Concours ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE

Calcul de sommes de séries.
Soit un nombre entier naturel non nul. On considère la série :

Le but de l'exercice est de calculer la somme de la série en utilisant la somme de la série entière

. Etude de la série entière .
(a) Donner la limite pour tendant vers de selon les valeurs du réel .
(b) En déduire le rayon de convergence de la série entière .
(c) Pour quelles valeurs de la série de terme général est-elle convergente? Pour ces valeurs de , exprimer à l'aide des fonctions usuelles.
(d) En déduire, à l'aide d'une intégrale, une expression sur de .

Dans cette partie, est un réel de l'intervalle . On considère la suite définie par :

(a) Démontrer que, pour tout entier naturel et pour tout réel appartenant à , on a l'inégalité :

(indication : On pourra étudier la fonction qui envoie sur

(b) Montrer que la suite décroit et tend vers 0 .
(c) Enoncer avec précision le théorème de convergence des séries alternées.

En déduire la convergence de la série et un encadrement de à l'aide de ses sommes partielles.
(d) En déduire les inégalités:

. Montrer que .

Soit un espace euclidien de dimension .
Le produit scalaire de deux vecteurs et est noté .
L'orthogonal d'un sous-espace vectoriel est noté .
On rappelle que l'application nulle est le seul endomorphisme auto-adjoint réalisant :

Soit un endomorphisme de . On note son endomorphisme adjoint.

(c) En déduire que .
(d) Soit un vecteur de . Démontrer que est invariant par .
(e) Démontrer que .
. On admet le résultat général suivant :
Soit un endomorphisme auto-adjoint, dont aucune valeur propre n'est nulle, et dont l'une au moins est strictement positive. On note l'ensemble des vecteurs de tels que .
Soit un sous-espace vectoriel de . Alors il existe une symétrie dont l'ensemble des invariants est , et qui vérifie si et seulement si et sont en somme directe. Dans ce cas, la direction de la symétrie est .
(a) On illustre le résultat dans le cas où , et est l'ellipse d'équation dans un repère orthonormé du plan. Soit une droite passant par l'origine recoupant l'ellipse en deux points et . Déterminer la direction de la symétrie par rapport à la droite laissant globalement invariant l'ellipse , et en donner une interprétation géométrique.
(b) Pour un réel, ( ) est la quadrique de d'équation dans la base canonique. Déterminer la matrice (dans la base canonique) de la symétrie , distincte de l'identité, laissant globalement invariante chaque quadrique ( ), et laissant fixe chacun des vecteurs variant dans .

Dans tout l'exercice, on considère un nombre réel non nul.
On note sign la fonction qui associe 1 à un réel strictement positif, -1 à un réel strictement négatif, et 0 au réel 0 .

Pour un nombre réel fixé, on définit les deux fonctions et sur par les relations :

(a) Montrer que est de classe sur , et exprimer sa dérivée à l'aide de et de .
(b) Montrer que la fonction , est prolongeable en une fonction de classe sur .
(c) En déduire que la fonction est au moins de classe sur .
(d) Démontrer l'égalité sur des deux fonctions et .
. Calcul de limites.
Soit un nombre réel fixé.
On utilise les deux résultats suivants, qưil est inutile de redémontrer :
(i) Pour toute fonction continue sur un segment de tend vers 0 lorsque .
(ii) La limite pour tendant vers de existe et vaut .
(a) Déterminer iu en montrant au préalable son égalité avec la Iimite de pour .
(b) Montrer que la limite pour de est .
(c) Montrer que la limite pour de est .
. Une formule dinversion.
On définit la fonction par , et la fonction par , pour réel.
(a) Etudier, selon les valeurs du réel a, l'intégrabilité de la fonction . En déduire l'ensemble de définition de la fonction suivant les valeurs de a.
(b) Expliciter, en cas d'existence, la valeur de .
(c) Montrer que pour tout réel , la fonction est intégrable sur .
(d) Démontrer à l'aide du résultat du (c) la formule d’inversion : . En préciser les conditions de validité.