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Concours ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques A MP durée 4 heures

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Problème

Dans tout le problème, on désigne par E le ℂ-espace vectoriel des suites à valeurs dans ℂ. Si u est une telle suite, on note, pour tout entier naturel n, u_n son terme d'indice n. On note I l'application identité de E. On définit un endomorphisme T de E en posant:
T : E, → E; u ↦ T(u) = (u_(n + 1))_(n ∈ ℕ)
C'est à dire que, pour tout entier naturel n, le n-ième terme de la suite T(u) vérifie : T(u)_n = u_(n + 1).
On considère également l'endomorphisme L de E défini par: L = I + T. Enfin, on rappelle que pour tout endomorphisme F de E, on définit par récurrence l'endomorphisme itéré F^k par: F^0 = I et pour tout entier naturel k non nul, F^k = F ∘ F^(k − 1).

Préliminaires

  1. Soit n ∈ ℕ.
1a. Démontrer que ∑_(k = 0)^n C_n^k = 2^n.
1b. Après avoir justifié avec soin les hypothèses de son application, utiliser la formule du binôme pour calculer L^n = (I + T)^n.
1c. En déduire pour u ∈ E, l'égalité :
L^n(u)_0 = ∑_(k = 0)^n C_n^k u_k,
où L^n(u)_0 désigne le terme d'indice 0 de la suite L^n(u).
2. On considère la fonction f, 2π-périodique, impaire, définie par : f(0) = f(π) = 0 et ∀t ∈ ]0, π[, f(t) = 1.
2a. Calculer les coefficients de Fourier de f.
2b. La série de Fourier de f converge-t'elle simplement vers f sur ℝ ? Converge-t'elle uniformément vers f sur ℝ ?
2c. Déduire de ce développement la valeur de ∑_(n = 0)^∞((− 1)^n)/(2n + 1).

Partie I

Soit p un entier naturel ⩾ 2. On note Ω_p l'ensemble des suites complexes p-périodiques, c'est à dire l'ensemble des u = (u_n)_(n ∈ ℕ) de E vérifiant ∀n ∈ ℕ, u_(n + p) = u_n.
  1. 1a. Montrer que Ω_p est un sous-espace vectoriel de E.
1b. Soit φ l'application définie par :
φ : Ω_p, → c; u, ↦ (ℂ^p; u_0; ⋮; u_(p − 1))
Démontrer que φ est un isomorphisme. En déduire la dimension de Ω_p.
1c. Pour j ∈ {0, 1, …, p − 1}, on définit la suite c^j en posant :
c_n^j = {1, si n est congru à j modulo p; 0, sinon.
Montrer que la famille de suites B_c = {c_0, c_1, …, c_(p − 1)} est une base de Ω_p.
2. 2a. Justifier que Ω_p est stable par les endomorphismes T et L.
Dans la suite du problème, on fixe p ≥ 2 et on s'intéresse aux endomorphismes T et L induits sur Ω_p que l'on notera respectivement t et l.
2b. Déterminer ker t. Qu'en conclure?
2c. i) Soit u ∈ kerl. Montrer que φ(u) vérifie le système S :
(S) {u_0 + u_1, =, 0; u_1, +, u_2; ⋱, ⋱, =; u_(p − 2), +, u_(p − 1); ⋮; u_0, u_(p − 1), =; 0
ii) Résoudre le système S en discutant selon la parité de p.
iii) Déterminer kerl.
3. 3a. Montrer que (t)^p = I. En déduire que t est diagonalisable.
3b. Montrer que les valeurs propres de l'endomorphisme t sont des racines p-ièmes de 1 .
On note ω_0 = 1, …, ω_k = e^((2ikπ)/p), …, ω_(p − 1) = e^((2i(p − 1)π)/p) les racines p-ièmes de 1 .
3c. Déterminer une base de vecteurs propres B_ε = {ε^0, ε^1, …, ε^(p − 1)} de l'endomorphisme t telle que : ε_0^j = 1 et ε^j est un vecteur propre associé à la valeur propre ω_j. Quel est l'ensemble des valeurs propres de t ?
3d. Soit P la matrice de passage de la base B_c à la base B_ε. Expliciter P.
3e. On note P¯ la matrice conjuguée de P et I_p la matrice identité d'ordre p. Montrer que ^t PP¯ = pI_p. En déduire la matrice P^(− 1), inverse de P.
4. Soit u une suite de Ω_p. En utilisant la base B_c définie en 1c, on remarque que u se décompose de la façon suivante :
u = ∑_(k = 0)^(p − 1)u_k c^k
On note x_0, …, x_(p − 1) les coordonnées de u dans la base B_ε, ce qui permet d'écrire :
u = ∑_(k = 0)^(p − 1)x_k ε^k
4a. Exprimer l(u) puis l^n(u), pour tout entier naturel n, en fonction des x_k, ω_k, ε_k^j.
4b. Montrer que pour k ∈ {1, …, p − 1}, on a :
lim_(n → + ∞)((1 + ω_k)/2)^n = 0
4c. En déduire que :
lim_(n → + ∞)1/(2^n)l^n(u)_0 = (u_0 + u_1 + ⋯ + u_(p − 1))/p.
  1. En utilisant la question 1 des préliminaires, en déduire que, pour tout j dans {0, …, p − 1}, on a :
lim_(n → + ∞)1/(2^n)∑_(0 ⩽ k ⩽ (n − j)/p)C_n^(pk + j) = 1/p.

Partie II

  1. Soit n ∈ ℕ. Soit u une suite dans E admettant une limite ℓ.
1a. En utilisant les questions 1a. et 1c. des préliminaires, vérifier que:
1/(2^n)L^n(u)_0 − ℓ = 1/(2^n)∑_(k = 0)^n C_n^k(u_k − ℓ).
1b. Soit N un entier naturel. Pour tout entier naturel n ⩾ N, on pose :
S_N(n) = 1/(2^n)∑_(k = 0)^N C_n^k(u_k − ℓ) et T_N(n) = 1/(2^n)∑_(k = N + 1)^n C_n^k(u_k − ℓ).
(i). Montrer que :
|T_N(n)| ⩽ sup{|u_k − ℓ|; k ∈ {N + 1, …, n}}.
(ii). On pose P_N(x) = ∑_(k = 0)^N(x^k)/(k!) pour x ∈ ℂ. Montrer que :
|S_N(n)| ⩽ 1/(2^n)P_N(n)sup{|u_k − ℓ|; k ∈ {0, …, N}}.
(iii). Justifier que :
lim_(n → + ∞)1/(2^n)P_N(n) = 0
1c. En déduire que :
lim_(n → + ∞)1/(2^n)L^n(u)_0 = ℓ
  1. Soit u ∈ E. On définit une suite s par : s_0 = 0 et s_n = ∑_(k = 0)^(n − 1)u_k, pour un entier naturel n ⩾ 1. On définit également une suite S par S_n = 1/(2^n)∑_(k = 0)^n C_n^k s_k, pour tout entier naturel n.
2a. Montrer les égalités ci dessous, pour tout entier naturel n.
∑_(k = 0)^(n + 1)C_(n + 1)^k s_k = ∑_(k = 0)^n C_n^k s_k + ∑_(k = 0)^n C_n^k s_(k + 1)
2b. En déduire, pour tout entier naturel n, que :
S_(n + 1) − S_n = 1/(2^(n + 1))L^n(u)_0
On utilisera la question 1c. des préliminaires.
2c. On suppose que u_n est le terme général d'une série convergente. Montrer que ∑_(n = 0)^(+ ∞)1/(2^(n + 1))L^n(u)_0 est une série convergente et établir l'égalité :
∑_(n = 0)^(+ ∞)u_n = ∑_(n = 0)^(+ ∞)1/(2^(n + 1))L^n(u)_0

Partie III: Application.

On considère les suites u et J définies par :
∀n ∈ ℕ, u_n = ((− 1)^n)/(2n + 1) et J_n = ∫_0^1(1 − x^2)^n dx
  1. Pour tout entier naturel n, montrer que J_n = ∑_(k = 0)^n C_n^k u_k.
  2. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, on a:
J_n = (2n)/(2n + 1)J_(n − 1)
En déduire que :
J_n = (2^(2n)(n!)^2)/((2n + 1)!)
  1. En utilisant II2c, conclure que :
∑_(n = 0)^∞(2^(n − 1)(n!)^2)/((2n + 1)!) = π/4
  1. a. Déterminer le plus petit entier N_1, tel que :
|∑_(k = 0)^(N_1)(2^(n − 1)(n!)^2)/((2n + 1)!) − π/4| ⩽ 0.025
b. Déterminer le plus petit entier N_2 tel que :
|∑_(k = 0)^(N_2)((− 1)^n)/(2n + 1) − π/4| ⩽ 0.025
c. Comparer N_1 et N_2, puis conclure.

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