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E3A Mathématiques A MP 2004

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Algèbre généraleAlgèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsSéries et familles sommables
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E3A
Année
2004
Filière
MP
Matière
Mathématiques
Annales E3A MP MathématiquesE3A MP 2004MP MathématiquesMathématiques 2004

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Concours ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques A MP durée 4 heures

L'usage de la calculatrice est autorisé

Problème

Dans tout le problème, on désigne par le -espace vectoriel des suites à valeurs dans . Si est une telle suite, on note, pour tout entier naturel son terme d'indice . On note l'application identité de . On définit un endomorphisme de en posant:
C'est à dire que, pour tout entier naturel , le -ième terme de la suite vérifie : .
On considère également l'endomorphisme de défini par: . Enfin, on rappelle que pour tout endomorphisme de , on définit par récurrence l'endomorphisme itéré par: et pour tout entier naturel non nul, .

Préliminaires

  1. Soit .
1a. Démontrer que .
1b. Après avoir justifié avec soin les hypothèses de son application, utiliser la formule du binôme pour calculer .
1c. En déduire pour , l'égalité :
où désigne le terme d'indice 0 de la suite .
2. On considère la fonction -périodique, impaire, définie par : et .
2a. Calculer les coefficients de Fourier de .
2b. La série de Fourier de converge-t'elle simplement vers sur ? Converge-t'elle uniformément vers sur ?
2c. Déduire de ce développement la valeur de .

Partie I

Soit un entier naturel . On note l'ensemble des suites complexes -périodiques, c'est à dire l'ensemble des de vérifiant .
  1. 1a. Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
1b. Soit l'application définie par :
Démontrer que est un isomorphisme. En déduire la dimension de .
1c. Pour , on définit la suite en posant :
à
Montrer que la famille de suites est une base de .
2. 2a. Justifier que est stable par les endomorphismes et .
Dans la suite du problème, on fixe et on s'intéresse aux endomorphismes et induits sur que l'on notera respectivement et .
2b. Déterminer ker . Qu'en conclure?
2c. i) Soit . Montrer que vérifie le système :
ii) Résoudre le système en discutant selon la parité de .
iii) Déterminer .
3. 3a. Montrer que . En déduire que est diagonalisable.
3b. Montrer que les valeurs propres de l'endomorphisme sont des racines -ièmes de 1 .
On note les racines -ièmes de 1 .
3c. Déterminer une base de vecteurs propres de l'endomorphisme telle que : et est un vecteur propre associé à la valeur propre . Quel est l'ensemble des valeurs propres de ?
3d. Soit la matrice de passage de la base à la base . Expliciter .
3e. On note la matrice conjuguée de et la matrice identité d'ordre . Montrer que . En déduire la matrice , inverse de .
4. Soit une suite de . En utilisant la base définie en , on remarque que se décompose de la façon suivante :
On note les coordonnées de dans la base , ce qui permet d'écrire :
4a. Exprimer puis , pour tout entier naturel , en fonction des .
4b. Montrer que pour , on a :
4c. En déduire que :
  1. En utilisant la question 1 des préliminaires, en déduire que, pour tout dans , on a :

Partie II

  1. Soit . Soit une suite dans admettant une limite .
1a. En utilisant les questions 1a. et 1c. des préliminaires, vérifier que:
1b. Soit un entier naturel. Pour tout entier naturel , on pose :
(i). Montrer que :
(ii). On pose pour . Montrer que :
(iii). Justifier que :
1c. En déduire que :
  1. Soit . On définit une suite par : et , pour un entier naturel . On définit également une suite par , pour tout entier naturel n.
2a. Montrer les égalités ci dessous, pour tout entier naturel .
2b. En déduire, pour tout entier naturel , que :
On utilisera la question 1c. des préliminaires.
2c. On suppose que est le terme général d'une série convergente. Montrer que est une série convergente et établir l'égalité :

Partie III: Application.

On considère les suites et définies par :
  1. Pour tout entier naturel , montrer que .
  2. Montrer que, pour tout entier naturel non nul , on a:
En déduire que :
  1. En utilisant II2c, conclure que :
  1. a. Déterminer le plus petit entier , tel que :
b. Déterminer le plus petit entier tel que :
c. Comparer et , puis conclure.

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