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E3A Mathématiques 2 PSI 2015Sujet, corrigé et rapport du jury

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e3a 2015 - PSI 2

durée 3 heures - calculatrices interdites

Dans tout le problème :
  • E est un espace euclidien de dimension p ≥ 1 dans lequel le produit scalaire sera noté (.|.) et la norme associée ‖. ‖.
  • S(E) désigne le sous-espace vectoriel de L(E) constitué des endomorphismes symétriques de E.
  • T(E) désigne l'ensemble des éléments u de S(E) de rang inférieur ou égal à 1 et qui vérifient
∀x ∈ E, (u(x)|x) ≥ 0

Préliminaires

  1. Justifier que T(E) n'est pas un sous-espace vectoriel de L(E).
  2. Si M est une matrice de M_p(ℝ), on notera Tr(M) sa trace. Soient A, B ∈ M_p(ℝ).
    (a) Prouver que Tr(AB) = Tr(BA).
    (b) On suppose que B est semblable à A. Comparer Tr(A) et Tr(B).
    (c) Donner la définition de la trace d'un endomorphisme de E.
  3. Rappeler la définition d'un hyperplan de E. On se donne alors un tel hyperplan H et on note G son complémentaire dans E. Déterminer (en justifiant) si les assertions suivantes sont vraies ou fausses.
    (a) G est un sous-espace vectoriel supplémentaire de H.
    (b) Pour tout vecteur a de G, Vect(a) est supplémentaire de H dans E.
    (c) Pour tout vecteur a non nul et orthogonal à H, Vect(a) est supplémentaire de H dans E.
    (d) Le noyau de l'application Tr est un hyperplan de M_p(ℝ).
    (e) Un endomorphisme de E est de rang 1 si et seulement si son noyau est un hyperplan de E.
  4. Montrer que l'application
(f, g) ∈ S(E)^2 ↦ ⟨f, g⟩>=Tr(f ∘ g)
est un produit scalaire.
On notera pour la suite N lanorme associée à ce produit scalaire.
5. Soit A = (− 5, 1, 1; 1, − 5, 1; 1, 1, − 5). et f_A l'endomorphisme de ℝ^3 qui lui est canoniquement associé. Donner les éléments propres de la matrice A.

Partie 1

Soit a ∈ E et u_a l'endomorphisme de E défini par
∀x ∈ E, u_a(x) = (x|a)a
  1. Montrer que u_a ∈ T(E).
  2. On suppose dans cette question que a ≠ 0.
    (a) Ecrire la matrice de u_a dans une base B de E constituée du vecteur a et d'une base de Vect(a)^⊥.
    (b) Déterminer alors Tr(u_a) et Tr(u_a ∘ u_a) en fonction de a.
    (c) Soit f un endomorphisme de E. Déterminer les éléments diagonaux de la matrice f ∘ u_a dans la base B définie précédemment.
    (d) Calculer alors Tr(f ∘ u_a) en fonction de a.
  3. Soit u ∈ T(E), u non nul et b un vecteur non nul de Im(u).
    (a) Montrer que b est un vecteur propre de u associé à une valeur propre μ positive.
    (b) Prouver que ∀x ∈ E, u(x) = μ/(‖b‖^2)(x|b)b.
    (c) En déduire que μ > 0.
    (d) Montrer qu'il existe au moins un vecteur a de E tel que u = u_a.
  4. L'application φ : a ∈ E ↦ φ(a) = u_a ∈ T(E) est-elle injective? Surjective?

Partie 2

Pour cette partie du problème, f est un endomorphisme de S(E) qui est fixé.
Pour tout vecteur x ∈ E, on pose
Φ(x) = [N(f − u_x)]^2 et m(f) = inf_(x ∈ E)Φ(x)
Pour tout vecteur x de E et tout vecteur y de E tel que ‖y‖ = 1, on pose
h_x : t ∈ ℝ ↦ h_x(t) = Φ(x + ty)
  1. Justifier l'existence de m(f).
  2. Prouver que ∀x ∈ E, Φ(x) = [N(f)]^2 − 2(x|f(x)) + ‖x‖^4.
  3. Montrer que h_x est une fonction polynomiale dont on précisera les coefficients.
  4. justifier l'existence d'une base orthonormale C = (e_1, …, e_p) de E et de réels (λ_i)_(i ∈ [1, p]) vérifiant
∀i ∈ [1, p], f(e_i) = λ_i e_i et λ_1 ≤ λ_2 ≤ ⋯ ≤ λ_p
  1. Calculer alors N(f) à l'aide des réels λ_i, 1 ≤ i ≤ p.
  2. Exprimer α = sup_(z ∈ E, ‖z‖ = 1)(z|f(z)) à l'aide des λ_i. Déterminer l'ensemble des vecteurs z ∈ E unitaires tels que (z|f(z)) = α.
  3. On suppose que m(f) est atteint en a ∈ E.
    (a) Déterminer h_a^′(0).
    (b) Prouver que f(a) = ‖a‖^2 a.
    (c) Prouver que pour tout réel t et tout vecteur y denorme 1,
Φ(a + ty) − Φ(a) = t^2[(t + 2(y|a))^2 + 2(‖a‖^2 − (y|f(y)))]
(d) Prouver que
m(f) = Φ(a) ⟺ {f(a) = ‖a‖^2 a; ∀y ∈ E tel que ‖y‖ = 1, (y|f(y)) ≤ ‖a‖^2
  1. On suppose que λ_p ≤ 0.
    (a) Prouver que m(f) = Φ(a) si et seulement si a = 0.
    (b) Déterminer m(f_A) où f_A est l'endomophisme de la question 5 des préliminaires.
  2. On suppose que λ_p > 0.
    (a) Démontrer que m(f) = ∑_(i = 1)^(p − 1)λ_i^2.
    (b) Prouver que m(f) = Φ(x) ⟺ {x ∈ ker(f − λ_p Id_E); ‖x‖ = √(λ_p).

Partie 3

Dans cette partie, on prend E = ℝ^p euclidien usuel.
  1. Soit M = (m_(i, j)) ∈ M_p(ℝ) symétrique et telle que
{∀i, j ∈ [1, p]^2, m_(i, j) ≥ 0; ∀i ∈ [1, p], ∑_(j = 1)^p m_(i, j) = 1
On note f_M l'endomorphisme de ℝ^p canoniquement associé à la matrice M.
(a) Prouver que λ = 1 est valeur propre et donner un vecteur propre associé.
(b) Soit λ une valeur propre de M et X = (x_1; ⋮; x_p) un vecteur propre associé. Soit k ∈ [1, p] tel que |x_k| = max{|x_j|, 1 ≤ j ≤ p}. En considérant la k-ième ligne du système MX = λX, prouver que |λ| ≤ 1.
(c) Déterminer alors un vecteur a de ℝ^p tel que Φ(a) = m(f_M). (On ne cherchera pas à calculer la valeur de m(f_M)).
(d) En déduire l'existence d'un endomorphisme v de T(E) tel que [N(f_M − v)]^2 = m(f_M).
(e) Reconnaître la nature géométrique de l'endomorphisme v et donner ses éléments remarquables.
2. Soit B ∈ M_p(ℝ) la matrice dont tous les coefficients valent 1 et f_B l'endomorphisme de ℝ^p qui lui est canoniquement associé. Calculer m(f_B). Trouver un vecteur b ∈ ℝ^p tel que [N(f_B − u_b)]^2 = m(f_B).
3. On prend dans cette question p > 1. Soit
C = (0, 1, …, …, 1; 1, 0, 1, …, 1; ⋮, 1, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 1; 1, …, …, 1, 0) ∈ M_p(ℝ)
et f_C l'endomorphisme de ℝ^p qui lui est canoniquement associé.
(a) Déterminer les éléments propres de la matrice C.
(b) Calculer m(f_C).
(c) Trouver un vecteur c de ℝ^p tel que Φ(c) = m(f_C) et un endomorphisme w ∈ T(E) tel que m(f_C) = [N(f_C − w)]^2.
(d) Cet endomorphisme w est-il unique ?

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