Centrale Mathématiques 2 MP 2002Sujet et rapport du jury

E désigne l'espace vectoriel ℝ^3 muni de sa structure euclidienne canonique et orienté de sorte que la base canonique, notée (i,j,k), soit orthonormale directe.
On a donc pour tout x, y et z réels: (x, y, z) = xi + yj + zk. Le produit scalaire sera noté : ⟨ ⋅ | ⋅ ⟩.
Si u est un vecteur non nul élément de E, on note D_u, la droite vectorielle de base u, P_u le plan vectoriel orthogonal à D_u et S_u le demi-tour par rapport à D_u c'est-à-dire la symétrie orthogonale par rapport à D_u ou encore la rotation vectorielle d'axe D_u et d'angle de mesure π.
Si θ est un nombre réel, on note R_θ la rotation vectorielle d'axe D_k orienté dans le sens du vecteur k et d'angle de mesure θ.
On rappelle qu'une rotation vectorielle de E ayant -1 comme valeur propre est un demi-tour.
On rappelle également l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

et l'on admet que dans cette inégalité, l'égalité a lieu si et seulement si les deux vecteurs u et v sont colinéaires.

Pour tout ( x, y, z ) élément de E, on pose: q(x, y, z) = x^2 + y^2 − z^2 et l'on note Q_0 l'ensemble suivant : Q_0 = {(x, y, z) ∈ E|q(x, y, z) = 0}.

I.A.1) Déterminer quelques éléments de symétrie de Q_0
I.A.2) Déterminer et dessiner l'intersection de Q_0 avec le plan P_j.
I.A.3)
a) Démontrer que pour tout θ réel : R_θ(Q_0) ⊂ Q_0.
b) En déduire que, pour tout θ réel, Q_0 est invariant par R_θ c'est-à-dire: R_θ(Q_0) = Q_0.
I.A.4) Donner la nature géométrique de Q_0.

On note K l'ensemble des automorphismes orthogonaux de E qui laissent globalement invariant D_k, c'est-à-dire : K = {φ ∈ O(E)|φ(D_k) = D_k}
I.B.1) Donner quelques éléments de K.
I.B.2) Soit φ un élément quelconque de K.
a) Démontrer que k est un vecteur propre de φ.
b) Démontrer : φ(k) ∈ { − k, k}.
c) Déterminer l'ensemble K^+des rotations vectorielles éléments de K.
I.B.3) On pose K^− = { − r|r ∈ K^+}. Démontrer que K = K^+ ∪ K^−.

On note K_0 l'ensemble des automorphismes orthogonaux de E qui laissent globalement invariant Q_0, c'est-à-dire : K_0 = {φ ∈ O(E)|φ(Q_0) = Q_0}.
I.C.1) Démontrer que K_0 est un sous-groupe de O(E).
I.C.2)
a) Reconnaître, pour tout θ réel, l'endomorphisme R_θ ∘ S_i.
b) Démontrer : K^+ ⊂ K_0.
c) Démontrer : K ⊂ K_0.
I.C.3) Soit φ un élément quelconque de K_0.
a) Démontrer que pour tout vecteur v élément de Q_0 tel que : ‖v‖ = √2, l'on a :

b) On note u un vecteur quelconque unitaire élément de P_k.
i) Observer que u + k ∈ Q_0, puis démontrer: ⟨φ(u + k)|k⟩^2 = 1.
ii) En faisant intervenir le vecteur u − k, en déduire : ⟨φ(u)|k⟩⟨φ(k)|k⟩ = 0
iii) On suppose ⟨φ(k)|k⟩ = 0; démontrer qu'alors φ(u) est colinéaire à k. Est-ce cohérent?
iv) En déduire : φ(P_k) = P_k.
I.C.4) Démontrer que K_0 = K.

On pose: C = {φ ∈ O(E)|q ∘ φ = q}.
I.D.1) Démontrer C = K.
I.D.2)
a) Justifier que q est une forme quadratique sur E et donner sa matrice M dans la base ( i, j, k ).
b) Reconnaître l'endomorphisme σ de matrice M dans la base ( i, j, k ).
I.D.3) Démontrer que tout élément φ de C commute avec σ c'est-à-dire vérifie φ ∘ σ = σ ∘ φ.
I.D.4) Soit φ un élément de O(E) qui commute avec σ. Démontrer que k est un vecteur propre de φ.
I.D.5) En déduire C = {φ ∈ O(E)|σ ∘ φ = φ ∘ σ}.

On note U un endomorphisme symétrique de E et l'on pose pour tout vecteur X de E : f(X) = ⟨X|U(X)⟩. Pour tout a réel, on pose ; F_a = {X ∈ E|f(X) = a}. On veut déterminer les endomorphismes U tels que toutes les surfaces F_a soient de révolution d'axe D_k c'est-à-dire tels que :

II.A - Démontrer que () est équivalente à ∀θ ∈ ℝ, f ∘ R_θ = f.
II.B - On suppose ici : ∀θ ∈ ℝ, U ∘ R_θ = R_θ ∘ U. Démontrer qu'alors () est vérifiée.
II.C - On suppose maintenant que (*) est vérifiée et l'on veut démontrer : ∀θ ∈ ℝ, U ∘ R_θ = R_θ ∘ U.
II.C.1) Déterminer les endomorphismes symétriques V de E tels que :

II.C.2) Démontrer que si V et V^′ sont des endomorphismes symétriques de E, il en est de même de V − V^′.
II.C.3) Démontrer que pour tout réel θ l'endomorphisme R_θ^(− 1) ∘ U ∘ R_θ est symétrique.
II.C.4) Conclure.
II.D - On suppose que U commute avec toutes les rotations R_θ.
II.D.1) Démontrer que k est un vecteur propre de U. En déduire: U(P_k) ⊂ P_k.
II.D.2) Démontrer que la matrice M de U dans la base ( i, j, k ) est du type :

II.D.3) En déduire que (*) est vérifiée si et seulement si M s'écrit :

On suppose dans cette section que F_1 est non vide et de révolution d'axe D_k c'est-à-dire que U est tel que :

et on désigne par X un vecteur quelconque de E.
II.E.1) On suppose f(X) > 0; démontrer : ∀θ ∈ ℝ, f ∘ R_θ(X) = f(X).
II.E.2) On suppose f(X) ≤ 0. On considère alors un vecteur X_1 élément de F_1 et pour tout réel t, on pose g(t) = f(X + tX_1).
a) Démontrer que g est une fonction polynômiale de degré 2 que l'on précisera. En déduire qu'il existe un réel t_0 tel que :

b) Démontrer pour tout réel θ :

En déduire que :

II.E.3) En déduire quels sont les endomorphismes symétriques U satisfaisant aux conditions (1) et reconnaître toutes les surfaces F_1 associées.