Centrale Mathématiques 2 PSI 2012Sujet, corrigé et rapport du jury

On note ℝ le corps des nombres réels. Si n est un entier positif, on munit l'espace vectoriel ℝ^n du produit scalaire canonique, noté ⟨X, Y⟩ pour X, Y ∈ ℝ^n. On note ‖X‖ = √(⟨X, X⟩) la norme associée.
On note M_n(ℝ) l'algèbre des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels. On assimile ℝ^n à l'espace des vecteurs colonnes d'ordre n et M_n(ℝ) à son algèbre d'endomorphismes. Ainsi ⟨X, Y⟩ = ^t XY. On note I_n la matrice unité de M_n(ℝ).
Si A = (a_(ij))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) ∈ M_n(ℝ), on note Tr(A) la somme de ses éléments diagonaux : Tr(A) = ∑_(i = 1)^n a_(ii). On rappelle que Tr(A) est égale à la somme des valeurs propres complexes de A comptées avec leurs ordres de multiplicité.
Si A ∈ M_n(ℝ), le polynôme caractéristique de A est P_A(X) = det(A − XI_n).
Si A ∈ M_n(ℝ), on définit R(A) = {^t XAX|X ∈ ℝ^n, ‖X‖ = 1} qui est une partie de ℝ.
Les parties ainsi que les questions ne sont pas indépendantes.

Soit A = (a_(ij))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) ∈ M_n(ℝ).
I. A - Démontrer que les valeurs propres réelles de A sont dans R(A).
I. B - I.B.1) Démontrer que les éléments a_(ii)(1 ⩽ i ⩽ n) de la diagonale de A sont dans R(A).
I.B.2) En considérant la matrice

montrer que les éléments a_(ij) avec i ≠ j ne sont pas nécessairement dans R(A).
I. C - On considère deux nombres réels a ∈ R(A) et b ∈ R(A), avec a < b. Soient X_1 et X_2 deux vecteurs de norme 1 tels que ^t X_1 AX_1 = a, ^t X_2 AX_2 = b.
I.C.1) Démontrer que X_1 et X_2 sont linéairement indépendants.
I.C.2) On pose X_λ = λX_1 + (1 − λ)X_2 pour 0 ⩽ λ ⩽ 1.

Démontrer que la fonction φ : λ ↦ (^t X_λ AX_λ)/(‖X_λ‖^2) est définie et continue sur l'intervalle [ 0,1 ].
I.C.3) En déduire que le segment [a, b] est inclus dans R(A).
I.D - Démontrer que si Tr(A) = 0 alors 0 ∈ R(A).
I.E - Soit Q une matrice orthogonale réelle. Démontrer que R (A) = R ( ^t QAQ ).
I.F - On considère les conditions suivantes :
(C1) Tr(A) ∈ R(A)
(C2) Il existe une matrice orthogonale réelle Q telle que la diagonale de la matrice ^t QAQ soit de la forme (Tr(A), 0, …, 0)
I.F.1) Démontrer que la condition (C2) implique la condition (C1).
I.F.2) On suppose que x ∈ R(A).

Démontrer qu'il existe une matrice Q_1 orthogonale telle que

où B est une matrice de format (n − 1, n − 1)(B ∈ M_(n − 1)(ℝ)), C un vecteur colonne à n − 1 éléments (C ∈ M_(n − 1, 1)(ℝ)) et L un vecteur ligne à n − 1 éléments (L ∈ M_(1, n − 1)(ℝ)).
I.F.3) Démontrer que si la matrice A est symétrique il en est de même pour la matrice B ci-dessus.
I.F.4) Démontrer que Tr(A) = Tr(^t Q_1 AQ_1).
I.F.5) En déduire que si A est symétrique, la condition (C1) implique la condition (C2)

On pourra raisonner par récurrence sur n.

Dans toute cette partie A et B désignent des matrices symétriques réelles de M_2(ℝ). On note λ_1 ⩽ λ_2 (resp. μ_1 ⩽ μ_2 ) les valeurs propres de A (resp. B ).
De plus on dira qu'une matrice symétrique S est positive, ce que l'on notera S ⩾ 0, si et seulement si toutes ses valeurs propres sont ⩾ 0.
II.A - Démontrer que R(A) = [λ_1, λ_2].
II.B - On considère l'ensemble Γ ⊂ ℝ^2 défini par l'équation ⟨AX, X⟩ = 1.
II.B.1) Caractériser les conditions sur les λ_i pour lesquelles cet ensemble est :
a) vide ;
b) la réunion de deux droites;
c) une ellipse;
d) une hyperbole.
II.B.2) Réprésenter sur une même figure les ensembles Γ obtenus pour A diagonale avec λ_1 ∈ { − 4, − 1, 0, 1/4, 1} et λ_2 = 1.
II. C − Démontrer que Tr(AB) ⩽ λ_1 μ_1 + λ_2 μ_2.

On pourra utiliser une matrice P orthogonale telle que ^t PBP soit une matrice diagonale, pour obtenir ^t PAP = A^′ = (a_(ij)^′) avec Tr(A) = λ_1 + λ_2 = a_(11)^′ + a_(22)^′.
II.D - On pose

et on suppose A ⩾ 0.
II.D.1) Démontrer que det(A) ⩾ 0.
II.D.2) Démontrer que ^t XAX ⩾ 0 pour tout vecteur X.
II.D.3) Démontrer que a ⩾ 0 et d ⩾ 0.
II.D.4) Soit S ∈ M_2(ℝ) symétrique. Démontrer que :

II.E - On pose

On suppose dans cette section que A ⩾ 0 et B ⩾ 0.
II.E.1) En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz aux vecteurs ( b_1, √(detA) ) et ( b_2, √(detB) ), démontrer que

II.E.2) En calculant det(A + B) − detA − detB, en déduire que

II.F - On suppose dans cette sous-partie A ⩾ 0 et B ⩾ 0, detAdetB ≠ 0 et b_1 b_2 ≠ 0.
II.F.1) Démontrer que l'on a l'égalité dans la formule de la question II.E. 2 si et seulement si les vecteurs ( a_1, d_1 ) et ( a_2, d_2 ) sont liés, ainsi que les vecteurs ( b_1, √(detA) ) et ( b_2, √(detB) ).
II.F.2) Démontrer alors que l'on a l'égalité dans la formule de la question II.E. 2 si et seulement si les matrices A et B sont proportionnelles ( A = λB pour un λ ∈ ℝ, λ > 0 ).
II. G - On considère la relation suivante sur l'ensemble des matrices symétriques réelles de format ( 2,2 ) : on dit que S ⩽ S^′ si et seulement si la matrice symétrique S^′ − S vérifie S^′ − S ⩾ 0.
Démontrer que la relation ⩽ ci-dessus est bien une relation d'ordre sur les matrices symétriques réelles de format (2, 2).
II.H - On considère une suite (A_n)_(n ⩾ 0)

de matrices symétriques de M_2(ℝ). On suppose que la suite (A_n)_(n ⩾ 0) est croissante et majorée pour la relation d'ordre définie à la question précédente.
II.H.1) Démontrer que pour tout vecteur X, la suite (^t XA_n X)_(n ⩾ 0) est croissante majorée.
II.H.2) Démontrer que les suites (a_n)_(n ⩾ 0) et (d_n)_(n ⩾ 0) sont croissantes majorées.
II.H.3) En considérant le vecteur X = (1, 1), démontrer que la suite de matrices (A_n)_(n ⩾ 0) est convergente dans M_2(ℝ), c'est-à-dire que les suites (a_n)_(n ⩾ 0), (b_n)_(n ⩾ 0) et (d_n)_(n ⩾ 0) sont convergentes dans ℝ.

Dans cette partie toutes les matrices sont de format ( n, n ), où n est un entier supérieur ou égal à 2 . On dit qu'une matrice symétrique réelle est définie positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives.
III. A - Soit A une matrice symétrique définie positive. Démontrer qu'il existe une matrice inversible Y telle que A = ^t YY.
III.B - Soient A une matrice symétrique définie positive et B une matrice symétrique. Démontrer qu'il existe une matrice inversible T telle que :

où I_n désigne la matrice identité et D une matrice diagonale.
III. C - Soient A et B deux matrices symétriques définies positives.
III.C.1) Démontrer que : det(I_n + B) ⩾ 1 + detB.
III.C.2) En déduire que : det(A + B) ⩾ detA + detB.
III. D - Soient x un nombre réel strictement positif, β un nombre réel tel que 0 < β < 1.

Démontrer que : x^β ⩽ βx + 1 − β.
III. E - Soient A et B deux matrices symétriques définies positives, α et β deux nombres réels > 0 tels que α + β = 1; démontrer que :

III. F - Pour 1 ⩽ i ⩽ k, soient A_i des matrices symétriques définies positives et α_i des nombres strictement positifs tels que α_1 + ⋯ + α_k = 1. Démontrer que

On pourra raisonner par récurrence sur k.