E3A Mathématiques 2 PSI 2015

e3a 2015 - PSI 2

durée 3 heures - calculatrices interdites

• est un espace euclidien de dimension dans lequel le produit scalaire sera noté (.|.) et la norme associée .
• désigne le sous-espace vectoriel de constitué des endomorphismes symétriques de E.
• désigne l'ensemble des éléments de de rang inférieur ou égal à 1 et qui vérifient

Préliminaires

1. Justifier que n'est pas un sous-espace vectoriel de .
2. Si est une matrice de , on notera sa trace. Soient .
   (a) Prouver que .
   (b) On suppose que est semblable à . Comparer et .
   (c) Donner la définition de la trace d'un endomorphisme de .
3. Rappeler la définition d'un hyperplan de . On se donne alors un tel hyperplan et on note son complémentaire dans . Déterminer (en justifiant) si les assertions suivantes sont vraies ou fausses.
   (a) est un sous-espace vectoriel supplémentaire de .
   (b) Pour tout vecteur de est supplémentaire de dans .
   (c) Pour tout vecteur non nul et orthogonal à , est supplémentaire de dans .
   (d) Le noyau de l'application Tr est un hyperplan de .
   (e) Un endomorphisme de est de rang 1 si et seulement si son noyau est un hyperplan de .
4. Montrer que l'application

Partie 1

1. Montrer que .
2. On suppose dans cette question que .
   (a) Ecrire la matrice de dans une base de constituée du vecteur et d'une base de .
   (b) Déterminer alors et en fonction de .
   (c) Soit un endomorphisme de . Déterminer les éléments diagonaux de la matrice dans la base définie précédemment.
   (d) Calculer alors en fonction de .
3. Soit non nul et un vecteur non nul de .
   (a) Montrer que est un vecteur propre de associé à une valeur propre positive.
   (b) Prouver que .
   (c) En déduire que .
   (d) Montrer qu'il existe au moins un vecteur de tel que .
4. L'application est-elle injective? Surjective?

Partie 2

1. Justifier l'existence de .
2. Prouver que .
3. Montrer que est une fonction polynomiale dont on précisera les coefficients.
4. justifier l'existence d'une base orthonormale de et de réels vérifiant

5. Calculer alors à l'aide des réels .
6. Exprimer à l'aide des . Déterminer l'ensemble des vecteurs unitaires tels que .
7. On suppose que est atteint en .
   (a) Déterminer .
   (b) Prouver que .
   (c) Prouver que pour tout réel et tout vecteur denorme 1,

8. On suppose que .
   (a) Prouver que si et seulement si .
   (b) Déterminer où est l'endomophisme de la question 5 des préliminaires.
9. On suppose que .
   (a) Démontrer que .
   (b) Prouver que .

Partie 3

1. Soit symétrique et telle que