Soit E un ^∘-espace vectoriel, f un endomorphisme de E; l'ensemble des valeurs propres de f sera noté Sp(f) (spectre de f). Le sous-espace propre de f associé à la valeur propre λ est le sous-espace vectoriel Ker ( f − λ Id) de E , Id désignant l'application identique de E .
Soit n ∈ ⋅ ^∗ et X une matrice appartenant à M_n(^∘), les éléments propres de X sont les éléments propres de l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice X .
On note Π_f(X) = det(XId − f) le polynôme caractéristique de l'endomorphisme f .
Soient n ∈ ∙^∗ et l'espace ^∘n rendu euclidien par le produit scalaire - défini par :
∀(X, Y) ∈ (^∘n)^2, X ⋅ Y = tXY = ∑1 mathrel6kไmathrel6n x_k y_k
o— ^t X désigne la matrice transpoosée de X et o —, grfce à une identification de ^∘n à l'ensemble des matrices réelles de taille (n, 1) :
X = x_1, y_1; :, Y =, :; x_n, y_n
Soit f ∈ L(^∘n); on note f^∗ l'adjoint de f , endomorphisme de ^∘n défini par :
∀(X, Y) ∈ (^∘n)^2, f(X)∙Y = X∙f^∗(Y)
On rappelle que ‖f‖ = sup_(‖x‖ mathrel61, ‖y‖ mathrel61)|f(X)∙Y|, ‖f^∗‖ = ‖f‖ et ‖f‖^2 = ‖f^∘f^∗‖.
Soit A ∈ M_n(^∘) et f l'endomorphisme de ^∘n canoniquement associé à A ; dans ces conditions on note Π_A(X) = Π_f(X) et ‖A‖ = ‖f‖, d^′ o − ∀(A, B) ∈ (M_n(^∘))^2, ‖AB‖ mathrel6 ‖A‖‖B‖.
On note S_n(^∘) l'ensemble des matrices symétriques réelles A , c'est-à-dire telles que ^t A = A.
Pour A ∈ M_n(^∘), on écrit Aไmathrel > 0 si et seulement si A ∈ S_n(^∘) et ^t XAX∖ mathrel > 0 pour tout X ∈ ^∘n; alors ‖A‖ = max_λ ∈ Sp(A)(λ). On écrit A > 0 si et seulement si A ∈ S_n(^∘) et ^t XAX > 0 pour tout X ∈ ^∘n non nul (d'o-A ∖ mathrel > 0 ).
On appelle matrice orthogonale de M_n(^∘) toute matrice A ∈ M_n(^∘) vérifiant ^t AA = I_n o — I_n est la matrice unité de M_n(^∘).
Pour toute application convexe f d'un intervalle I de ^∘ dans ^∘ et tous (a_1, a_2, …, a_n) ∈ In^n et (t_1, t_2, …, t_n) ∈ (^∘_+)^n tel que ∑_(1 mathrel6k ∖ mathrel6n t_k) = 1, on a : f(Σ_(1 Mathrel6k ∖ mathrel6n)t_k a_k)∖ mathrel6 Σ_(1∖ mathrel6k ∖ mathrel6n)t_k f(a_k).
Partie I
Soient n ∈ ∙^∗, n∖ mathrel > 2, et la matrice A ∈ M_n(^∘) définie par :
010
…
0
0
0
102
...
0
0
0
020
...
0
0
0
A =
:
⋱
:
:
:
000
…
0
n-2
0
000
...
n-2
0
n-1
000
...
0
n-1
0
telle que :
a_(i, i − 1) = i − 1, si, 2ไmathrel6iไmathrel6n; a_(i, i + 1) = i, si, 1∖ mathrel6iไmathrel6n-1
les autres coefficients étant nuls; enfin u est l'endomorphisme canoniquement associé à A.
ø1 Montrer que la matrice A admet n valeurs propres distinctes.
ø2 On définit la suite de polynômes (P_n)_(n ∈ ∙)^∗ à coefficients réels par P_1(X) = 1, P_2(X) = X et, pour nไmathrel >3:
Montrer que le polynôme caractéristique Π_u(X) vérifie l'égalité suivante :
Π_u(X) = (n − 1)![XP_n(X) − (n − 1)P_(n − 1)(X)].
ø3 En déduire det A en fonction de l'entier n.
ø4 On note Co (A) l'ensemble des matrices de M_n(^∘ ) qui commutent avec A.
(a) Montrer que Co (A) est un sous-espace vectoriel de M_n(^∘).
(b) Déterminer la dimension de Co(A).
Partie II
Soient n ∈ ∙^∗ et D la matrice diagonale définie par D = diag(1, 3, 5, …, 2n − 1) soit :
ainsi que la matrice B = D − A o-A est la matrice de la première partie. Soit q la forme quadratique de ^∘n dans ^∘ définie par X → q(X) = ^t XBX.
ø1 Montrer que, pour tous n\mathrel > 2 et X ∈ ^∘n, on a ^t XBX = n_(x_n)^2 + ∑_(1∖m athrel6ilmathrel6n-1)^i(x_i − x_(i + 1))^2.
ø2 En déduire le rang et la signature de la forme q.
ø3 Application. Soit (u_n)_(n ∈ ∙)^∗ une suite de réels telle que la série ∑u_k^2 converge. On note :
U_n = (∑1 mathrel6kไmathrel6n)/n u_k ∖cdotp
(a) Montrer que ∑_(1∖mathrel6j∖mathrel6n)U_j^2∖ mathrel62 ∑_(1∖mathrel6j∖mathrel6n)u_j U_j.
(b) En déduire que la série ∑U_n^2 est convergente.
Partie III
Soient n\mathrel > 2, B la base canonique de ^∘n, une matrice S > 0 et le produit scalaire φ sur ^∘n défini par φ(X, Y) = ^t XSY.
ø1 Montrer qu'il existe une base B^′ orthonormale pour le produit scalaire φ telle que la matrice de passage [B^′ : B] de B à B^′ soit triangulaire supérieure, et vérifie S = ^t[B^′ : B]^(− 1)[B^′ : B]^(− 1).
ø2 Montrer que det S est inférieur ou égal au produit \mathrel ( Π ) i s_(i, i) des éléments diagonaux de S.
Partie IV
Soient n\mathrel > 2, et U = (u_(i, j)) > 0 une matrice dont on note α_1, α_2, …, α_n les n valeurs propres, distinctes ou non; on suppose qu'il existe une série entière ∑b_k x^k de somme g(x) et de rayon de convergence R > 0 vérifiant b_k > 0 pour tout k ∈ ⋅ et Sp(U) ⊂ ]0, R[. Enfin l'application (ln ^∘g ) est supposée convexe sur ]0, R[.
ø1
(a) Montrer que la suite ∑_(k = 0)Nb_k U^k converge dans M_n(^∘) vers une matrice g(U) > 0.
(b) Expliciter un majorant de det g(U).
ø2
(a) Montrer qu'il existe une matrice orthogonale V = (v_(i, j)) telle que : ∀i, 1 ∖ mathrel6i ∖ mathrel6n,u_(i, i) = ∑ 1 ∖ mathrel6k ∖ mathrel6n v_(i, k)^2 α_k.
(b) Montrer que 0 < u_(i, i) < R pour tout i entre 1 et n.
(c) Montrer, en utilisant l'inégalité de convexité rappelée dans le
préambule, que :
(d) Retrouver de m^me le résultat de la question III ø2
Partie V
Soient n∖ mathrel > 2 et U la matrice de M_n(^∘) telle que u_(i, i) = a pour tout i et u_(i, j) = b pour j ≠ i, avec 0 < a < b.
Soit enfin g : ^∘ → ^∘ définie par g(x) = 1 + e^x.
ø1 En écrivant U = (a − b)I_n + J, déterminer le spectre de U.
ø2 Montrer que la matrice U et la fonction g vérifient les hypothèses de la partie IV.
ø3 Montrer qu'il existe un polynôme R de degré 2 annulateur de la matrice U .
ø4 Exprimer U^k pour tout k ∈ ⋅ et l'exponentielle exp(U) en fonction de U et de I_n.
ø5 Encadrer det ( I_n + exp(U) ) en fonction de a, b et n .
ø6 Dans cette question, on suppose n = 3. Déterminer la nature de la quadrique d'équation ^t XUX = 1o − X décrit ^∘3.
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