E3A Mathématiques 1 MP 2002Sujet

Concours ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE

Calcul de sommes de séries.
Soit p un nombre entier naturel non nul. On considère la série :

Le but de l'exercice est de calculer la somme de la série S_p en utilisant la somme de la série entière

1^∘. Etude de la série entière T_p.
(a) Donner la limite pour n tendant vers + ∞ de 1/(pn + 1)x^(pn + 1) selon les valeurs du réel x.
(b) En déduire le rayon de convergence R de la série entière T_p.
(c) Pour quelles valeurs de x la série de terme général (− 1)^n x^(pn) est-elle convergente? Pour ces valeurs de x, exprimer ∑_(n = 0)^∞(− 1)^n x^(pn) à l'aide des fonctions usuelles.
(d) En déduire, à l'aide d'une intégrale, une expression sur ] − R, R[ de T_p(x).

Dans cette partie, x est un réel de l'intervalle ]0, 1[. On considère la suite (u_n(x))_(n ∈ ℕ) définie par :

(a) Démontrer que, pour tout entier naturel n et pour tout réel y appartenant à [0, 1], on a l'inégalité :

(indication : On pourra étudier la fonction qui envoie y sur

(b) Montrer que la suite (|u_n(x)|)_(n ∈ ℕ) décroit et tend vers 0 .
(c) Enoncer avec précision le théorème de convergence des séries alternées.

En déduire la convergence de la série ∑u_n(x) et un encadrement de ∑_(n = 0)^(+ ∞)u_n(x) à l'aide de ses sommes partielles.
(d) En déduire les inégalités:

3^∘. Montrer que S_p = ∫_0^1 1/(t^p + 1)dt.

Soit E un espace euclidien de dimension n ≥ 2.
Le produit scalaire de deux vecteurs x et y est noté (x|y).
L'orthogonal d'un sous-espace vectoriel F est noté F^⊥.
On rappelle que l'application nulle est le seul endomorphisme auto-adjoint φ réalisant :

Soit σ un endomorphisme de E. On note σ^∗ son endomorphisme adjoint.

(c) En déduire que σ^∗ ∘ f = f ∘ σ.
(d) Soit y un vecteur de f(Inv_σ). Démontrer que y est invariant par σ^∗.
(e) Démontrer que f(Inv_σ) = (Dir_σ)^⊥.
3^∘. On admet le résultat général suivant :
Soit f un endomorphisme auto-adjoint, dont aucune valeur propre n'est nulle, et dont l'une au moins est strictement positive. On note Q l'ensemble des vecteurs x de E tels que (f(x)|x) = 1.
Soit I un sous-espace vectoriel de E. Alors il existe une symétrie σ dont l'ensemble des invariants est I, et qui vérifie σ(Q) = Q si et seulement si I et f(I)^⊥ sont en somme directe. Dans ce cas, la direction de la symétrie σ est f(I)^⊥.
(a) On illustre le résultat dans le cas où n = 2, et Q est l'ellipse d'équation (x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1 dans un repère orthonormé du plan. Soit I une droite passant par l'origine recoupant l'ellipse en deux points A et B. Déterminer la direction de la symétrie par rapport à la droite I laissant globalement invariant l'ellipse Q, et en donner une interprétation géométrique.
(b) Pour p un réel, ( Q_p ) est la quadrique de ℝ^3 d'équation x^2 + 4yz = p dans la base canonique. Déterminer la matrice (dans la base canonique) de la symétrie σ, distincte de l'identité, laissant globalement invariante chaque quadrique ( Q_p ), et laissant fixe chacun des vecteurs (1, 1, (p − 1)/4), p variant dans ℝ.

Dans tout l'exercice, on considère a un nombre réel non nul.
On note sign la fonction qui associe 1 à un réel strictement positif, -1 à un réel strictement négatif, et 0 au réel 0 .

Pour t un nombre réel fixé, on définit les deux fonctions F_t et G_t sur ℝ par les relations :

(a) Montrer que F_1 est de classe C^1 sur ℝ, et exprimer sa dérivée à l'aide de (e^(iBt))/(a|iB) et de (e^(− iBt))/(a − iB).
(b) Montrer que la fonction φ : u ↦ (sin(u))/u, est prolongeable en une fonction de classe C^∞ sur ℝ.
(c) En déduire que la fonction G_t est au moins de classe C^1 sur ℝ.
(d) Démontrer l'égalité sur ℝ des deux fonctions F_t et G_t.
2^∘. Calcul de limites.
Soit t un nombre réel fixé.
On utilise les deux résultats suivants, qưil est inutile de redémontrer :
(i) Pour toute fonction λ continue sur un segment [b, c] de ℝ, ∫_b^c λ(u)sin(Bu)du tend vers 0 lorsque B → + ∞.
(ii) La limite pour x tendant vers + ∞ de ∫_u^x(sin(u))/udu existe et vaut π/2.
(a) Déterminer lim_(B → + ∞)∫_0^t e^(au(sin(Bu))/u) iu en montrant au préalable son égalité avec la Iimite de ∫_0^t(sin(Py))/udu pour B → + ∞.
(b) Montrer que la limite pour B → + ∞ de F_0(B) est πsign(a).
(c) Montrer que la limite pour B → + ∞ de F_t(B) est πe^(− at)[sign(a) + sign(t)].
3^∘. Une formule dinversion.
On définit la fonction x par x(t) = e^(− at|), et la fonction H_x par H_x(ω) = ∫_(− ∞)^∞x(t)e^(− iωt)dt, pour ω réel.
(a) Etudier, selon les valeurs du réel a, l'intégrabilité de la fonction t ↦ x(t)e^(− iωt). En déduire l'ensemble de définition de la fonction H_x suivant les valeurs de a.
(b) Expliciter, en cas d'existence, la valeur de H_x(ω).
(c) Montrer que pour tout réel t, la fonction ω ↦ (2ae^(iωt))/(a^2 + ω^2) est intégrable sur ℝ.
(d) Démontrer à l'aide du résultat du 2^∘ (c) la formule d’inversion : x(t) = 1/(2π)∫_(− ∞)^∞H_x(ω)e^(iωt)dω. En préciser les conditions de validité.