E3A Mathématiques 2 MP 2000Sujet et corrigé

Soit E un espace vectoriel euclidien; on note L(E) l'ensemble des endomorphismes de E et O(E) le groupe orthogonal de E; pour tout endomorphisme f, f^∗ désigne l'adjoint de f et, pour tout sous-espace vectoriel F de E , on note P_[‖F] la projection orthogonale de E sur F : P_[‖F] ∈ L(E).
∅1 Soit f = P_[‖F]^∘go − F est un sous-espace vectoriel de E et g ∈ O(E).
(a) Préciser Ker f et Imf à l'aide de F et g .
(b) Montrer l'existence d'un unique sous-espace vectoriel F^′ de E tel que :

(c) Donner une expression simplifiée de f^∘f^(∗ ∘)f.
ø2 Soit F un sous-espace vectoriel fixé de E, distinct de E et de {0}.
(a) Soit g ∈ O(E); établir une condition nécessaire et suffisante pour que
P_([‖F]) et g commutent.
(b) Soit G l'ensemble des P_[‖F]^∘g tels que P_[‖F]^∘g = g^∘P_([‖F]) avec g ∈ O(E); montrer que (G, ^∘) est un groupe isomorphe à un groupe connu; G est-il un sous-groupe du groupe linéaire de E ?
(c) Montrer que l'ensemble des P_[‖F]^∘g obtenu lorsque g décrit O(E) n'est pas stable par l'opération de composition.
∅3 Soit f ∈ L(E) tel que f^∘f^(∗ ∘)f = f.
(a) Établir que f^∘f^∗ est une projection orthogonale.
(b) Montrer que : ∀x ∈ (Kerf)^⊥, ‖f(x)‖ = ‖x‖.
(c) En déduire l'existence d'un sous-espace vectoriel F de E et d'une application g ∈ O(E) tels que : f = P_[‖F]^∘g.

ø1 (a) Pour quels réels x la fonction x → f(x) = ∫_0^(+ ∞)[(t^x)/((1 + t)^2)] dt est-elle définie ?
(b) Pour t > 0 fixé, développer en série entière en 0 la fonction
x → [(t^x)/((1 + t)^2)].
ø2 (a) Calculer ∫_0^1(lnt)^n dt pour tout n ∈ ⋅.
(b) En déduire que pour tout n ∈ ⋅ : [n!/4] ≤ ∫_0^1[(||nt|^n)/((1 + t)^2)]dt ≤ n! .
ø3 (a) Établir une relation simple entre ∫_0^1[((lnt)^n)/((1 + t)^2)] dt et ∫_1^(+ ∞)[((lnt)^n)/((1 + t)^2)]dt.
(b) Montrer que la fonction f est développable en série entière en 0 et préciser le rayon de convergence de cette série entière.
ø4 On pose dans cette question x = [1/2p], p ∈ ^∗ et l'on veut calculer ∫_0^(+ ∞)[(t^(1/2p))/((1 + t)^2)]dt.
On rappelle que pour ω ∈ £∖^∘ fixé, la fonction u → [1/(u − ω)] admet pour primitive sur ^∘ la fonction u → ln|u − ω| + iarg(u − ω), 0 − arg(u − ω) désigne l'argument de u − ω strictement compris entre − π et π.
(a) Montrer que ∫_0^(+ ∞)[(t^(1/2p))/((1 + t)^2)]dt = ∫_0^(+ ∞)[du/(1 + u^2 p)]∖cdotp
(b) En précisant les éléments de l'ensemble Ω, établir la décomposition en
éléments simples sur £ :

1/(1 + u^(2p)) = − 1/(2p) ∑ω ∈ Ω ω/(u − ω)∖cdotp
(c) Montrer qu'en calculant ∫_0^(+ ∞)[du/(1 + u^2 p)] la partie logarithmique
s'annule.
(d) En posant α = e^(∖hiiπ/p), simplifier (1 − α)∑_(k = → _p^(p − 1)k)α^k et en déduire
que :

∀p ∈ ⋅ ^∗, [∫ + ∞0(t^(1/2p))/((1 + t)^2) dt = (π/2p)/(sin(π/2p)) ∖cdotp
ø5 Montrer que la fonction x → πx − f(x)sinπx est développable en série entière en 0 et en déduire que :

Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et ( [(→)‖a], [(→)‖b], [(→)‖c] ) une base de E que l'on ne suppose pas orthonormale; l'ensemble R = $[(→)‖a] + φ[(→)‖b] + φ[(→)‖c] des combinaisons linéaires de ([( → ) ‖a], [(→)‖b], [(→)‖c] ) à coefficients entiers forme alors un sous-groupe de (E,+) appelé réseau engendré par ([( → ) ‖a], [(→)‖b], [(→)‖c] ).
ø1 Soit D une droite réticulaire de R, c'est-à-dire une droite vectorielle de E contenant au moins un vecteur non nul de R; établir l'existence dans D ∩ R de [(→)‖u] = x[(→)‖a] + y[(→)‖b] + z[(→)‖c] non nul tel que x^2 + y^2 + z^2 soit minimum et en déduire que D ∩ R = $[(→)‖u].
ø2 Notant Δ = det([(→)‖a], [(→)‖b], [(→)‖c]) le produit mixte de([(→)‖a], [(→)‖b], [(→)‖c]), on pose :

(a) Exprimer simplement le produit scalaire (x[(→)‖a] + y[(→)‖b] + z[(→)‖c]|α[(→)‖A] + β[(→)‖B] + γ(→)‖C]).
(b) Montrer que ([(→)‖A], [(→)‖B], [(→)‖C]) forme une base de E .
ø3 Soit P un plan réticulaire de R, c'est-à-dire un plan vectoriel de E contenant au moins deux vecteurs linéairement indépendants de R; montrer l'existence d'un couple ( [(→)‖u], [(→)‖v] ) de vecteurs linéairement indépendants de P ∩ R tels que X^2 + Y^2 + Z^2 soit minimum lorsque [(→)‖u] ∧ [(→)‖v] = X[(→)‖A] + Y[(→)‖B] + Z[(→)‖C], et en déduire que P ∩ R = $[(→)‖u] + φ[(→)‖v].
ø4 Dans ce qui suit, P désigne un plan réticulaire de R, comme défini ci-dessus.
(a) Établir l'existence d'un triplet ( α, β, γ ) de nombres entiers relatifs premiers entre eux et tels que, pour [(→)‖w] = x[(→)‖a] + y[(→)‖b] + z[(→)‖c], on ait :

(b) Étant donné un tel triplet (α, β, γ), on définit pour k ∈ Φ les plans
affines P_k d'équations αx + βy + γz = k dans la base ( [(→)‖a], [(→)‖b], [(→)‖c] ); montrer que les P_k ∩ R définissent une partition de l'ensemble R.
(c) Exprimer la distance entre P_k et P_(k + 1) à l'aide de [(→)‖N] = α[(→)‖A] + β[(→)‖B] + γ[(→)‖C].