On note sh la fonction d'une variable réelle définie par .
On note le réel .
On considère la suite définie par :

. Limite de la suite .
(a) Résoudre l'équation .
(b) Soit dans . Etudier la limite de la suite .
(c) A l'aide du théorème de convergence dominée (dont on rappellera l'énoncé), déterminer la limite de la suite .
. Equivalent de lorsque tend vers .
(a) A l'aide d'une intégration par parties, établir la relation , pour tout entier naturel .
(b) Démontrer que la suite est décroissante et déduire de la relation précédente un encadrement de .
(c) Déduire des résultats précédents un équivalent de lorsque tend vers .
. Etude des séries et .
(a) Quelle est la nature de la série ?
(b) Montrer que la série est convergente et que sa somme vaut :

Soit une fonction de classe sur l'intervalle .
Pour tout réel non nul , on pose:

. Justifier la convergence de la série de terme général .
. Soit la fonction ( -périodique) de la variable réelle définie sur par .
(a) Calculer les coefficients de Fourier et de .
(b) Montrer que la série de Fourier de converge uniformément vers sur (on citera précisément le théorème utilisé).
. Démontrer à l'aide d'une intégration par parties qu'il existe une constante dépendant de telle que

. A l'aide des résultats précédents, établir que:

Soient un -espace vectoriel de dimension 2 et un entier naturel supérieur ou égal à 3 . On considère une application linéaire définie sur telle qu'il existe une famille de vecteurs de vérifiant :
pour tout dans et .
On suppose de plus que , pour .
. Etude de la famille .
(a) Montrer que les éléments de la famille sont deux à deux distincts.
(b) On se propose de démontrer par l'absurde que les vecteurs et sont linéairement indépendants. Soit un réel tel que . Montrer que et en déduire une contradiction.
(c) Déduire des résultats précédents que .
. On suppose dans cette question que . Dans la base ( ) de , on note la matrice de .
(a) Calculer et en déduire que et .
(b) Démontrer que .
(c) Déterminer l'image du vecteur par et en déduire que .