E3A Mathématiques 3 MP 2001Sujet et corrigé

On désigne par E_0 le ℝ-espace vectoriel des applications continues de [a, b] dans ℝ où a et b sont donnés avec a < b, muni de la norme :

On désigne par E_1 le sous-espace de E_0 des applications de classe C^1 sur [a, b].
Pour tout f ∈ E_0 on désigne par L(f) la primitive de f qui vérifie ∫_a^b L(f)(t)dt = 0.
Pour tout entier non nul n on pose L^n = L ∘ L^(n − 1) où L_0 = id (application identique).
On désigne par ( P_n ) la suite de polynômes définis par P_0 = 1 et P_n = L^n(P_0) où l'on désigne par le même symbole le polynôme et la restriction de sa fonction polynômiale associée à [a, b].

1^∘. (a) Montrer que L est bien défini et constitue un endomorphisme de E_0.
(b) Déterminer son noyau Ker L.
(c) Montrer que l'image de L est incluse dans E_1. La restriction à E_1 de cet endomorphisme L définit-elle un automorphisme de E_1 (justifier avec précision la réponse) ?
2^∘. Soit f ∈ E_0.
(a) Démontrer l'égalité L(f)(t) = 1/(b − a)∫_a^b(∫_x^t f(u)du)dx pour tout t dans [a, b].
(b) Démontrer l'existence de deux réels x_i et x_s dans [a, b] tels que, pour tout t dans [a, b] :

(c) Calculer la borne supérieure α de ∫_a^b|x − t|dt lorsque x décrit [a, b]. En déduire que ‖L(f)‖ ⩽ (b − a)/2‖f‖. L'endomorphisme L est-il continu (justifier la réponse) ?
(d) Calculer ‖L(P_0)‖ ainsi que ‖L|‖ = sup‖L(f)‖ lorsque f décrit la boule unité fermée de E_0 définie par ‖f‖ ⩽ 1.

On désigne par F_1 le sous-ensemble de E_0 défini par les fonctions f telles que f(a + b − t) = εf(t) pour tout t dans [a, b] avec ε = − 1, et F_2 le sous-ensemble analogue avec ε = + 1.
On désigne par f_1 l'application t ↦ (t − (a + b)/2)^2 et par f_2 l'application t ↦ (t − a)(t − b) où t décrit [a, b].
1^∘. (a) Les ensembles F_1 et F_2 sont-ils vides ? réduits à {0} ?
(b) Montrer que ce sont des sous-espaces vectoriels. Les comparer avec leurs images par L.
2^∘. Soit f un élément de E_0 et g la fonction définie sur [a, b] par g(t) = 1/2[f(t) + f(a + b − t)].
(a) Vérifier que g appartient à F_2.
(b) Démontrer la relation E = F_1 ⊕ F_2.
(c) Démontrer la relation L^n(f)(a) = L^n(f)(b) pour tout entier n ⩾ 2.
3^∘. Soit f un élément de F_2.
(a) Démontrer les relations :

lorsque n décrit N^∗.
(b) On suppose désormais que f(t) > 0 pour tout t dans [a, b]. Étudier les variations de L(f), L^2(f), L^3(f) et L^4(f) puis, plus généralement, L^n(f) lorsque n décrit N^∗.
(c) Calculer le cardinal de Ω_n = {t ∈ [a, b]|L^n(f)(t) = 0} lorsque n décrit N^∗.
(d) Déterminer le signe de L^(2n)(f)(a) lorsque n décrit N^∗.

1^∘. (a) Exprimer P_1, P_2 et P_3 en fonction de la variable t − a.
(b) Établir l'égalité P_n(X + b − a) − P_n(X) = (b − a)((X − a)^(n − 1))/((n − 1)!) lorsque n décrit N^∗.
(c) En déduire la valeur de la somme S_2 = ∑_(k = 1)^n k^2.
2^∘. Soit P = ℝ[X]. On définit sur P × P l'application :

(a) Montrer que φ est un produit scalaire.
(b) Montrer que, si m et n sont deux entiers vérifiant les relations m ⩾ n > 0, l'on dispose des égalités :

(c) Montrer que P_n(a) = 0 si, et seulement si, n est impair et différent de 1 .
3^∘. On désigne respectivement par FP_1 et FP_2 les sous-espaces vectoriels de P engendrés par les polynômes P_n d'indices pairs et impairs.
(a) Démontrer la relation P = FP_1 ⊕ FP_2.
(b) Démontrer que cette somme directe est orthogonale pour le produit scalaire φ.
4^∘. On désigne par γ_n le nombre (n!)/((b − a)^n)P_n(a) ( ainsi γ_0 = 1).
(a) Démontrer la relation γ_n = ∑_(k = 0)^n C_n^k γ_k pour tout entier n supérieur ou égal à 2 et en déduire que γ_n est indépendant de a et de b.
(b) Calculer γ_n pour n ∈ {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10}.
(c) Déterminer une base φ-orthogonale du sous-espace G de FP_2 engendré par la famille (P_0, P_2, P_4, P_6).