Soit un -espace vectoriel, un endomorphisme de ; l'ensemble des valeurs propres de sera noté (spectre de f). Le sous-espace propre de f associé à la valeur propre est le sous-espace vectoriel Ker ( Id) de E , Id désignant l'application identique de E .
Soit et X une matrice appartenant à , les éléments propres de X sont les éléments propres de l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice X .
On note le polynôme caractéristique de l'endomorphisme f .
Soient et l'espace rendu euclidien par le produit scalaire - défini par :
o— désigne la matrice transpoosée de X et o —, grfce à une identification de à l'ensemble des matrices réelles de taille :
Soit ; on note l'adjoint de f , endomorphisme de défini par :
On rappelle que et .
Soit et f l'endomorphisme de canoniquement associé à A ; dans ces conditions on note et mathrel6 .
On note l'ensemble des matrices symétriques réelles A , c'est-à-dire telles que .
Pour , on écrit Aไmathrel > 0 si et seulement si et mathrel pour tout ; alors . On écrit si et seulement si et pour tout non nul (d'o-A mathrel ).
On appelle matrice orthogonale de toute matrice vérifiant — est la matrice unité de .
Pour toute application convexe f d'un intervalle I de dans et tous et tel que , on a : mathrel6 .
Partie I
Soient , mathrel , et la matrice définie par :
010
0
0
0
102
...
0
0
0
020
...
0
0
0
A =
:
:
:
:
000
0
n-2
0
000
...
n-2
0
n-1
000
...
0
n-1
0
telle que :
les autres coefficients étant nuls; enfin u est l'endomorphisme canoniquement associé à A.
ø1 Montrer que la matrice A admet n valeurs propres distinctes.
ø2 On définit la suite de polynômes à coefficients réels par et, pour nไmathrel >3:
Montrer que le polynôme caractéristique vérifie l'égalité suivante :
ø3 En déduire det A en fonction de l'entier n.
ø4 On note Co (A) l'ensemble des matrices de ) qui commutent avec A.
(a) Montrer que Co (A) est un sous-espace vectoriel de .
(b) Déterminer la dimension de .
Partie II
Soient et D la matrice diagonale définie par soit :
ainsi que la matrice o-A est la matrice de la première partie. Soit q la forme quadratique de dans définie par .
ø1 Montrer que, pour tous n\mathrel > 2 et , on a .
ø2 En déduire le rang et la signature de la forme q.
ø3 Application. Soit une suite de réels telle que la série converge. On note :
(a) Montrer que mathrel62 .
(b) En déduire que la série est convergente.
Partie III
Soient n\mathrel la base canonique de , une matrice et le produit scalaire sur défini par .
ø1 Montrer qu'il existe une base orthonormale pour le produit scalaire telle que la matrice de passage de à soit triangulaire supérieure, et vérifie .
ø2 Montrer que det est inférieur ou égal au produit \mathrel ( ) i des éléments diagonaux de .
Partie IV
Soient n\mathrel > 2, et une matrice dont on note les n valeurs propres, distinctes ou non; on suppose qu'il existe une série entière de somme et de rayon de convergence vérifiant pour tout et . Enfin l'application (ln ) est supposée convexe sur .
ø1
(a) Montrer que la suite converge dans vers une matrice .
(b) Expliciter un majorant de det .
ø2
(a) Montrer qu'il existe une matrice orthogonale telle que : , 1 mathrel6i mathrel6n, 1 mathrel6k mathrel6n .
(b) Montrer que pour tout i entre 1 et n.
(c) Montrer, en utilisant l'inégalité de convexité rappelée dans le
préambule, que :
(d) Retrouver de m^me le résultat de la question III ø2
Partie V
Soient mathrel et U la matrice de telle que a pour tout i et pour , avec .
Soit enfin définie par .
ø1 En écrivant , déterminer le spectre de .
ø2 Montrer que la matrice U et la fonction g vérifient les hypothèses de la partie IV.
ø3 Montrer qu'il existe un polynôme R de degré 2 annulateur de la matrice U .
ø4 Exprimer pour tout et l'exponentielle en fonction de U et de .
ø5 Encadrer det ( ) en fonction de et n .
ø6 Dans cette question, on suppose . Déterminer la nature de la quadrique d'équation décrit .
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