E3A Mathématiques 1 PC 2001Sujet

Pour une fonction f à valeurs réelles et continue sur I = [0, 1], on recherche les fonctions y de classe C^2 sur I vérifiant le système :

On pose pour toute fonction g à valeurs réelles et continue sur I : ‖g‖ = sup{|g(x)|‖x ∈ I}.

On rappelle que le théorème de Cauchy assure l'existence de solutions de classe C^2 pour l'équation différentielle y^(′′) − y = f sur I.
1^∘. On note sp une solution particulière de l'équation différentielle y^(′′) − y = f sur I. Déterminer en fonction de sp la solution générale de cette équation.
2^∘. Exprimer la solution du système (P) (dont on démontrera l'unicité) à l'aide de sp et de sp^′.
3^∘. Résoudre (P) dans chacun des cas suivants f(x) = x, puis f(x) = x^2.
4^∘. Démontrer que si f est arbitraire la solution de (P) est la fonction T(f) définie sur I par l'égalité :

5^∘. Démontrer l'inégalité ‖T(f)‖ ⩽ (1 − 1/(√e))‖f‖ pour toutes les fonctions f à valeurs réelles et continues sur I = [0, 1].
6^∘. Soit pour cette question f(x) = ln(1 + x), et Q le polynôme de degré deux réalisant un développement limité de f au voisinage de 0 .
(a) Démontrer l'inégalité ‖f − Q‖ ⩽ 1/5.
(b) En déduire une fonction g de classe C^2 sur I vérifiant ‖g − T(f)‖ ⩽ 2/(25).

On considère une suite bornée (a_n)_(n ⩾ 1) de nombres complexes.
1^∘. Démontrer la convergence de la série de terme général (a_n)/(n(n + 1)).
2^∘. Démontrer la relation suivante, où les entiers p et q vérifient 0 < p < q :

En déduire la somme de la série de terme général 1/(n(n + 1)) où n décrit ℕ^∗.
3^∘. Dans cette question uniquement, on pose a_n = x^n pour n ⩾ 1.
(a) Déterminer le rayon de convergence R de la série entière de terme général (x^n)/(n(n + 1)).
(b) Comparer la somme de cette série à l'application x ↦ (x + (1 − x)ln(1 − x))/x.
(c) Calculer par passage à la limite la valeur de ∑_(n = 1)^(+ ∞)((− 1)^n)/(n(n + 1)).
4^∘. Démontrer que la suite (kR_k)_(k ⩾ 1) où R_k = ∑_(n = k)^(+ ∞)(a_n)/(n(n + 1)) est bornée.
5^∘. On suppose dans cette question que la série de terme général a_n est absolument convergente.
(a) Démontrer l'absolue convergence de la série de terme général R_k.
(b) Démontrer par inversion de sommations l'égalité ∑_(k = 1)^N[k∑_(n = k)^N(a_n)/(n(n + 1))] = 1/2∑_(n = 1)^N a_n pour tout entier N supérieur ou égal à 1 .
(c) Démontrer l'égalité ∑_(k = 1)^N[k∑_(n = N + 1)^(+ ∞)(a_n)/(n(n + 1))] = 1/2∑_(n = N + 1)^(+ ∞)(N(N + 1)a_n)/(n(n + 1)) pour tout entier N supérieur ou égal à 1 .
(d) En déduire la valeur de la somme ∑_(k = 1)^(+ ∞)kR_k en fonction de la somme ∑_(n = 1)^(+ ∞)a_n.

La deuxième partie de cet exercice peut être résolue en admettant les résultats de la première partie, notamment ceux de la question 1^∘. (d).

Le plan euclidien est rapporté à un repère orthonormé (O; ı⃗, ȷ⃗). On utilise la représentation complexe usuelle des points de ce plan.

Pour chaque réel t, on note D(t) l'ensemble des points d'affixes e^(it) + λe^(i(t − π/2)) où λ décrit ℝ_+ = [0, + ∞[. On remarquera l'égalité D(t + 2π) = D(t).
1^∘. (a) Déterminer la nature des ensembles D(t) et représenter graphiquement ces D(t) pour t ∈ { − (5π)/6, − π/2, − π/4, π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6}.
(b) Soit r un réel supérieur ou égal à 1 et θ un réel. Déterminer les couples ( λ, t ) vérifiant les relations 1 − λi = re^(i(θ − t)) et λ ⩾ 0 (on pourra chercher à déterminer λ et θ − t ).
(c) Soit M un point d'affixe re^(iθ) avec r ⩾ 1. Déduire de la question précédente que M appartient à un unique ensemble D(t). Préciser la valeur de t en fonction de r et de θ.
(d) Faire une figure dans le cas re^(iθ) = 2i.
(e) Montrer que le vecteur d'affixe (1 + i√(r^2 − 1))e^(iθ) est orthogonal à l'ensemble D(t) trouvé à la question précédente.
2^∘. Cette question est destinée à faire trouver les trajectoires orthogonales des ensembles D(t).

Une fonction θ de classe C^1 sur un intervalle I contenu dans [1, + ∞[ définit un arc paramétré r ↦ M(r) où M(r) a pour affixe re^(iθ(r)). On recherche la fonction θ de telle sorte que :
[i] Pour tout r ∈ I l'ensemble D(t) auquel appartient M(r) est orthogonal à la tangente en M(r) à l'arc défini ci-dessus;
[ii] θ(√2) = − π/4.
(a) Calculer la dérivée de r ↦ re^(ir) en fonction de θ^′.
(b) Démontrer que sur l'intervalle I une solution θ vérifie la relation rθ^′(r) = √(r^2 − 1).
(c) Calculer θ (on pourra effectuer le changement de variables u = √(r^2 − 1) ).
(d) Placer sur un graphique les points M(r) correspondant aux valeurs de r strictement comprises entre 1 et 8 , et tout particulièrement ceux pour lesquels θ ∈ { − 1, − π/4, 0, π/4, π/2} ainsi que les tangentes en ces points.