Centrale Mathématiques 2 MP 2002

désigne l'espace vectoriel muni de sa structure euclidienne canonique et orienté de sorte que la base canonique, notée (i,j,k), soit orthonormale directe.
On a donc pour tout et réels: . Le produit scalaire sera noté : .
Si est un vecteur non nul élément de , on note , la droite vectorielle de base le plan vectoriel orthogonal à et le demi-tour par rapport à c'est-à-dire la symétrie orthogonale par rapport à ou encore la rotation vectorielle d'axe et d'angle de mesure .
Si est un nombre réel, on note la rotation vectorielle d'axe orienté dans le sens du vecteur et d'angle de mesure .
On rappelle qu'une rotation vectorielle de ayant -1 comme valeur propre est un demi-tour.
On rappelle également l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

et l'on admet que dans cette inégalité, l'égalité a lieu si et seulement si les deux vecteurs et sont colinéaires.

Pour tout ( ) élément de , on pose: et l'on note l'ensemble suivant : .

I.A.1) Déterminer quelques éléments de symétrie de
I.A.2) Déterminer et dessiner l'intersection de avec le plan .
I.A.3)
a) Démontrer que pour tout réel : .
b) En déduire que, pour tout réel, est invariant par c'est-à-dire: .
I.A.4) Donner la nature géométrique de .

On note l'ensemble des automorphismes orthogonaux de qui laissent globalement invariant , c'est-à-dire :
I.B.1) Donner quelques éléments de .
I.B.2) Soit un élément quelconque de .
a) Démontrer que est un vecteur propre de .
b) Démontrer : .
c) Déterminer l'ensemble des rotations vectorielles éléments de .
I.B.3) On pose . Démontrer que .

On note l'ensemble des automorphismes orthogonaux de qui laissent globalement invariant , c'est-à-dire : .
I.C.1) Démontrer que est un sous-groupe de .
I.C.2)
a) Reconnaître, pour tout réel, l'endomorphisme .
b) Démontrer : .
c) Démontrer : .
I.C.3) Soit un élément quelconque de .
a) Démontrer que pour tout vecteur élément de tel que : , l'on a :

b) On note un vecteur quelconque unitaire élément de .
i) Observer que , puis démontrer: .
ii) En faisant intervenir le vecteur , en déduire :
iii) On suppose ; démontrer qu'alors est colinéaire à . Est-ce cohérent?
iv) En déduire : .
I.C.4) Démontrer que .

On pose: .
I.D.1) Démontrer .
I.D.2)
a) Justifier que est une forme quadratique sur et donner sa matrice dans la base ( ).
b) Reconnaître l'endomorphisme de matrice dans la base ( ).
I.D.3) Démontrer que tout élément de commute avec c'est-à-dire vérifie .
I.D.4) Soit un élément de qui commute avec . Démontrer que est un vecteur propre de .
I.D.5) En déduire .

On note un endomorphisme symétrique de et l'on pose pour tout vecteur de . Pour tout a réel, on pose ; . On veut déterminer les endomorphismes tels que toutes les surfaces soient de révolution d'axe c'est-à-dire tels que :

II.A - Démontrer que () est équivalente à .
II.B - On suppose ici : . Démontrer qu'alors () est vérifiée.
II.C - On suppose maintenant que (*) est vérifiée et l'on veut démontrer : .
II.C.1) Déterminer les endomorphismes symétriques de tels que :

II.C.2) Démontrer que si et sont des endomorphismes symétriques de , il en est de même de .
II.C.3) Démontrer que pour tout réel l'endomorphisme est symétrique.
II.C.4) Conclure.
II.D - On suppose que commute avec toutes les rotations .
II.D.1) Démontrer que est un vecteur propre de . En déduire: .
II.D.2) Démontrer que la matrice de dans la base ( ) est du type :

II.D.3) En déduire que (*) est vérifiée si et seulement si s'écrit :

On suppose dans cette section que est non vide et de révolution d'axe c'est-à-dire que est tel que :

et on désigne par un vecteur quelconque de .
II.E.1) On suppose ; démontrer : .
II.E.2) On suppose . On considère alors un vecteur élément de et pour tout réel , on pose .
a) Démontrer que est une fonction polynômiale de degré 2 que l'on précisera. En déduire qu'il existe un réel tel que :

b) Démontrer pour tout réel :

En déduire que :

II.E.3) En déduire quels sont les endomorphismes symétriques satisfaisant aux conditions (1) et reconnaître toutes les surfaces associées.