On désigne par le -espace vectoriel des applications continues de dans où et sont donnés avec , muni de la norme :

On désigne par le sous-espace de des applications de classe sur .
Pour tout on désigne par la primitive de qui vérifie .
Pour tout entier non nul on pose où id (application identique).
On désigne par ( ) la suite de polynômes définis par et où l'on désigne par le même symbole le polynôme et la restriction de sa fonction polynômiale associée à .

. (a) Montrer que est bien défini et constitue un endomorphisme de .
(b) Déterminer son noyau Ker .
(c) Montrer que l'image de est incluse dans . La restriction à de cet endomorphisme définit-elle un automorphisme de (justifier avec précision la réponse) ?
. Soit .
(a) Démontrer l'égalité pour tout dans .
(b) Démontrer l'existence de deux réels et dans tels que, pour tout dans :

(c) Calculer la borne supérieure de lorsque décrit . En déduire que . L'endomorphisme est-il continu (justifier la réponse) ?
(d) Calculer ainsi que lorsque décrit la boule unité fermée de définie par .

On désigne par le sous-ensemble de défini par les fonctions telles que pour tout dans avec , et le sous-ensemble analogue avec .
On désigne par l'application et par l'application où décrit .
. (a) Les ensembles et sont-ils vides ? réduits à ?
(b) Montrer que ce sont des sous-espaces vectoriels. Les comparer avec leurs images par .
. Soit un élément de et la fonction définie sur par .
(a) Vérifier que appartient à .
(b) Démontrer la relation .
(c) Démontrer la relation pour tout entier .
. Soit un élément de .
(a) Démontrer les relations :

lorsque décrit .
(b) On suppose désormais que pour tout dans . Étudier les variations de et puis, plus généralement, lorsque décrit .
(c) Calculer le cardinal de lorsque décrit .
(d) Déterminer le signe de lorsque décrit .

. (a) Exprimer et en fonction de la variable .
(b) Établir l'égalité lorsque décrit .
(c) En déduire la valeur de la somme .
. Soit . On définit sur l'application :

(a) Montrer que est un produit scalaire.
(b) Montrer que, si et sont deux entiers vérifiant les relations , l'on dispose des égalités :

(c) Montrer que si, et seulement si, est impair et différent de 1 .
. On désigne respectivement par et les sous-espaces vectoriels de engendrés par les polynômes d'indices pairs et impairs.
(a) Démontrer la relation .
(b) Démontrer que cette somme directe est orthogonale pour le produit scalaire .
. On désigne par le nombre ainsi .
(a) Démontrer la relation pour tout entier supérieur ou égal à 2 et en déduire que est indépendant de et de .
(b) Calculer pour .
(c) Déterminer une base -orthogonale du sous-espace de engendré par la famille .