Pour une fonction à valeurs réelles et continue sur , on recherche les fonctions de classe sur vérifiant le système :

On pose pour toute fonction à valeurs réelles et continue sur .

On rappelle que le théorème de Cauchy assure l'existence de solutions de classe pour l'équation différentielle sur .
. On note une solution particulière de l'équation différentielle sur . Déterminer en fonction de la solution générale de cette équation.
. Exprimer la solution du système (dont on démontrera l'unicité) à l'aide de et de .
. Résoudre dans chacun des cas suivants , puis .
. Démontrer que si est arbitraire la solution de est la fonction définie sur par l'égalité :

. Démontrer l'inégalité pour toutes les fonctions à valeurs réelles et continues sur .
. Soit pour cette question , et le polynôme de degré deux réalisant un développement limité de au voisinage de 0 .
(a) Démontrer l'inégalité .
(b) En déduire une fonction de classe sur vérifiant .

On considère une suite bornée de nombres complexes.
. Démontrer la convergence de la série de terme général .
. Démontrer la relation suivante, où les entiers et vérifient :

En déduire la somme de la série de terme général où décrit .
. Dans cette question uniquement, on pose pour .
(a) Déterminer le rayon de convergence de la série entière de terme général .
(b) Comparer la somme de cette série à l'application .
(c) Calculer par passage à la limite la valeur de .
. Démontrer que la suite où est bornée.
. On suppose dans cette question que la série de terme général est absolument convergente.
(a) Démontrer l'absolue convergence de la série de terme général .
(b) Démontrer par inversion de sommations l'égalité pour tout entier supérieur ou égal à 1 .
(c) Démontrer l'égalité pour tout entier supérieur ou égal à 1 .
(d) En déduire la valeur de la somme en fonction de la somme .

La deuxième partie de cet exercice peut être résolue en admettant les résultats de la première partie, notamment ceux de la question . (d).

Le plan euclidien est rapporté à un repère orthonormé . On utilise la représentation complexe usuelle des points de ce plan.

Pour chaque réel , on note l'ensemble des points d'affixes où décrit . On remarquera l'égalité .
. (a) Déterminer la nature des ensembles et représenter graphiquement ces pour .
(b) Soit un réel supérieur ou égal à 1 et un réel. Déterminer les couples ( ) vérifiant les relations et (on pourra chercher à déterminer et ).
(c) Soit un point d'affixe avec . Déduire de la question précédente que appartient à un unique ensemble . Préciser la valeur de en fonction de et de .
(d) Faire une figure dans le cas .
(e) Montrer que le vecteur d'affixe est orthogonal à l'ensemble trouvé à la question précédente.
. Cette question est destinée à faire trouver les trajectoires orthogonales des ensembles .

Une fonction de classe sur un intervalle contenu dans définit un arc paramétré où a pour affixe . On recherche la fonction de telle sorte que :
[i] Pour tout l'ensemble auquel appartient est orthogonal à la tangente en à l'arc défini ci-dessus;
[ii] .
(a) Calculer la dérivée de en fonction de .
(b) Démontrer que sur l'intervalle une solution vérifie la relation .
(c) Calculer (on pourra effectuer le changement de variables ).
(d) Placer sur un graphique les points correspondant aux valeurs de strictement comprises entre 1 et 8 , et tout particulièrement ceux pour lesquels ainsi que les tangentes en ces points.