Corrigé détaillé Centrale Physique 2 PC 2022

D'après la loi de la gravitation universelle de Newton, la force d'attraction gravitationnelle entre deux masses ponctuelles m_1 et m_2 séparées par une distance r a pour norme :

On en déduit l'expression de G :

En passant à l'équation aux dimensions, avec [F] = \mathrm{M \cdot L \cdot T^{-2}} d'après le principe fondamental de la dynamique :

Dans le Système international d'unités (SI), l'unité de G exprimée en unités de base est donc :

On étudie l'objet ponctuel M de masse m dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen. L'origine O coïncide avec le centre du Soleil de masse M_S.

L'objet n'est soumis qu'à la force gravitationnelle exercée par le Soleil :

où r = OM et \vec{e}_r = \frac{\vec{OM}}{r}.

Par définition, le moment cinétique de l'objet en O s'écrit :

où \vec{v} = \frac{\mathrm{d}\vec{OM}}{\mathrm{d}t} est la vitesse de l'objet dans le référentiel héliocentrique.

Dérivons \vec{L}_O par rapport au temps dans ce référentiel :

d'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'objet (m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \vec{F}).

Or :

• \vec{v} \wedge (m\vec{v}) = \vec{0} car les vecteurs sont colinéaires ;
• \vec{OM} \wedge \vec{F} = \vec{OM} \wedge \left( -\frac{G M_S m}{r^3}\,\vec{OM} \right) = \vec{0} car la force d'attraction gravitationnelle est centrale de centre O.

On en déduit :

Le moment cinétique en O est donc bien une constante du mouvement.

Le moment cinétique du point matériel de masse m par rapport au centre attracteur O est défini par :

Par construction du produit vectoriel, le vecteur position \vec{r} = \overrightarrow{OM} est à tout instant orthogonal à \vec{L}_O :

D'après la question précédente, \vec{L}_O est un vecteur constant non nul, colinéaire par choix à \vec{e}_z (\vec{L}_O = L_O \vec{e}_z). On en déduit :

Le mouvement s'effectue donc dans le plan fixe orthogonal à \vec{L}_O passant par le Soleil O : le mouvement est plan.

Dans ce plan, repéré par les coordonnées polaires (r, \theta), le vecteur vitesse s'écrit :

Le moment cinétique en O s'exprime alors :

En identifiant avec \vec{L}_O = L_O \vec{e}_z et en introduisant C = r^2 \dot{\theta}, il vient :

soit :

Cette grandeur conservative C est appelée la constante des aires.

On étudie un objet de masse m modélisé par un point matériel soumis à la seule force d'attraction gravitationnelle exercée par le Soleil de masse M_S. Le référentiel héliocentrique est supposé galiléen.

La deuxième loi de Newton s'écrit :

Pour une trajectoire circulaire de rayon R, la vitesse V est constante et l'accélération est purement centripète :

En projetant sur \vec{e}_r, on obtient :

La vitesse V est indépendante de la masse m de l'objet :

Applications numériques :

• Pour la Terre (R = a_T = 150 \times 10^6\text{ km} = 1{,}50 \times 10^{11}\text{ m}) :

  \begin{aligned} V_T &= \sqrt{\frac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 2{,}00 \times 10^{30}}{1{,}50 \times 10^{11}}} \\ V_T &\approx 2{,}98 \times 10^4\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}
  \boxed{V_T = 29{,}8\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}}

• Pour Mars (R = a_M = 228 \times 10^6\text{ km} = 2{,}28 \times 10^{11}\text{ m}) :

  \begin{aligned} V_M &= \sqrt{\frac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 2{,}00 \times 10^{30}}{2{,}28 \times 10^{11}}} \\ V_M &\approx 2{,}42 \times 10^4\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}
  \boxed{V_M = 24{,}2\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}}

D'après la question Q4, la vitesse orbitale de l'objet sur son orbite circulaire de rayon R est donnée par :

L'énergie cinétique E_c du point matériel de masse m s'en déduit immédiatement :

La force gravitationnelle exercée par le Soleil sur l'objet est conservative et dérive de l'énergie potentielle gravitationnelle E_p(r) définie par :

En choisissant la référence usuelle d'énergie potentielle nulle à l'infini (\lim_{r \to \infty} E_p(r) = 0), on a sur l'orbite de rayon R :

L'énergie mécanique E_m du système vaut alors :

Le mouvement de l'objet sur son orbite circulaire de rayon R s'effectue à vitesse constante V. La période de rotation T correspond à la durée nécessaire pour parcourir une circonférence complète 2\pi R :

En injectant l'expression de la vitesse orbitale V = \sqrt{\frac{G M_S}{R}} obtenue à la question Q4, il vient :

On obtient ainsi l'expression de la troisième loi de Kepler :

L'orbite de transfert de Hohmann est une trajectoire elliptique bitangente coplanaire dont les caractéristiques géométriques sont :

• Foyer : le centre O du Soleil ;
• Périhélie (départ) : situé à la position de la Terre au décollage, à l'angle polaire \theta = 0, avec r_P = a_T ;
• Aphélie (arrivée) : situé à l'opposé sur l'axe focal, à l'angle polaire \theta = \pi, avec r_A = a_M ;

• Demi-grand axe :

  a_H = \frac{a_T + a_M}{2}
• Sens de parcours : dans le sens direct (trigonométrique), identique à celui de la vitesse orbitale initiale \vec{V}_T.

Le vaisseau parcourt la demi-ellipse supérieure (\theta \in [0, \pi]) pour rejoindre l'orbite de Mars.

D'après le rappel de l'énoncé (généralisation de la question Q5 aux orbites elliptiques), l'énergie mécanique du vaisseau de masse m sur l'orbite de transfert de demi-grand axe a_H = \dfrac{a_T + a_M}{2} est :

Au moment du départ, le vaisseau se trouve au périhélie de cette orbite, à la distance r_P = a_T du Soleil, avec la vitesse V_T'. Son énergie mécanique s'écrit alors :

En égalant les deux expressions :

Comme d'après la question Q4 la vitesse circulaire de la Terre vérifie V_T^2 = \dfrac{G M_S}{a_T}, on obtient :

soit :

On en déduit l'expression de la variation de vitesse \Delta V_T :

Application numérique :

• a_T = 150 \times 10^6\text{ km}
• a_M = 228 \times 10^6\text{ km}
• V_T = 29{,}8\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}

Le demi-grand axe de l'orbite elliptique de transfert s'écrit :

D'après la troisième loi de Kepler (question Q6 généralisée aux orbites elliptiques), la période orbitale T_H associée à cette ellipse vérifie :

Le voyage aller correspondant à une demi-ellipse (du périhélie à l'aphélie), la durée de transfert \Delta t s'exprime par :

Application numérique :

• En utilisant la période orbitale de la Terre T_T = 365\text{ jours} :

  \Delta t = \frac{365}{2} \left(\frac{150 + 228}{2 \times 150}\right)^{3/2} = 182{,}5 \times (1{,}26)^{3/2} \approx 258{,}1\text{ jours} \approx 258\text{ jours}

• En utilisant les constantes G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ SI}, M_S = 2{,}00 \times 10^{30}\text{ kg} et a_H = 189 \times 10^9\text{ m} :

  \begin{aligned} \Delta t &= \pi \sqrt{\frac{(1{,}89 \times 10^{11})^3}{6{,}67 \times 10^{-11} \times 2{,}00 \times 10^{30}}} \approx 2{,}24 \times 10^7\text{ s} \approx 259\text{ jours} \end{aligned}

Soit une durée d'environ 8{,}5\text{ mois}.

Le vaisseau part de la Terre en \theta_T(0) = 0 à t = 0. Il parcourt une demi-ellipse de transfert de Hohmann ; son arrivée sur l'orbite de Mars (à l'aphélie de l'orbite de transfert) a donc lieu à l'abscisse angulaire :

Mars décrit une orbite circulaire de rayon a_M à la vitesse angulaire constante :

Sa position angulaire à tout instant t est régie par :

puisque \theta_T(0) = 0 et \alpha_0 = \theta_M(0) - \theta_T(0) = \theta_M(0).

Pour que Mars soit au rendez-vous à l'arrivée du vaisseau à la date t = \Delta t, il faut que :

On en déduit l'expression de l'angle \alpha_0 :

En introduisant la période T_H = 2\Delta t de l'orbite de transfert :

Application numérique : Avec \Delta t \approx 259\text{ jours} (obtenu à la question Q9) et T_M = 687\text{ jours} :

soit en degrés :

Position sur la figure A : Le sens de révolution est trigonométrique (anti-horaire), imposé par le vecteur \vec{V}_T dirigé selon +\vec{e}_y en (a_T, 0). Au lancement (t=0), Mars se trouve sur son orbite circulaire dans le premier quadrant, en avance d'un angle \alpha_0 \approx 44^\circ par rapport à l'axe (Ox) (direction Soleil-Terre).

Puisque le vaisseau ne modifie pas sa vitesse lors du survol de Mars, il reste sur son orbite de transfert elliptique autour du Soleil. Une révolution complète sur cette orbite s'effectue en une période T_H :

Numériquement, avec T_T = 365\text{ jours}, a_T = 150 \times 10^6\text{ km} et a_M = 228 \times 10^6\text{ km} :

La Terre décrit une orbite circulaire à la vitesse angulaire constante \omega_T = \frac{2\pi}{T_T}. Ayant pour origine \theta_T(0) = 0, la position angulaire de la Terre au bout de cette durée t = T_H est :

En retranchant une révolution complète (2\pi\text{ rad}), la position angulaire repérée par rapport à la position de départ s'écrit :

Commentaire : Au bout d'une période T_H, le vaisseau revient exactement à son périhélie, c'est-à-dire à une distance r = a_T du Soleil et à la position angulaire \theta = 0\ [2\pi]. Or, à cet instant, la Terre a dépassé cette position de près de 149^\circ (soit plus de cinq mois d'avance orbitale).

Par conséquent, la Terre n'est pas au rendez-vous lors du retour du vaisseau au périhélie. Contrairement à certaines trajectoires circumlunaires (comme celle d'Apollo 13), l'orbite de transfert de Hohmann interplanétaire ne constitue pas une trajectoire de retour libre (« free-return trajectory ») immédiate. En l'absence d'une manœuvre propulsive pour corriger la période orbitale, les astronautes seraient contraints d'effectuer plusieurs révolutions héliocentriques avant de retrouver la Terre, ce qui poserait un problème critique de survie (réserves de consommables limitées).