E3A Mathématiques 1 PC 2002Sujet

On note sh la fonction d'une variable réelle définie par sh(t) = (e^t − e^(− t))/2.
On note α le réel ln(1 + √2).
On considère la suite I = (I_n)_(n ∈ ℕ) définie par :

1^∘. Limite de la suite I.
(a) Résoudre l'équation sht = 1.
(b) Soit t dans [0, α[. Etudier la limite de la suite ((sh(t))^n)_(n ⩾ 0).
(c) A l'aide du théorème de convergence dominée (dont on rappellera l'énoncé), déterminer la limite de la suite I.
2^∘. Equivalent de I_n lorsque n tend vers + ∞.
(a) A l'aide d'une intégration par parties, établir la relation nI_n + (n − 1)I_(n − 2) = √2, pour tout entier naturel n ⩾ 2.
(b) Démontrer que la suite I est décroissante et déduire de la relation précédente un encadrement de I_n.
(c) Déduire des résultats précédents un équivalent de I_n lorsque n tend vers + ∞.
3^∘. Etude des séries ∑I_n et ∑(− 1)^n I_n.
(a) Quelle est la nature de la série ∑I_n ?
(b) Montrer que la série ∑(− 1)^n I_n est convergente et que sa somme vaut :

Soit H une fonction de classe C^1 sur l'intervalle [0, 1].
Pour tout réel non nul λ, on pose:

1^∘. Justifier la convergence de la série de terme général u_n = 1/(4n^2 − 1).
2^∘. Soit f la fonction ( 2π-périodique) de la variable réelle t définie sur ℝ par f(t) = |sint|.
(a) Calculer les coefficients de Fourier a_n et b_n de f.
(b) Montrer que la série de Fourier de f converge uniformément vers f sur ℝ (on citera précisément le théorème utilisé).
3^∘. Démontrer à l'aide d'une intégration par parties qu'il existe une constante k dépendant de H telle que

4^∘. A l'aide des résultats précédents, établir que:

Soient E un ℝ-espace vectoriel de dimension 2 et n un entier naturel supérieur ou égal à 3 . On considère une application linéaire f définie sur E telle qu'il existe {u_1, u_2, …, u_n} une famille de vecteurs de E vérifiant :
pour tout i dans {1, 2, …, n − 1}, f(u_i) = u_(i + 1) et f(u_n) = u_1.
On suppose de plus que u_i ≠ u_1, pour i(2 ⩽ i ⩽ n).
1^∘. Etude de la famille {u_1, u_2, …, u_n}.
(a) Montrer que les n éléments de la famille {u_1, u_2, …, u_n} sont deux à deux distincts.
(b) On se propose de démontrer par l'absurde que les vecteurs u_1 et u_2 sont linéairement indépendants. Soit α un réel tel que u_2 = αu_1. Montrer que α^n = 1 et en déduire une contradiction.
(c) Déduire des résultats précédents que f^n = Id.
2^∘. On suppose dans cette question que n = 4. Dans la base ( u_1, u_2 ) de E, on note U = (0, a; 1, b) la matrice de f.
(a) Calculer U^4 et en déduire que b = 0 et a^2 = 1.
(b) Démontrer que a = − 1.
(c) Déterminer l'image du vecteur Ω = ∑_(i = 1)^4 u_i par f et en déduire que Ω = 0.