de sous-algèbres de

Soit un sous-espace vectoriel de de dimension et l'ensemble des endomorphismes de qui stabilisent , c'est-à-dire .
Q 4. Montrer que est une sous-algèbre de .
Q 5. Montrer que .
On pourra considérer une base de dans laquelle la matrice de tout élément de est triangulaire par blocs.
Q 6. Déterminer .

I.C - Exemples de sous-algèbres de diagonalisables et non diagonalisables

Soit le sous-ensemble de constitué des matrices de la forme où .
Q 7. Montrer que est une sous-algèbre de .
Q 8. Montrer que n'est pas une sous-algèbre diagonalisable de .
Q 9. Montrer que est diagonalisable sur . En déduire que est une sous-algèbre diagonalisable de .

II Une sous-algèbre commutative de

Dans cette partie, on suppose .
Pour tout , on pose
Ainsi, le coefficient d'indice ( ) de est si et si .
Soit l'ensemble des matrices de de la forme où .
Soit la matrice canoniquement associée à l'endomorphisme défini par si et , où ( ) est la base canonique de .

II.A - Calcul des puissances de

Q 10. Préciser les matrices et . (On pourra distinguer les cas et .)
Q 11. Préciser les matrices et pour .
Q 12. Quel est le lien entre la matrice et les , où ?

II.B - Une base de

Q 13. Montrer que est une base de .
Q 14. Soit . Montrer que commute avec si et seulement si commute avec tout élément de .
Q 15. Montrer que est une sous-algèbre commutative de .

II.C - Diagonalisation de

Q 16. Déterminer le polynôme caractéristique de .
Q 17. Montrer que est diagonalisable dans .
Q 18. La matrice est-elle diagonalisable dans ?
Q 19. Déterminer les valeurs propres complexes de et les espaces propres associés.

II.D - Diagonalisation de

Q 20. Le sous-ensemble est-il une sous-algèbre de ?
Q 21. Montrer qu'il existe telle que, pour toute matrice , la matrice est diagonale.
Soit . On note le polynôme .
Q 22. Quelles sont les valeurs propres complexes de la matrice ?

III Sous-algèbres strictes de de dimension maximale

On se propose de montrer dans cette partie que la dimension maximale d'une sous-algèbre stricte de est égale à .
Dans toute cette partie, est une sous-algèbre de strictement incluse dans et on note sa dimension. On a donc .
III.A - Un produit scalaire sur
La trace de toute matrice de est notée .
Q 23. Montrer que l'application définie sur est un produit scalaire sur .
On désigne l'orthogonal de dans et on note sa dimension.
Q 24. Quelle relation a-t-on entre et ?
Jusqu'à la fin de cette partie III, on fixe une base ( ) de .
Q 25. Soit . Montrer que appartient à si et seulement si, pour tout .
Q 26. Montrer que pour toute matrice et tout , on a .

III.B - Conclusion

Soit .
Q 27. Montrer que est une sous-algèbre de de même dimension que .
On note le -espace vectoriel des matrices colonnes à lignes et à coefficients réels. On rappelle qu'à toute matrice de est associé canoniquement l'endomorphisme de défini par .
Q 28. Soit et soit . Montrer que est stable par les endomorphismes de canoniquement associés aux éléments de .
Q 29. Montrer que et conclure.

IV Réduction d'une algèbre nilpotente de

Soit un -espace vectoriel de dimension finie . Soit une sous-algèbre de constituée d'endomorphismes nilpotents. On admet dans cette partie le théorème ci-dessous, qui sera démontré dans la partie V.

Théorème de Burnside

Soit un -espace vectoriel de dimension . Soit une sous-algèbre de . Si les seuls sous-espaces vectoriels de stables par tous les éléments de sont et , alors .
On se propose de démontrer par récurrence forte sur que si tous les éléments de sont nilpotents, alors est trigonalisable.
Q 30. Montrer que le résultat est vrai si .
On suppose désormais que et que le résultat est vrai pour tout entier naturel .
Q 31. Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel de distinct de et stable par tous les éléments de .
On fixe dans la suite un tel sous-espace vectoriel et on note sa dimension. Soit aussi .
Q 32. Montrer qu'il existe une base de telle que pour tout ,
où et .
Q 33. Montrer que est une sous-algèbre de constituée de matrices nilpotentes et que est une sous-algèbre de constituée de matrices nilpotentes.
Q 34. Montrer que est trigonalisable.
Q 35. Montrer qu'il existe une base de dans laquelle les matrices des éléments de appartiennent à .

V Le théorème de Burnside

On se propose de démontrer dans cette partie le théorème de Burnside énoncé dans la partie IV.
On fixe un -espace vectoriel de dimension .
On dira qu'une sous-algèbre de est irréductible si les seuls sous-espaces vectoriels stables par tous les éléments de sont et .
Soit une sous-algèbre irréductible de . Il s'agit donc de montrer que .

V.A - Recherche d'un élément de rang 1

Q 36. Soient et deux éléments de étant non nul. Montrer qu'il existe tel que .
On pourra considérer dans le sous-espace vectoriel .
Q 37. Soit de rang supérieur ou égal à 2 . Montrer qu'il existe et tel que
Considérer et dans tels que la famille soit libre, justifier l'existence de tel que et considérer l'endomorphisme induit par sur .
Q 38. En déduire l'existence d'un élément de rang 1 dans .

V.B - Conclusion

Soit de rang 1 . On peut donc choisir une base de telle que ( ) soit une base de .
Q 39. Montrer qu'il existe de rang 1 tels que pour tout .
Q 40. Conclure.

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